高中数学-导函数难题

5.导函数一一不等式

L函数/（x）=e'-Ax，XGR

（I）假设％=e,试确定函数/（X）的单调区间；

（II）假设%>°,且对于任意xeR,/（h）>°恒成立，试确定实数4的取值范

围；

n

n+,>

（m）设函数尸（x）=/（x）+/（T）,求证：尸⑴尸（2）F（n）>（e+2r（neN）>

分析：本小题主要考察函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考察

运用导数研究函数性质的方法，考察分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方

法，考察分析问题、解决问题的能力。

解：m由左=e得/'（x）=e"-ex,所以/'（x）=e，—e.

由广（x）>°得x>1,故/⑴的单调递增区间是（1，+°°）,

由尸（x）<°得x<1,故/（x）的单调递减区间是（-00,1）.

（n）由/（卜相=刚）可知/（N）是偶函数.

于是/（凶）>°对任意xeR成立等价于/（幻>°对任意x20成立.由

/'（%）=e"一.=0得％=Ink.

①当此（0,1］时,7（%）=e—>1--0（%>0）.此时/⑴在［0,+oo）上单调递增.

故/（x）》/（0）=l>0,符合题意.

②当AG（1,+8）时，in%>0.当X变化时/'（X），/（x）的变化情况如下表：

X(0,ln幻Ink(In匕+8)

—

r（尤）0+

f(x)单调递减极小值单调递增

由此可得,在［。，+°°）上，f（x）2/（lnk）="klnk

依题意，k-k\nk>0,又%>l，，l<女<e.综合①，②得，实数人的取值范围是

0<A:<e

(III)R(x)=/(x)+/(—x)=e,+eT,

_jr,+j：2_<Jt+X2)t|+X2

...F(X,)F(X2)=9+*+e-(»x2)+.在+e>e*计的+e'+2>e+2

F(l)F(n)>e,,+l+2

由此得，[网1*(2)F(n)]2=[F(l)F(n)][F(2)F(n-l)].-[F(«)F(l)]>(efl+1+2)w

n

故尸⑴尸(2)F(n)>(en+1+2)5,neN*

/22

/(x)=—g,(x)=t3x__t

2.设'3,对任意实数f,记3

（I）求函数k"划一g8（x）的单调区间；（n）求证：（i）当x>°时，/（xRg，（x）

对任意正实数f成立；

（ii）有且仅有一个正实数4,使得g8（4）N&瓮。）对于任意正实数/成立。

分析：此题主要考察函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等根基知识,

以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.分类讨论、化归（转化）思想方

法

(I)解：33

由y，=x2_4=0,得X=因为当xe（YQ,—2）时，y，〉0.

当天£（一2,2）时，y<0>当x£（2,+8）时，y>0,

故所求函数的单调递增区间是（H°L2）,（2,+8）,单调递减区间是（-2,2）.

（II）证明：（i）方法一：

„327

令/心）=/（x）-g,⑴=5T"+］心>0）,则/）=/_j,

11

当/〉0时，由〃。）=0,得x=当工£（炉,+00）时，/（x）>0,

£

所以〃（x）在（0，+8）内的最小值是股3）=0.故当x>0时，/'（x）》&（x）对任意

正实数f成立.

方法二:

-22---

h(t)=g,(x)=t3x--t(t>0)h'(t)--t3(X—3)

对任意固定的x＞0,令3则3

由〃'（f）=0,得，=丁.当0＜，＜]3时，当时，"Q）＜0,

力*3）=士13

所以当，=x3时，/?⑺取得最大值--了.因此当x＞。时，/（x）Ng（x）对任

意正实数,成立.

（ii）方法一：

8

/⑵⑵，由⑴得，&⑵Ng,⑵对任意正实数f成立.

即存在正实数％=2,使得&,（2）Ng，（2）对任意正实数f成立.

下面证明％的唯一性：

当“，/＞（）,一时，偿。）=¥,—）=仇-j,

由⑴得，生仇-白，再取,=*得g.w。）吟，

＜

所以-4XO-TT_%，,即X。。2时，不满足gg2M（%）对任意

「＞0都成立.

故有且仅有一个正实数“。=2,使得原瓮。）02&口。）对任意正实数，成立.

方法二:对任意与＞°,但",

L3

因为&（/）关于/的最大值是3。，所以要使&&。）2/（》。）对任意正实数成立的

充分必要条件是：

1

16>3

3-\-

3即(Xo-2)-(%+4)W0,①

又因为“0〉°,不等式①成立的充分必要条件是“。=2,所以有且仅有一个正实

数%=2,

使得8.M»&(/)对任意正实数f成立.

3.定义函数fn(x)=(l+x)n—1,x>—2,n£N*

(1)求证：fn(x)2nx；

(2)是否存在区间[a,0](aVO),使函数h(x)=f3(x)-f2(x)在区

间[a,0]上的值域为[ka,0]?假设存在，求出最小实数k的值及相应的区间[a,

0],假设不存在，说明理由.

分析:此题主要考察函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等根基知识,

以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.分类讨论、数形结合思想方法

解：(1)证明：fn(x)—nx=(l+x)n—1—nx,

令x)=(l+x)n—1—nx,则g'(x)=n[(1+x)n—1—1].

当x@(—2,0)时，g'(x)<0,当x£(0,+°°)时，g'(x)>0,

Ag(x)在x=0处取得极小值g(0)=0,同时g(x)是单峰函数，

则g(0)也是最小值.，g(x)NO,即fn(x)2nx(当且仅当x=0时取

等号).

注：亦可用数学归纳法证明.

⑵x)=f3(x)—f2(x)=x(1+x)2Ah'(x)=(l+x)2+x*2(1

+x)=(1+x)(l+3x)

令h'(x)=O,得x=—1或x=一

.,.当x£(—2,—1),h'(x)>0；当xW(—1,—时，h'(x)|v

当xG(一三，+8)时，h'(x)>0.

o

故作出h(x)的草图如以以下列图，讨论如下:

14

①当一5WaVO时，h(x)最小值h(a)=kaAk=(l+a)2^-

OKJ

4114—4

②当-/aW-科h(x)>/b<h(a)=h(--)=--=ka\=~：.

24

414

③当a=一可时h(x)最小值h(a)=a(l+a)2=kak=(l+a)22［,a=一金时

取等号.

14

综上讨论可知k的最小值为今此时［a,0］=［号，0］.

f(x)=------(xeA)

例4.%+2在区间［一用上是增函数。

(1)求实数。的值组成的集合A；

f(x}=—

(2)设关于X的方程'X的两个非零实根为七、％2。试问：是否三加€/?,

使得不等式加+""+121*-％21对VaeA及/e［一川恒成立假设存在，求〃?的取

值范围；假设不存在，请说明理由。

分析：此题主要考察函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等根基知识，

以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.函数方程思想、化归(转化)思

想方法

2x-a

c/、----(X€K)

解：⑴/(x)=x2+2

2(12+2)_(2x_ci),2x2(x-_ax_2)

(尤)=--------；-----------=------；----；—

J2222

・・・(X+2)(X+2)

2(/-ax-2)

=-------------------NU

.../(x)在[-1,1]上T二/'(x)(%2+2)2对Vxe[TJ恒成立

即Vxe[—1,1],恒有/—狈一2<。成立

g(-1)=4Z-1<0:.-l<a<l

设g(x)=/一以一2.・.N⑴=一。一1«。A=[-l,l]

“、lx-a1

/(X)=-2二=—2cc

⑵x+2xx-ax-2=0

•.•△="+8>0，匹、/是方程/一如一2=0的两不等实根，且为+々=a,

x}x2=-2

2

.|X[—/1=J(Xj+x2)—4XjX2=J/+8w[2A/2,3]

・.・布+5z+1才％]一％I对VawA及，£[-I』]恒成立

；・疗+)+1N3对5w—I」恒成立

沿h(t)=m•t+(m2-2)tG[-1,1]

...〃。)20对\//61-1,1]恒成立

/z(-l)=m2-m-2>0<-1或根22

〈n〈、

.[//(I)=,n2+/n-2>0[fn<-2或根>1

：.3me(-8,-2]u[2,+oo)满足题意

5函数f(x)=ln(e*+a)(a>0)。

(1)求函数y=/(X)的反函数y=f~'(X)和/(X)的导函数广⑴；

(2)假设对Vxw[ln(3a),ln(4a)],不等式|正尸(幻|+ln(/'(x))<0成立，求实

数〃?的取值范围。

分析：此题主要考察反函数的概念及基本性质，导数的应用及不等式的证明等

根基知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力•化归(转化)思想方

法

vxxv

解：(1)=ln(e+a)e+a=eye=e>'-ax=ln(e-a)

g,、ex

...f~'(x)=ln(e*-a)...y=ln(e*+a)ex+a

⑵•；Vxe[ln(3a),ln(4a)],|/〃一尸(x)|+ln(/'(x))<。成立

Im-\n{ex-a)|<-In--——-In''"

ex+aex

.・.一\\n(exa)-x\<m-ln(e'-a)<ln(ev+〃)一x

设g(x)=ln(e'-a)-ln(ex+a)+x

h(x)=ln(ev-。)+ln(e'+a)-％xe[ln(3a),ln(4a)]

...Vxe[ln(3a),ln(4a)]恒有g(x)<m<h(x)成立

,exex

g-e*_ae*+a+1■■%w[ln(3a),ln(4a)]•exG[3a,4a]

♦・・

exex

----->10<------<1

/.0<e-a<ex<e'+a/.ex-a,e'+a

...g'(x)>0,g(x)在[ln(3a),ln(4a)]上T

・•♦g(x)max=g(M(4。))(机

12

即ln(3a)-ln(5a)+ln(4a)<mm>(5"

exx

h'(x)=c_eZ____]>0

•/ex-aex+a,/z(x)在[ln(3a),ln(4a)]上T

8

m<n

...m</?(x)min=〃(ln(3a))m<ln(2a)+ln(4«)-ln(3a)3°

12Q

(ln(—a),ln(%))

的取值范围是53

f(x)=\1+—j(〃eN,月.〃MN)

6.设函数I

(1)当*=6时,求I们的展开式中二项式系数最大的项；

/(2x)+/⑵

(II)对任意的实数x,证明2＞尸(幻(/'(幻是/'(幻的导函数)；

(III)是否存在aeN,