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2025年高考数学一轮复习-第七章-第三节空间直线、平面的平行-课时作业(原卷版)[A组基础保分练]1.下列命题中真命题的个数是()(1)垂直于同一条直线的两条直线互相平行;(2)与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行;(3)平行于同一个平面的两条直线互相平行;(4)两条直线能确定一个平面.A.0B.1C.2D.32.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G,P,Q分别为棱AB,C1D1,D1A1,D1D,C1C的中点,则下列叙述中正确的是()A.直线BQ∥平面EFGB.直线A1B∥平面EFGC.平面APC∥平面EFGD.平面A1BQ∥平面EFG3.(多选)(2024·北京质检)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是棱A1C1,BC的中点,则下列结论中正确的是()A.CC1∥平面A1ABB1B.AF∥平面A1B1C1C.EF∥平面A1ABB1D.AE∥平面B1BCC14.(多选)(2024·山东淄博)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,且m,n⊄α,m,n⊄β,给出下列四个论断:①α∥β;②m∥n;③m∥α;④n∥β.以其中三个论断为条件,剩余论断为结论组成四个命题,其中正确的命题有()A.①②③⇒④B.①③④⇒②C.①②④⇒③D.②③④⇒①5.(多选)(2024·山东济宁)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,D,E,F为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面DEF平行的是()6.设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.可以填入的条件有(填序号).7.如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD和AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB=.8.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.(1)证明:GH∥EF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.[B组能力提升练]9.(多选)如图1,在正方形ABCD中,点E为线段BC上的动点(不含端点),将△ABE沿AE翻折,使得二面角B-AE-D为直二面角,得到图2所示的四棱锥B-AECD,点F为线段BD上的动点(不含端点),则在四棱锥B-AECD中,下列说法正确的有()A.B,E,C,F四点不共面B.存在点F,使得CF∥平面BAEC.三棱锥B-ADC的体积为定值D.存在点E使得直线BE与直线CD垂直10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=3,E,F,G分别是AB,BC,C1D1的中点,点P在平面ABCD内,若直线D1P∥平面EFG,则线段D1P长度的最小值是.11.如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN∥平面PAB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为对角线BD,CD1上的点,且CQQD1=BP(1)求证:PQ∥平面A1D1DA.(2)若R是AB上的点,ARAB的值为多少时,能使平面PQR∥平面A1D1DA?请给出证明2025年高考数学一轮复习-第七章-第三节空间直线、平面的平行-课时作业(解析版)[A组基础保分练]1.下列命题中真命题的个数是()(1)垂直于同一条直线的两条直线互相平行;(2)与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行;(3)平行于同一个平面的两条直线互相平行;(4)两条直线能确定一个平面.A.0B.1C.2D.3答案:A解析:对于(1),垂直于同一条直线的两条直线可能平行,也可能异面或相交,所以是错误的.对于(2),与同一个平面夹角相等的两条直线可能互相平行,也可能相交或异面,所以是错误的.对于(3),平行于同一个平面的两条直线可能互相平行,也可能异面或相交,所以是错误的.对于(4),两条直线不一定能确定一个平面,所以是错误的.2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G,P,Q分别为棱AB,C1D1,D1A1,D1D,C1C的中点,则下列叙述中正确的是()A.直线BQ∥平面EFGB.直线A1B∥平面EFGC.平面APC∥平面EFGD.平面A1BQ∥平面EFG答案:B解析:过点E,F,G的截面如图所示(H,I分别为AA1,BC的中点),则BQ和平面EFG相交于点Q,故A错误;∵A1B∥HE,A1B⊄平面EFG,HE⊂平面EFG,∴A1B∥平面EFG,故B正确;AP⊂平面ADD1A1,HG⊂平面ADD1A1,延长HG和AP必相交,故平面APC和平面EFG相交,故C错误;平面A1BQ与平面EFG有公共点Q,故平面A1BQ和平面EFG相交,故D错误.3.(多选)(2024·北京质检)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是棱A1C1,BC的中点,则下列结论中正确的是()A.CC1∥平面A1ABB1B.AF∥平面A1B1C1C.EF∥平面A1ABB1D.AE∥平面B1BCC1答案:ABC解析:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为CC1∥AA1,CC1⊄平面A1ABB1,AA1⊂平面A1ABB1,所以CC1∥平面A1ABB1,A正确;因为平面ABC∥平面A1B1C1,AF⊂平面ABC,所以AF∥平面A1B1C1,B正确;取AB中点G,连接A1G,GF(图略),因为G,F分别是棱AB,BC的中点,所以GF∥12AC,且A1E∥12所以GF∥A1E,且GF=A1E,所以四边形GFEA1为平行四边形,所以EF∥A1G,EF⊄平面A1ABB1,A1G⊂平面A1ABB1,所以EF∥平面A1ABB1,C正确;取AC中点H,连接C1H(图略),易证得四边形AHC1E为平行四边形,所以EA∥C1H,C1H与平面B1BCC1相交,所以AE与平面B1BCC1相交,D不正确.4.(多选)(2024·山东淄博)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,且m,n⊄α,m,n⊄β,给出下列四个论断:①α∥β;②m∥n;③m∥α;④n∥β.以其中三个论断为条件,剩余论断为结论组成四个命题,其中正确的命题有()A.①②③⇒④B.①③④⇒②C.①②④⇒③D.②③④⇒①答案:AC解析:∵m∥α,α∥β,∴m∥β.∵n∥m,n⊄β,∴n∥β,A正确.α∥βm∥α⇒m∥βn∥β⇒m与n可能相交、异面或平行,B当α∥β,m∥n,n∥β,且m⊄α,则有m∥α,C正确.对于D,α与β可能相交,D错.5.(多选)(2024·山东济宁)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,D,E,F为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面DEF平行的是()答案:AC解析:对于A,AB∥DE,AB⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,∴直线AB与平面DEF平行,故A正确;对于B,如图,设正方体两顶点分别为M,N,∵AB∥MN,MN与平面DEF相交,∴AB与平面DEF相交,故B错误;对于C,AB∥DF,AB⊄平面DEF,DF⊂平面DEF,∴直线AB与平面DEF平行,故C正确;对于D,AB与DF所在平面的正方形对角线有交点B,DF与该对角线平行,∴直线AB与平面DEF相交,故D错误.6.设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.可以填入的条件有(填序号).答案:①或③解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当m∥γ,n∥β时,n和m可能平行或异面,②错误;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以m∥n,③正确.7.如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD和AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB=.答案:5解析:由平面α∥平面β,平面PAB∩平面α=CD,平面PAB∩平面β=AB,∴AB∥CD,∴PCPA=CDAB.∵PC=2,CA=3,CD=∴1AB=22+3,∴AB=8.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.(1)证明:GH∥EF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.(1)证明:因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.(2)解:连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面ABCD内,所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH=GK,所以PO∥GK,所以GK⊥底面ABCD,从而GK⊥EF,所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,从而KB=14DB=12OB,即K为OB再由PO∥GK得GK=12PO,且G是PB的中点,所以GH=12BC=4.由已知可得OB=42,PO=PB2-OB2易得EF=BC=8,故四边形GEFH的面积S=GH+EF2·GK=4+82[B组能力提升练]9.(多选)如图1,在正方形ABCD中,点E为线段BC上的动点(不含端点),将△ABE沿AE翻折,使得二面角B-AE-D为直二面角,得到图2所示的四棱锥B-AECD,点F为线段BD上的动点(不含端点),则在四棱锥B-AECD中,下列说法正确的有()A.B,E,C,F四点不共面B.存在点F,使得CF∥平面BAEC.三棱锥B-ADC的体积为定值D.存在点E使得直线BE与直线CD垂直答案:AB解析:对于A,假设直线BE与直线CF在同一平面上,所以E在平面BCF上,又因为E在折前线段BC上,BC∩平面BCF=C,所以E与C重合,与E异于C矛盾,所以直线BE与直线CF必不在同一平面上,即B,E,C,F四点不共面,故A正确;对于B,如图,当F为线段BD的中点,EC=12AD时,直线CF∥平面BAE取AB的中点G,连接GE,GF,则EC∥FG且EC=FG,所以四边形ECFG为平行四边形,所以FC∥EG.又因为EG⊂平面BAE,FC⊄平面BAE,则直线CF与平面BAE平行,故B正确;对于C,在三棱锥B-ADC中,因为点E的移动会导致点B到平面ACD的距离发生变化,所以三棱锥B-ADC的体积不是定值,故C不正确;对于D,过D作DH⊥AE于H,因为平面BAE⊥平面AECD,平面BAE∩平面AECD=AE,所以DH⊥平面BAE,所以DH⊥BE.若存在点E使得直线BE与直线CD垂直,DH⊂平面AECD,且DC⊂平面AECD,DH∩DC=D,所以BE⊥平面AECD,所以BE⊥AE,与△ABE是以B为直角的三角形矛盾,所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直,故D不正确.10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=3,E,F,G分别是AB,BC,C1D1的中点,点P在平面ABCD内,若直线D1P∥平面EFG,则线段D1P长度的最小值是.答案:7解析:如图,连接D1A,AC,D1C.因为E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,所以AC∥EF.又EF⊄平面ACD1,AC⊂平面ACD1,则EF∥平面ACD1.同理可得EG∥平面ACD1,又EF∩EG=E,EF,EG⊂平面EFG,所以平面ACD1∥平面EFG.因为直线D1P∥平面EFG,所以点P在直线AC上.在△ACD1中,易得AD1=2,AC=2,CD1=2,所以S△AD1C=12×故当D1P⊥AC时,线段D1P的长度最小,最小值为721211.如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN∥平面PAB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.(1)证明:∵M,N分别为PD,AD的中点,∴MN∥PA.又MN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,∴∠ACN=60°.又∠BAC=60°,∴CN∥AB.∵CN⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CN∥平面PAB.又CN∩MN=N,∴平面CMN∥平面PAB.(2)解:由(1)知,平面CMN∥平面PAB,∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.∵AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,∴BC=3,∴VP-ABM=VM-PAB=VC-PAB=VP-ABC=13×12×1×3×2=12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为对角线BD,CD1上的点,且CQQD1=BP(1)求证:PQ∥平面A1D1DA.(2)若R是AB上的点,ARAB的值为多少时,能使平面PQR∥平面A1D1DA?请给出证明(1)证明:连接
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