2025年高考数学一轮复习-第七章-第六节 利用空间向量研究直线、平面的位置关系-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第七章-第六节利用空间向量研究直线、平面的位置关系-课时作业（原卷版）[A组基础保分练]1.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点.求证：（1）MN∥平面A1B1C1；（2）平面MBC1⊥平面BB1C1C.2.如图，在三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.（1）求证：平面GEF⊥平面PBC；（2）求证：EG与直线PG和BC都垂直.[B组能力提升练]3.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP⊥平面ABCD.（1）求证：AQ∥平面CEP；（2）求证：平面AEQ⊥平面DEP.4.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.（1）求证：BD⊥PC；（2）设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面PAB，求λ的值.2025年高考数学一轮复习-第七章-第六节利用空间向量研究直线、平面的位置关系-课时作业（解析版）[A组基础保分练]1.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点.求证：（1）MN∥平面A1B1C1；（2）平面MBC1⊥平面BB1C1C.证明：由题意知AA1，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设正方形AA1C1C的边长为2，则A（0，0，0），A1（2，0，0），B（0，2，0），B1（2，2，0），C（0，0，2），C1（2，0，2），M（1，0，0），N（1，1，1）.（1）因为几何体是直三棱柱，所以侧棱AA1⊥底面A1B1C1.因为AA1＝（2，0，0），MN＝（0，1，1），所以MN·AA1＝0，即又MN⊄平面A1B1C1，故MN∥平面A1B1C1.（2）设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）.因为MB＝（－1，2，0），MC1＝（1，0，2所以n1·令x1＝2，则平面MBC1的一个法向量为n1＝（2，1，－1）.同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2＝（0，1，1）.因为n1·n2＝2×0＋1×1＋（－1）×1＝0，所以n1⊥n2，所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.2.如图，在三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.（1）求证：平面GEF⊥平面PBC；（2）求证：EG与直线PG和BC都垂直.证明：（1）如图，以三棱锥的顶点P为原点，PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.则A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，0，3），E（0，2，1），F（0，1，0），G（1，1，0），P（0，0，0）.于是EF＝（0，－1，－1），EG＝（1，－1，－1）.设平面GEF的一个法向量为n＝（x，y，z），则n⊥EF，令y＝1，则z＝－1，x＝0，∴n＝（0，1，－1）.显然PA＝（3，0，0）是平面PBC的一个法向量.又n·PA＝0，∴n⊥PA，即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直，∴平面GEF⊥平面PBC.（2）由（1）知，EG＝（1，－1，－1），PG＝（1，1，0），BC＝（0，－3，3），∴EG·PG＝0，EG·BC＝0，∴EG⊥PG，EG⊥BC，∴EG与直线PG和BC都垂直.[B组能力提升练]3.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP⊥平面ABCD.（1）求证：AQ∥平面CEP；（2）求证：平面AEQ⊥平面DEP.证明：（1）如图所示，连接PQ，因为四边形ABCD为矩形，且P，Q分别为线段AB，CD的中点，则PQ⊥AB.易知PA，PQ，PE两两垂直，以P为坐标原点，分别以PA，PQ，PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB＝2，PE＝a，则P（0，0，0），A（1，0，0），Q（0，1，0），E（0，0，a），C（－1，1，0），所以AQ＝（－1，1，0），PC＝（－1，1，0），所以AQ∥PC，即AQ∥PC.又AQ⊄平面CEP，PC⊂平面CEP，所以AQ∥平面CEP.（2）因为D（1，1，0），E（0，0，a），所以PD＝（1，1，0），PE＝（0，0，a）.因为AQ·PD＝（－1，1，0）·（1，1，0）＝－1＋1＝0，所以AQ⊥PD，即AQ⊥PD.因为AQ·PE＝（－1，1，0）·（0，0，a）＝0，所以AQ⊥PE，即AQ⊥PE.又PD∩PE＝P，所以AQ⊥平面DEP，又AQ⊂平面AEQ，所以平面AEQ⊥平面DEP.4.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.（1）求证：BD⊥PC；（2）设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面PAB，求λ的值.解：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA，DF，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，3，0），D（0，0，0），C（－3，3，0）.设PD＝a，则P（0，0，a）.（1）证明：BD＝（－1，－3，0），PC＝（－3，3，－a），因为BD·PC＝3－3＝0，所以BD⊥PC.（2）由题意知，AB＝（0，3，0），DP＝（0，0，a），PA＝（1，0，－a），PC＝（－3，3，－a）.因为PE＝λPC，所以PE＝（－3λ，3λ，－aλ），DE＝DP＋PE＝（0，0，a）＋（－3λ，3λ，－