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文档简介
江苏省苏州市吴中学区横泾中学2024届中考数学考前最后一卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.下列四个数表示在数轴上,它们对应的点中,离原点最远的是()A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.12.两个有理数的和为零,则这两个数一定是()A.都是零 B.至少有一个是零C.一个是正数,一个是负数 D.互为相反数3.如图图形中,可以看作中心对称图形的是()A. B. C. D.4.将弧长为2πcm、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高是()A.cm B.2cm C.2cm D.cm5.观察下列图案,是轴对称而不是中心对称的是()A. B. C. D.6.一元二次方程x2﹣3x+1=0的根的情况()A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.没有实数根 D.以上答案都不对7.要使式子有意义,x的取值范围是()A.x≠1 B.x≠0 C.x>﹣1且≠0 D.x≥﹣1且x≠08.已知二次函数(为常数),当时,函数的最小值为5,则的值为()A.-1或5 B.-1或3 C.1或5 D.1或39.如图,是由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体,拿掉1个小立方体木块之后,这个几何体的主(正)视图没变,则拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是()A. B. C. D.10.如图,已知直线AB、CD被直线AC所截,AB∥CD,E是平面内任意一点(点E不在直线AB、CD、AC上),设∠BAE=α,∠DCE=β.下列各式:①α+β,②α﹣β,③β﹣α,④360°﹣α﹣β,∠AEC的度数可能是()A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.如图,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,OB=2OA,点A在反比例函数y=的图象上.若点B在反比例函数y=的图象上,则k的值为_____.12.如图,网格中的四个格点组成菱形ABCD,则tan∠DBC的值为___________.13.如图,在△ABC中,AB=AC,以点C为圆心,以CB长为半径作圆弧,交AC的延长线于点D,连结BD,若∠A=32°,则∠CDB的大小为_____度.14.分解因式:3x3﹣27x=_____.15.科学家发现,距离地球2540000光年之遥的仙女星系正在向银河系靠近.其中2540000用科学记数法表示为_____.16.请写出一个一次函数的解析式,满足过点(1,0),且y随x的增大而减小_____.17.如图,将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′,则图中阴影部分面积为_______平方单位.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.(1)试说明DF是⊙O的切线;(2)若AC=3AE,求tanC.19.(5分)如图1,定义:在直角三角形ABC中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作ctanα,即ctanα=角α的邻边角(1)如图1,若BC=3,AB=5,则ctanB=_____;(2)ctan60°=_____;(3)如图2,已知:△ABC中,∠B是锐角,ctanC=2,AB=10,BC=20,试求∠B的余弦cosB的值.20.(8分)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE.(1)求证:四边形ABED是菱形;(2)若∠ABC=60°,CE=2BE,试判断△CDE的形状,并说明理由.21.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,点,在边上,.求证:.22.(10分)已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球,其中3个白球,4个黑球.(1)求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少?(2)若往口袋中再放入x个白球和y个黑球,从口袋中随机取出一个白球的概率是14,求y与x23.(12分)先化简,然后从﹣<x<的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.24.(14分)如图,二次函数的图象与x轴的一个交点为,另一个交点为A,且与y轴相交于C点求m的值及C点坐标;在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得它与B,C两点构成的三角形面积最大,若存在,求出此时M点坐标;若不存在,请简要说明理由为抛物线上一点,它关于直线BC的对称点为Q当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;点P的横坐标为,当t为何值时,四边形PBQC的面积最大,请说明理由.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、A【解析】
由于要求四个数的点中距离原点最远的点,所以求这四个点对应的实数绝对值即可求解.【详解】∵|-1|=1,|-1|=1,∴|-1|>|-1|=1>0,∴四个数表示在数轴上,它们对应的点中,离原点最远的是-1.故选A.【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系,以及估算无理数大小的能力,也利用了数形结合的思想.2、D【解析】解:互为相反数的两个有理数的和为零,故选D.A、C不全面.B、不正确.3、D【解析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心进行分析即可.【详解】解:A、不是中心对称图形,故此选项不合题意;B、不是中心对称图形,故此选项不合题意;C、不是中心对称图形,故此选项不合题意;D、是中心对称图形,故此选项符合题意;故选D.【点睛】此题主要考查了中心对称图形,关键掌握中心对称图形定义.4、B【解析】
由弧长公式可求解圆锥母线长,再由弧长可求解圆锥底面半径长,再运用勾股定理即可求解圆锥的高.【详解】解:设圆锥母线长为Rcm,则2π=,解得R=3cm;设圆锥底面半径为rcm,则2π=2πr,解得r=1cm.由勾股定理可得圆锥的高为=2cm.故选择B.【点睛】本题考查了圆锥的概念和弧长的计算.5、A【解析】试题解析:试题解析:根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断可得:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项符合题意;B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意;C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意;D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项不符合题意.故选A.点睛:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.这个旋转点,就叫做对称中心.6、B【解析】
首先确定a=1,b=-3,c=1,然后求出△=b2-4ac的值,进而作出判断.【详解】∵a=1,b=-3,c=1,∴△=(-3)2-4×1×1=5>0,∴一元二次方程x2-3x+1=0两个不相等的实数根;故选B.【点睛】此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数;(3)△<0⇔方程没有实数根.7、D【解析】
根据二次根式由意义的条件是:被开方数大于或等于1,和分母不等于1,即可求解.【详解】根据题意得:,解得:x≥-1且x≠1.故选:D.【点睛】本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为1;二次根式的被开方数是非负数.8、A【解析】
由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1,x>h时,y随x的增大而增大;当x<h时,y随x的增大而减小;根据1≤x≤3时,函数的最小值为5可分如下两种情况:①若h<1,可得x=1时,y取得最小值5;②若h>3,可得当x=3时,y取得最小值5,分别列出关于h的方程求解即可.【详解】解:∵x>h时,y随x的增大而增大,当x<h时,y随x的增大而减小,∴①若h<1,当时,y随x的增大而增大,∴当x=1时,y取得最小值5,可得:,解得:h=−1或h=3(舍),∴h=−1;②若h>3,当时,y随x的增大而减小,当x=3时,y取得最小值5,可得:,解得:h=5或h=1(舍),∴h=5,③若1≤h≤3时,当x=h时,y取得最小值为1,不是5,∴此种情况不符合题意,舍去.综上所述,h的值为−1或5,故选:A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值,根据二次函数的性质和最值进行分类讨论是解题的关键.9、B【解析】
俯视图是从上面看几何体得到的图形,据此进行判断即可.【详解】由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体,拿掉1个小立方体木块之后,这个几何体的主(正)视图没变,得拿掉第一排的小正方形,拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是,故选B.【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图,解题时注意:俯视图就是从几何体上面看到的图形.10、D【解析】
根据E点有4中情况,分四种情况讨论分别画出图形,根据平行线的性质与三角形外角定理求解.【详解】E点有4中情况,分四种情况讨论如下:由AB∥CD,可得∠AOC=∠DCE1=β∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C,∴∠AE1C=β-α过点E2作AB的平行线,由AB∥CD,可得∠1=∠BAE2=α,∠2=∠DCE2=β∴∠AE2C=α+β由AB∥CD,可得∠BOE3=∠DCE3=β∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C,∴∠AE3C=α-β由AB∥CD,可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°,∴∠AE4C=360°-α-β∴∠AEC的度数可能是①α+β,②α﹣β,③β-α,④360°﹣α﹣β,故选D.【点睛】此题主要考查平行线的性质与外角定理,解题的关键是根据题意分情况讨论.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、﹣2【解析】
要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以,过点A,B作AC⊥x轴,BD⊥x轴,分别于C,D.根据条件得到△ACO∽△ODB,得到:=1,然后用待定系数法即可.【详解】过点A,B作AC⊥x轴,BD⊥x轴,分别于C,D.设点A的坐标是(m,n),则AC=n,OC=m.∵∠AOB=90°,∴∠AOC+∠BOD=90°.∵∠DBO+∠BOD=90°,∴∠DBO=∠AOC.∵∠BDO=∠ACO=90°,∴△BDO∽△OCA.∴,∵OB=1OA,∴BD=1m,OD=1n.因为点A在反比例函数y=的图象上,∴mn=1.∵点B在反比例函数y=的图象上,∴B点的坐标是(-1n,1m).∴k=-1n•1m=-4mn=-2.故答案为-2.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,相似三角形的判定和性质,利用相似三角形的性质求得点B的坐标(用含n的式子表示)是解题的关键.12、3【解析】试题分析:如图,连接AC与BD相交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BO=BD,CO=AC,由勾股定理得,AC==,BD==,所以,BO==,CO==,所以,tan∠DBC===3.故答案为3.考点:3.菱形的性质;3.解直角三角形;3.网格型.13、1【解析】
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°,根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=1°.【详解】∵AB=AC,∠A=32°,∴∠ABC=∠ACB=74°,又∵BC=DC,∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=1°,故答案为1.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质,三角形外角的性质,掌握等边对等角是解题的关键,注意三角形内角和定理的应用.14、3x(x+3)(x﹣3).【解析】
首先提取公因式3x,再进一步运用平方差公式进行因式分解.【详解】3x3﹣27x=3x(x2﹣9)=3x(x+3)(x﹣3).【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力.一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.15、2.54×1【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】2540000的小数点向左移动6位得到2.54,所以,2540000用科学记数法可表示为:2.54×1,故答案为2.54×1.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.16、y=﹣x+1【解析】
根据题意可以得到k的正负情况,然后写出一个符合要求的解析式即可解答本题.【详解】∵一次函数y随x的增大而减小,∴k<0,∵一次函数的解析式,过点(1,0),∴满足条件的一个函数解析式是y=-x+1,故答案为y=-x+1.【点睛】本题考查一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,写出符合要求的函数解析式,这是一道开放性题目,答案不唯一,只要符合要去即可.17、6﹣2【解析】
由旋转角∠BAB′=30°,可知∠DAB′=90°﹣30°=60°;设B′C′和CD的交点是O,连接OA,构造全等三角形,用S阴影部分=S正方形﹣S四边形AB′OD,计算面积即可.【详解】解:设B′C′和CD的交点是O,连接OA,∵AD=AB′,AO=AO,∠D=∠B′=90°,∴Rt△ADO≌Rt△AB′O,∴∠OAD=∠OAB′=30°,∴OD=OB′=,S四边形AB′OD=2S△AOD=2××=2,∴S阴影部分=S正方形﹣S四边形AB′OD=6﹣2.【点睛】此题的重点是能够计算出四边形的面积.注意发现全等三角形.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)详见解析;(2)【解析】
(1)连接OD,根据等边对等角得出∠B=∠ODB,∠B=∠C,得出∠ODB=∠C,证得OD∥AC,证得OD⊥DF,从而证得DF是⊙O的切线;(2)连接BE,AB是直径,∠AEB=90°,根据勾股定理得出BE=2AE,CE=4AE,然后在Rt△BEC中,即可求得tanC的值.【详解】(1)连接OD,∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切线;(2)连接BE,∵AB是直径,∴∠AEB=90°,∵AB=AC,AC=3AE,∴AB=3AE,CE=4AE,∴BE=,在RT△BEC中,tanC=.19、(1);(2);(3).【解析】试题分析:(1)先利用勾股定理计算出AC=4,然后根据余切的定义求解;(2)根据余切的定义得到ctan60°=,然后把tan60°=代入计算即可;(3)作AH⊥BC于H,如图2,先在Rt△ACH中利用余切的定义得到ctanC==2,则可设AH=x,CH=2x,BH=BC﹣CH=20﹣2x,接着再在Rt△ABH中利用勾股定理得到(20﹣2x)2+x2=102,解得x1=6,x2=10(舍去),所以BH=8,然后根据余弦的定义求解.解:(1)∵BC=3,AB=5,∴AC==4,∴ctanB==;(2)ctan60°===;(3)作AH⊥BC于H,如图2,在Rt△ACH中,ctanC==2,设AH=x,则CH=2x,∴BH=BC﹣CH=20﹣2x,在Rt△ABH中,∵BH2+AH2=AB2,∴(20﹣2x)2+x2=102,解得x1=6,x2=10(舍去),∴BH=20﹣2×6=8,∴cosB===.考点:解直角三角形.20、见解析【解析】试题分析:(1)先证得四边形ABED是平行四边形,又AB=AD,邻边相等的平行四边形是菱形;(2)四边形ABED是菱形,∠ABC=60°,所以∠DEC=60°,AB=ED,又EC=2BE,EC=2DE,可得△DEC是直角三角形.试题解析:梯形ABCD中,AD∥BC,∴四边形ABED是平行四边形,又AB=AD,∴四边形ABED是菱形;(2)∵四边形ABED是菱形,∠ABC=60°,∴∠DEC=60°,AB=ED,又EC=2BE,∴EC=2DE,∴△DEC是直角三角形,考点:1.菱形的判定;2.直角三角形的性质;3.平行四边形的判定21、见解析【解析】试题分析:证明△ABE≌△ACD即可.试题解析:法1:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AD=CE,∴∠ADE=∠AED,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD,∴BD=CE,法2:如图,作AF⊥BC于F,∵AB=AC,∴BF=CF,∵AD=AE,∴DF=EF,∴BF-DF=CF-EF,即BD=CE.22、(1)47.(2)y=3x+5【解析】试题分析:(1)根据取出黑球的概率=黑球的数量÷球的总数量得出答案;(2)根据概率的计算方法得出方程,从求出函数关系式.试题解析:(1)取出一个黑球的概率P=(2)∵取出一个白球的概率P=∴∴12
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