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2025年高考数学一轮复习-第七章-第六节利用空间向量研究直线、平面的位置关系-课时作业(原卷版)[A组基础保分练]1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN∥平面A1B1C1;(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.2.如图,在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.(1)求证:平面GEF⊥平面PBC;(2)求证:EG与直线PG和BC都垂直.[B组能力提升练]3.如图所示,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD.(1)求证:AQ∥平面CEP;(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.4.如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=3,BC=4.(1)求证:BD⊥PC;(2)设点E在棱PC上,PE=λPC,若DE∥平面PAB,求λ的值.2025年高考数学一轮复习-第七章-第六节利用空间向量研究直线、平面的位置关系-课时作业(解析版)[A组基础保分练]1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN∥平面A1B1C1;(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.证明:由题意知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设正方形AA1C1C的边长为2,则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1).(1)因为几何体是直三棱柱,所以侧棱AA1⊥底面A1B1C1.因为AA1=(2,0,0),MN=(0,1,1),所以MN·AA1=0,即又MN⊄平面A1B1C1,故MN∥平面A1B1C1.(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).因为MB=(-1,2,0),MC1=(1,0,2所以n1·令x1=2,则平面MBC1的一个法向量为n1=(2,1,-1).同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2=(0,1,1).因为n1·n2=2×0+1×1+(-1)×1=0,所以n1⊥n2,所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.2.如图,在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.(1)求证:平面GEF⊥平面PBC;(2)求证:EG与直线PG和BC都垂直.证明:(1)如图,以三棱锥的顶点P为原点,PA,PB,PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0).于是EF=(0,-1,-1),EG=(1,-1,-1).设平面GEF的一个法向量为n=(x,y,z),则n⊥EF,令y=1,则z=-1,x=0,∴n=(0,1,-1).显然PA=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.又n·PA=0,∴n⊥PA,即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直,∴平面GEF⊥平面PBC.(2)由(1)知,EG=(1,-1,-1),PG=(1,1,0),BC=(0,-3,3),∴EG·PG=0,EG·BC=0,∴EG⊥PG,EG⊥BC,∴EG与直线PG和BC都垂直.[B组能力提升练]3.如图所示,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD.(1)求证:AQ∥平面CEP;(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.证明:(1)如图所示,连接PQ,因为四边形ABCD为矩形,且P,Q分别为线段AB,CD的中点,则PQ⊥AB.易知PA,PQ,PE两两垂直,以P为坐标原点,分别以PA,PQ,PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2,PE=a,则P(0,0,0),A(1,0,0),Q(0,1,0),E(0,0,a),C(-1,1,0),所以AQ=(-1,1,0),PC=(-1,1,0),所以AQ∥PC,即AQ∥PC.又AQ⊄平面CEP,PC⊂平面CEP,所以AQ∥平面CEP.(2)因为D(1,1,0),E(0,0,a),所以PD=(1,1,0),PE=(0,0,a).因为AQ·PD=(-1,1,0)·(1,1,0)=-1+1=0,所以AQ⊥PD,即AQ⊥PD.因为AQ·PE=(-1,1,0)·(0,0,a)=0,所以AQ⊥PE,即AQ⊥PE.又PD∩PE=P,所以AQ⊥平面DEP,又AQ⊂平面AEQ,所以平面AEQ⊥平面DEP.4.如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=3,BC=4.(1)求证:BD⊥PC;(2)设点E在棱PC上,PE=λPC,若DE∥平面PAB,求λ的值.解:如图,在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB,交BC于点F,以D为坐标原点,DA,DF,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,3,0),D(0,0,0),C(-3,3,0).设PD=a,则P(0,0,a).(1)证明:BD=(-1,-3,0),PC=(-3,3,-a),因为BD·PC=3-3=0,所以BD⊥PC.(2)由题意知,AB=(0,3,0),DP=(0,0,a),PA=(1,0,-a),PC=(-3,3,-a).因为PE=λPC,所以PE=(-3λ,3λ,-aλ),DE=DP+PE=(0,0,a)+(-3λ,3λ,-
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