第二章　§2.3　函数的奇偶性、周期性-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§2.3函数的奇偶性、周期性课标要求1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．函数奇偶性常用结论奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x的值：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(×)(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(×)(3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数．(×)(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期．(√)2．(2023·济南统考)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－6x，则f(－1)等于()A．－7B．－5C．5D．7答案C解析因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝5.3．(2023·盐城检测)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2024.5)等于()A.eq\f(17,16)B.eq\f(5,4)C．2D．1答案B解析由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，∴f(2024.5)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2024＋\f(1,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4).4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其在[0，＋∞)上的图象如图所示．则不等式xf(x)>0的解集为________．答案(－2,0)∪(0,2)解析根据奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)的图象如图所示．xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号，且均不为0.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．题型一函数奇偶性的判断例1(1)(多选)下列函数是奇函数的是()A．f(x)＝tanx B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝eq\f(ex－e－x,2) D．f(x)＝ln|1＋x|答案AC解析对于A，函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，关于原点对称，且f(－x)＝tan(－x)＝－tanx＝－f(x)，故函数为奇函数；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝eq\f(e－x－ex,2)＝－f(x)，故函数为奇函数；对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数．(2)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答案奇解析由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，故f(0)＝－2.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2]．故f(x)＋2为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．跟踪训练1(2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是()A．f(x)＝x＋sinxB．f(x)＝(x－1)eq\r(\f(x＋1,x－1))C．f(x)＝ln(eq\r(x2＋1)－x)D．f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)答案B解析A项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)知，f(x)为奇函数；B项，令eq\f(x＋1,x－1)≥0，解得x≤－1或x>1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不关于原点对称，即f(x)为非奇非偶函数；C项，因为x2＋1>x2，所以eq\r(x2＋1)－x>0恒成立，即f(x)的定义域为R，又f(－x)＋f(x)＝ln(eq\r(x2＋1)＋x)＋ln(eq\r(x2＋1)－x)＝0，故f(x)为奇函数；D项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝f(x)知，f(x)为偶函数．题型二函数奇偶性的应用命题点1利用奇偶性求值(解析式)例2(1)设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2025,2025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于()A．0B．2C．1D．3答案B解析由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)＝f(x)－1＝x5＋2x3＋3x，则函数g(x)为奇函数，∴g(x)在区间[－2025,2025]上的最大值与最小值之和为0，即M－1＋m－1＝0，∴M＋m＝2.(2)(2023·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝________.答案－ex＋2x＋1解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x＝0时，f(0)＝0.当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1，又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0，则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1.命题点2利用奇偶性解不等式例3(2023·龙岩模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)<0的x的取值范围为()A．(－∞，－1)∪(2,5) B．(－∞，－1)∪(0,5)C．(－1,0)∪(2,5) D．(－1,0)∪(5，＋∞)答案C解析因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0，当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0，所以由xf(x－2)<0，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,－3<x－2<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,0<x－2<3，))解得－1<x<0或2<x<5，即x∈(－1,0)∪(2,5)．抽象函数抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定周期性．(1)判断抽象函数单调性的方法①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1·\f(x2,x1)))－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2·\f(x1,x2))).(2)常见的抽象函数模型①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)；②幂函数f(x)＝xa，对应f(xy)＝f(x)f(y)或f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝eq\f(fx,fy)；③指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝eq\f(fx,fy)；④对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)或f(xn)＝nf(x)；⑤正弦函数f(x)＝sinx，对应f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，来源于sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；⑥余弦函数f(x)＝cosx，对应f(x)＋f(y)＝2f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))

f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－y,2)))，来源于cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)·coseq\f(α－β,2)；⑦正切函数f(x)＝tanx，对应f(x±y)＝eq\f(fx±fy,1∓fxfy)，来源于tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).典例(1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)＝1，则下列说法正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(－2)＝－1C．不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞)D．f(－2024)＋f(－2023)＋…＋f(0)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝2023答案AB解析对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；对于B，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确；对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2，可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，又因为x1>x2，所以x1－x2>0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1，所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，由f(2x)－f(x－3)>－2，可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，所以2x>x－7，得到x>－7，所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)，故C错误；对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－2024)＋f(2024)＝f(－2023)＋f(2023)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，又f(0)＝0，故f(－2024)＋f(－2023)＋…＋f(0)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝0，故D错误．(2)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，对任意x，y满足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，且f(－2)＝f(1)≠0，则下列说法正确的是()A．f(0)＝1B．函数g(2x＋1)的图象关于点(1,0)对称C．g(1)＋g(－1)＝0D．若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝1答案D解析对于A，令x＝y＝0，代入已知等式得f(0)＝f(0)g(0)－g(0)f(0)＝0，得f(0)＝0，故A错误；对于B，取f(x)＝sineq\f(2π,3)x，g(x)＝coseq\f(2π,3)x，满足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)及f(－2)＝f(1)≠0，因为g(3)＝cos2π＝1≠0，所以g(x)的图象不关于点(3,0)对称，所以函数g(2x＋1)的图象不关于点(1,0)对称，故B错误；对于C，令y＝0，x＝1，代入已知等式得f(1)＝f(1)g(0)－g(1)f(0)，可得f(1)[1－g(0)]＝－g(1)f(0)＝0，结合f(1)≠0得1－g(0)＝0，g(0)＝1，再令x＝0，代入已知等式得f(－y)＝f(0)g(y)－g(0)f(y)，将f(0)＝0，g(0)＝1代入上式，得f(－y)＝－f(y)，所以函数f(x)为奇函数．令x＝1，y＝－1，代入已知等式，得f(2)＝f(1)g(－1)－g(1)f(－1)，因为f(－1)＝－f(1)，所以f(2)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]，又因为f(2)＝－f(－2)＝－f(1)，所以－f(1)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]，因为f(1)≠0，所以g(1)＋g(－1)＝－1，故C错误；对于D，分别令y＝－1和y＝1，代入已知等式，得以下两个等式：f(x＋1)＝f(x)g(－1)－g(x)f(－1)，f(x－1)＝f(x)g(1)－g(x)f(1)，两式相加易得f(x＋1)＋f(x－1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＋f(x)＝－f(x＋1)，即f(x)＝－f(x＋1)－f(x＋2)，有－f(x)＋f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)－f(x＋1)－f(x＋2)＝0，即f(x－1)＝f(x＋2)，所以f(x)为周期函数，且一个周期为3，因为f(1)＝1，所以f(－2)＝1，所以f(2)＝－f(－2)＝－1，f(3)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，所以eq\i\su(n＝1,2023,f)(n)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝f(2023)＝f(1)＝1，故D正确．思维升华(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练2(1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于()A．eB．－eC．e＋1D．－e－1答案B解析因为函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e.(2)若f(x)＝sinx＋x3＋x，则不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) B．(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))答案C解析f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin(－x)－x3－x＝－sinx－x3－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，f′(x)＝cosx＋3x2＋1>0，所以f(x)在R上是增函数，由f(x＋1)＋f(2x)>0，得f(x＋1)>－f(2x)＝f(－2x)，所以x＋1>－2x，解得x>－eq\f(1,3)，所以不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞)).(3)(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln

eq\f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a等于()A．－1B．0C.eq\f(1,2)D．1答案B解析方法一因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln

eq\f(1,3)＝(－1＋a)ln3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln

eq\f(2x－1,2x＋1).由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>eq\f(1,2)或x<－eq\f(1,2)，则其定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－\f(1,2)))))，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln

eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝(－x)ln

eq\f(2x＋1,2x－1)＝(－x)ln

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1)))－1＝xln

eq\f(2x－1,2x＋1)＝f(x)，此时f(x)为偶函数，符合题意．故a＝0.方法二设g(x)＝ln

eq\f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，且g(－x)＝ln

eq\f(－2x－1,－2x＋1)＝ln

eq\f(2x＋1,2x－1)＝－ln

eq\f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln

eq\f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.题型三函数的周期性例4(1)(2024·安康统考)设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2＋x)＝f(－x)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))等于()A．－eq\f(3,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,2)答案C解析因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为2，故f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－4))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(1,2).(2)(2023·泸州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)的值是()A．2024B．2023C．1D．0答案D解析因为f(x)的周期为3，f(－1)＝1，则f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1，又f(0)＝－2，则f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2，因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝675×0＝0.思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练3(多选)(2023·深圳模拟)已知非常数函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则()A．f(2)＝0B．f(x＋4)为偶函数C．f(x)为周期函数D．f(x)的图象关于点(－4,0)对称答案ACD解析因为f(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的一个周期是4，故C正确；又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(0)＝0，所以f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝0，故A正确；又f(x)的一个周期为4，且为奇函数，所以f(x＋4)为奇函数，故B不正确；因为f(x)的图象关于(0,0)对称，所以f(x)的图象也关于点(－4,0)对称，故D正确．课时精练一、单项选择题1．(2023·宁波统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(2024)等于()A．－1B．0C．1D．2答案B解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(2024)＝f(0)＝0.2．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函数，则a等于()A．－2B．－1C．1D．2答案D解析因为f(x)＝eq\f(xex,eax－1)为偶函数，则f(x)－f(－x)＝eq\f(xex,eax－1)－eq\f(－xe－x,e－ax－1)＝eq\f(x[ex－ea－1x],eax－1)＝0，又因为x≠0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.3．(2023·长沙模拟)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是()A．f(－1)<f(0)<f(－6.5)B．f(－6.5)<f(0)<f(－1)C．f(－1)<f(－6.5)<f(0)D．f(0)<f(－6.5)<f(－1)答案D解析∵f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，∵偶函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1)．4．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1答案B解析f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(2－x＋1,1＋x)＝eq\f(2,1＋x)－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.5．(2023·绍兴统考)若f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x，则f(0)＋g(1)等于()A．1B．2C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,4)答案D解析f(x)＋g(x)＝2x，①则f(－x)＋g(－x)＝2－x，又f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，∴－f(x)＋g(x)＝2－x，②①②两式相加除以2得g(x)＝eq\f(2x＋2－x,2)，相减除以2得f(x)＝eq\f(2x－2－x,2)，∴f(0)＝0，g(1)＝eq\f(2＋\f(1,2),2)＝eq\f(5,4)，∴f(0)＋g(1)＝eq\f(5,4).6．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝2－|x|＋eq\f(2,x2＋11)，则使得不等式f(2m)<f(m＋1)成立的实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪(1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)答案C解析因为f(－x)＝2－|x|＋eq\f(2,x2＋11)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，又因为当x>0时，y＝2－x和y＝eq\f(2,x2＋11)单调递减，所以f(x)＝2－|x|＋eq\f(2,x2＋11)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(2m)<f(m＋1)，所以|m＋1|<|2m|，即(m＋1)2<(2m)2，展开可得3m2－2m－1>0，解得m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪(1，＋∞)．二、多项选择题7．(2023·松原模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是()A．f(x)＝x－sinxB．f(x)＝x2cosxC．f(x)＝x＋x3D．f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)答案AC解析对于A，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又f′(x)＝1－cosx≥0，所以f(x)在R上单调递增，故A正确；对于B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误；对于C，显然y＝x与y＝x3在R上既是奇函数又单调递增，所以f(x)＝x＋x3在R上既是奇函数又单调递增，故C正确；对于D，f(－x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)＝－f(x)，所以f(x)为(－2,2)上的奇函数，f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)＝ln

eq\f(2－x,x＋2)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(4,x＋2)))，显然f(x)为减函数，故D错误．8．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)满足()A．f(0)＝0B．y＝f(x)为奇函数C．f(x)在R上单调递增D．f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1}答案ABD解析由题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0，故A正确；对于B，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以y＝f(x)为奇函数，故B正确；对于C，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，因为x1<x2，所以x1－x2<0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减，故C错误；对于D，由f(x－1)＋f(x2－1)>0，可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2)，由C知函数f(x)在R上单调递减，所以x－1<1－x2，解得－2<x<1，所以f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1}，故D正确．三、填空题9．(2024·太原模拟)写出一个最小正周期为3的偶函数________．答案f(x)＝coseq\f(2π,3)x(答案不唯一)解析由最小正周期为3的偶函数，可考虑三角函数中的余弦型函数f(x)＝Acosωx＋b(A≠0)，满足f(－x)＝Acosωx＋b＝f(x)，即是偶函数．根据最小正周期T＝eq\f(2π,ω)＝3，可得ω＝eq\f(2π,3).令A＝1，b＝0，f(x)＝coseq\f(2π,3)x.10．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))为偶函数，则a＝________.答案2解析∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝(x－1)2＋ax＋cosx＝x2＋(a－2)x＋1＋cosx，且函数为偶函数，∴a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意．11．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝2，则f(2023)＋f(2024)＝__________.答案－2解析因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，又因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(－x)＝f(x＋4)，对比以上两式得f(x)＝－f(x＋4)，从而f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，即函数f(x)是一个周期为8的周期函数，所以f(2023)＋f(2024)＝f(253×8－1)＋f(253×8)＝f(－1)＋f(0)，又因为f(1)＝2，所以f(2023)＋f(2024)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.12．(2023·南昌联考)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)，且当0<x<3时，f(x)＝2ax＋b(a>0，b>0)，若f(2023)＝3，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为________．答案eq\f(8,3)解析因为函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)，所以函数f(x)的周期为6，又因为f(2023)＝3，所以f(6×337＋1)＝f(1)＝3，因为当0<x<3时，f(x)＝2ax＋b(a>0，b>0)，则有2a＋b＝3，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(2a＋b)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(b,a)＋\f(4a,b)))≥eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))＝eq\f(8,3)，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即a＝eq\f(3,4)，b＝eq\f(3,2)时取等号．四、解答题13．(2023·银川模拟)已知函数f(x)是偶函数．当x>0时，f(x)＝logax的图象过点(3，－1)．(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)的解析式；(3)求不等式f(x)<1的解集．解(1)∵当x>0时，f(x)＝logax的图象过点(3，－1)，∴loga3＝－1，解得a＝eq\f(1,3).(2)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝．综上所述，f(x)＝(3)∵f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，1＝＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，∴f(x)<1⇒f(x)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，∴|x|>eq\f(1,3)，解得x<－eq\f(1,3)或x>eq\f(1,3).故不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,3)或x>\f(1,3))))).14．(2023·潍坊模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－1≤x≤3时，求f(x)的解析式；(3)当－4≤x≤4时，求方程f(x)＝m(－1≤m<0)的所有实根之和．解(