第九章　必刷大题18　统计与统计分析-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

必刷大题18统计与统计分析1．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩(满分100分)，得到了样本的频率分布直方图(如图)．一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀．(1)根据频率分布直方图，估计3000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数；(2)依据样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数(每组数据以所在区间的中点值为代表)．解(1)由样本的频率分布直方图可知，在该次数学考试中成绩优秀的频率是(0.020＋0.008)×10＝0.28，则估计3000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生有3000×0.28＝840(名)．(2)由样本的频率分布直方图可知，估计总体成绩的众数为eq\f(70＋80,2)＝75，平均数为0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.所以估计总体成绩的众数为75，平均数为71.2.2．(2024·海南模拟)实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防．某医学研究机构对120个接种与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的2×2列联表：感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接种牛痘疫苗2030已接种牛痘疫苗1060(1)根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概率；(2)是否能依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.01xα2.7063.8416.635解(1)由题意可知，估计未接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为P1＝eq\f(20,20＋30)＝eq\f(2,5)，已接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为P2＝eq\f(10,10＋60)＝eq\f(1,7).(2)列联表如表所示：感染猴痘病毒未感染猴痘病毒合计未接种牛痘疫苗203050已接种牛痘疫苗106070合计3090120零假设为H0：密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗无关．则χ2＝eq\f(120×20×60－10×302,30×90×50×70)≈10.286>6.635＝x0.01，所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.3．(2024·沧州模拟)“绿水青山就是金山银山”的口号已经深入民心，人们对环境的保护意识日益增强，质检部门也会不时地对一些企业的生产污染情况进行排查，并作出相应的处理，本次排查了30个企业，共查出510个污染点，其中造成污染点前10名的企业分别造成的污染点数为58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.(1)求这30个企业造成污染点的第80百分位数；(2)已知造成污染点前10名的企业的方差为92.4，其他20个企业造成污染点的方差为44.7，求这30个企业造成污染点的总体方差．解(1)根据定义可得，此30个数据从小到大排列，且30×80%＝24，所以这30个企业造成污染的第80百分位数是第24个数据与第25个数据的平均数，即前10名中第六名与第七名数据的平均数，即eq\f(28＋32,2)＝30.(2)按照企业造成的污染点数从小到大排列，记为x1，x2，…，x20，其平均数记为eq\x\to(x)，方差记为seq\o\al(2,x)；把剩下10个数据记为y1，y2，…，y10，其平均数记为eq\x\to(y)，方差记为seq\o\al(2,y)；把总样本数据的平均数记为eq\x\to(z)，方差记为s2.由题意可知，eq\x\to(z)＝eq\f(510,30)＝17，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)×(58＋36＋36＋35＋33＋32＋28＋26＋24＋22)＝eq\f(1,10)×330＝33，则eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)×(510－330)＝9，由题知seq\o\al(2,x)＝44.7，seq\o\al(2,y)＝92.4，s2＝eq\f(1,30)×{20[seq\o\al(2,x)＋(eq\x\to(x)－eq\x\to(z))2]＋10[seq\o\al(2,y)＋(eq\x\to(y)－eq\x\to(z))2]}代入数据可得s2＝eq\f(1,30)×{20×[44.7＋(9－17)2]＋10×[92.4＋(33－17)2]}＝188.6，所以这30个企业造成污染点的总体方差为188.6.4．(2023·淄博模拟)某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出xi(万元)与年度销售量yi(万台)的数据，如表所示：年份2016201720182019202020212022广告费支出x1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4其中eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝279.4，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝708.(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程；(2)若用y＝c＋deq\r(x)模型拟合得到的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(x)，经计算(1)中的回归模型及该模型的R2分别为0.75和0.88，请根据R2的数值选择更好的回归模型拟合y与x的关系，进而计算出年度广告费x为何值时，利润eq\o(z,\s\up6(^))＝200y－x的预报值最大？参考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解(1)由题意可得eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋4＋6＋11＋13＋19,7)＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(1.9＋3.2＋4.0＋4.4＋5.2＋5.3＋5.4,7)＝4.2，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)＝eq\f(279.4－7×8×4.2,708－7×82)＝0.17，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4.2－0.17×8＝2.84，y关于x的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋2.84.(2)因为0.75<0.88，R2越大拟合效果越好，所以选用回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(x)更好，eq\o(z,\s\up6(^))＝200(1.63＋0.99eq\r(x))－x＝－x＋198eq\r(x)＋326＝－(eq\r(x)－99)2＋10127，即当eq\r(x)＝99，即x＝9801时，利润的预报值最大．5．(2023·福州模拟)国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全校学生中抽取2000人，调查他们平均每天运动的时间(单位：小时)，统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]，记平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，少于2小时的学生为“非运动达人”．整理分析数据得到的列联表如表所示(单位：人)：性别运动时间合计“运动达人”“非运动达人”男生11003001400女生400200600合假设为H0：运动时间与性别之间无关联．根据列联表中的数据，算得χ2≈31.746，根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，则认为运动时间与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.(1)如果将表中所有数据都缩小为原来的eq\f(1,10)，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断运动时间与性别之间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因；(2)采用按样本性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取20名同学，并统计每位同学的运动时间，统计数据为男生运动时间的平均数为2.5，方差为1；女生运动时间的平均数为1.5，方差为0.5，求这20名同学运动时间的均值与方差．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)方法一改变数据之后的列联表为性别运动时间合计“运动达人”“非运动达人”男生11030140女生402060合计15050200则调整后的χ2＝eq\f(200×110×20－30×402,150×50×140×60)＝eq\f(200,63)≈3.175<10.828＝x0.001.则根据小概率值α＝0.001的独立性检验，没有充分证据推断运动时间与性别有关．与之前结论不一样，原因是每个数据都缩小为原来的eq\f(1,10)，相当于样本容量缩小为原来的eq\f(1,10)，导致推断结论发生了变化，当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高．方法二调整后的χ2＝eq\f(\f(n,10)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,10)·\f(d,10)－\f(b,10)·\f(c,10)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,10)＋\f(b,10)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,10)＋\f(d,10)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,10)＋\f(c,10)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,10)＋\f(d,10))))＝eq\f(1,10)eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(χ2,10)≈3.175<10.828＝x0.001，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，没有充分证据推断运动时间与性别有关．与之前结论不一样，原因是每个数据都缩小为原来的eq\f(1,10)，相当于样本容量缩小为原来的eq\f(1,10)，导致推断结论发生了变化，当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高．(2)男生抽取eq\f(1400,2000)×20＝14(人)，女生抽取eq\f(600,2000)×20＝6(人)，由已知男生运动时间的平均数为eq\x\to(x)＝2.5，样本方差为seq\o\al(2,1)＝1；女生运动时间的平均数为eq\x\to(y)＝1.5，样本方差为seq\o\al(2,2)＝0.5.记样本均值为eq\x\to(w)，则eq\x\to(w)＝eq\f(14×2.5＋6×1.5,20)＝2.2，记样本方差为s2，则s2＝eq\f(14×[1＋2.5－2.22]＋6×[0.5＋1.5－2.22],20)＝1.06，所以这20名同学运动时间的均值为2.2，方差为1.06.6．(2023·泰安模拟)近年来，我国新能源汽车发展进入新阶段．某品牌2018年到2022年新能源汽车年销量w(万辆)如表所示，其中2018年～2022年对应的年份代码t为1～5.年份代码t12345销量w(万辆)49141825(1)判断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数(精确到0.001)；(2)①假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋e，,Ee＝0，De＝σ2))(随机误差ei＝yi－bxi)，请写出参数b的最小二乘估计；②令变量x＝t－eq\x\to(t)，y＝w－eq\x\to(w)，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋e，,Ee＝0，De＝σ2，))利用①中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量．附：样本相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)wi－\x\to(w),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)\r(\i\su(i＝1,n,)wi－\x\to(w)2))，eq\i\su(i＝1,5,)(ti－eq\x\to(t))(wi－eq\x\to(w))＝51，eq\i\su(i＝1,5,)(wi－eq\x\to(w))2＝262，eq\i\su(i＝1,5,)(ti－eq\x\to(t))2＝10，eq\r(655)≈25.6.解(1)通过作散点图如图所示，发现样本点大致分布在一条直线附近，因此是线性相关．r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)ti－\x\to(t)wi－\x\to(w),\r(\i\su(i＝1,5,)ti－\x\to(t)2)\r(\i\su(i＝1,5,)wi－\x\to(w)2))＝eq\f(51,\r(262)×\r(10))≈eq\f(51,51.2)≈0.996，∴两变量有较强的正相关．(2)①Q＝eq\i\su(i＝1,n,