几何画板在高中数学教学中的应用

《几何画板》在高中数学教学中的应用

《几何画板》是观察和探索几何图形的内在关系，深入几何的精髓的实验平台

《校本课程开发与实施有效性研究》课题组雷作明

校本课程自编教材

《几何画板》

—观察和探索几何图形的内在关系，深入几何的精髓的实验平台

《几何画板》是一个适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何等）教学的软件平台。它为老师和

学生提供了一个观察和探索几何图形内在关系的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素

的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，构造出其它较为复杂的图形。

《几何画板》最大的特色是“动态性”，即：可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先

给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变。举个简单的例子。我们可以先在画板上任取三个

点，然后用线段把它们连起来。这时，我们就可以拉动其中的一个点，同时图形的形状就会发行变化，但

仍然保持是三角形。再进一步，我们还可以分别构造出三条形的三条中线。这时再拉动其中任一点时，三

角形的形状同样会发生变化，但三条中线的性质永远保持不变。这样学生就可以在图形的变化中观察到不

变的规律：任意三角形的三条中线交于一点。

请注意：上述操作基本上与老师在黑板上画图相同。但当老师说“在平面上任取一点”时，在黑板上画

出的点却永远是固定的。所谓“任意一点'’在许多时候只不过是出现在老师自己的头脑中而已。而《几何画

板》就可以让“任意一点”随意运动，使它更容易为学生所理解。所以，可以把《几何画板》看成是一块“动

态的黑板《几何画板》的这种特性有助于帮助学生在图形的变化中把握不变的几何规律，深入几何的精

髓。这是其它教学手段所不可能做到的，真正体现了计算机的优势。另一方面，利用它的动态性和形象性,

还可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在

观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理

解和证明。因此，《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积

极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。

《几何画板》的操作非常简单，一切操作都只靠工具栏和菜单实现，而无需编制任何程序。在《几何

画板》中，一切都要借助于几何关系来表现，因此用它设计软件最关键的是“把握几何关系”，而这正是老

师们所擅长的；但同时这也是它的局限性：它只适用于能够用几何模型来描述的内容。例如几何问题、部

分物理、天文问题等。

用《几何画板》开发软件的速度非常快。一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的老师开发

一个难度适中的软件只需5-10分钟。正因为如此，老师们才能真正把精力用于课程的设计而不是程序的编

制上，才能使技术真正地促进和帮助教学工作，并进一步推动教育改革的发展。

由此可见，《几何画板》是一个"个性化''的面向学科的工具平台。这样的平台能帮助所有老师在教学中

使用现代教育技术，也能帮助学生更好地把握学科的内在实质，培养他们的观察能力、问题解决能力，并

发展思维能力。可以认为，《几何画板》这样的平台代表着教育类工具软件的一个发展方向。

目录

第一篇《几何画板》基本操作

一、画板工具

二、编辑

三、按钮设置

四、显示/隐藏

五、构造

六、变换

七、度量

八、绘图

第二篇边学边作

示范1.动画制作（线性规划，动点轨迹）

示范2.制作太阳、地球、月亮相对运动

示范3.指数函数、对数函数、累函数图象比较

示范4.二分法求方程的零点（计算器与几何画板比较）

示范5.分段函数图象制作（符号函数利用）

示范6.某区间（可动）上二次函数的值域

第三篇深化学习

一、深度迭代

二、圆锥曲线制作

三、旋转生成圆台、圆柱、圆锥

四、一动点与两定点之连线的斜率乘积为常数的点的轨迹

五、投掷硬币模拟试验

第一篇《几何画板》基本操作

要想用几何画板来开发一些简单但又实用的课件，就得先认识几何画板的工具及命令。

一、画板工具与菜单

1.工具与菜单：

2.点击【文件】：

其中下设：

【新建文件】新建一个几何画板文件(.gsp)

【画板课堂链接】

画板课堂擅接

3【打开】打开一个或多个(.gsp或.gss)文件

若勾选“包括工作过程”，则可保留上次工作过程，并对前面工作步骤进行“撤消”或“重复”(在编辑

菜单中有此项目)，对画板进行加工，对于初学者可从别人的工作过程中获益。

【保存】保存当前文件(.gsp或.gss)

【另存为】换名保存或存为图象文件(.wmf)

在此标签中的“文件名：”后输入所存的文件名。若要将画板当前状态存为图像文件，则只须将“保存为

元文件[.wmf]”前勾选，按下确认后再次确认，即存有一幅图元文件，可在word等字处理软件中调用。

下面就是调用的：波的干涉的画板图元文件：(由于是矢量图形，所以任意缩放均不会出现变花现象)

【关闭】关闭当前文件(.gsp或.gss)

【文档选项】

训的娄出TTBSO工反

际力口gg）

Iflftl蟀EO

叵：显布友切切CD

【打印预览】预览当前文件（.gsp或.gss）的打印效果，也可在此处对打印的情况进行调整。

在标签中，显示了要打印图形（左方）及有关属性右上、进一步对打印机的设置（如纸张大小、打印质量

等）‘'尺寸”可选“实际尺寸”（按实际尺寸打印）、充满整页（使图象按纸张大小充满整页打印）、“其它”

（按给定比例打印）等，可根据需要，打印出合适的图形来。

【打印】按前面的设置打印图形。

【退出】全部退出几何画板。

二、【编辑】

点选编辑栏，弹出如下菜单：

-

0

1

A

H

1.撤销与重做操作：

（1）1撤消［Ctrl+R］复原前一次操作（也就是撤消前一次操作）。

（2）［R重做［Ctrl+R］重复前一次操作（将已撤消的操作重复出来）

2..编辑操作：

(l)［x剪切Clrl+X］将选中对象剪切到剪贴板

(2)［C复制Ctrl+C］将选中对象复制到剪贴板

(3)［P粘贴图片Ctrl+V］将剪贴板上的内容粘贴到当前文件上

(4)［E清除Ctrl+Del］清除全部选中对象等。

三、按钮设置

1.M运动：命令点由这一位置运动到另一位置。

操作：①依次选定起点、终点；②启动下拉菜单中［编辑］―［操作类按钮］一［动画］命令；③运动方式设置：如下图,

有急速、快速、中速及慢速等四档。

:几何画板-［未e名I］

•文件国)显示如构造©期(X)度景0)则6如垓图⑹窗口如帮助QJ)-o'X

撤洎构造点国)

重做®

雪切9Ctrl*X

复制©CtrltC

粘！te图片9Ctrl*V

漕除点位)Del

操作类按钮任)随版/显示，

动画

全选⑷Ctrl*A

移动®>…

选择父对象国)Alt+t

初底)…

选撵子对象QP

声音

安载图片到多边必

涟按&)…

从圆中分隔点6)滚动⑹…

编辑定义©)•••Ctrl»E

属性(Q)'Alt+?

多数选项e>…

构造一个按钮用于控Udift中对象的动作

将介茨三w£f-><|

■►运动AD~*0

于是在画板中出现按钮1-------------.当双击该按钮时，动点就会按要求移动。

2.A动画：动点按照给定的路径(线段、直线、射线、圆等)运动。

操作：①选定一个动点、一条轨迹：②执行［编辑］~［按钮］一［动画］命令，弹出上图所示对话框，进行动画设置；

③一切设定完毕，按下“动画”按钮，在画板中出现按钮，双击此按钮，动点就按给定的轨迹运动起来。

3.H隐藏/显示：对选定对象设置“隐藏/显示"按钮。

操作：①选择需要隐藏的对象；②执行［编辑］-［按钮］-［隐藏/显示］命令，画板上出现按钮，双击△隐臧按钮，

被选择对象隐藏起来，双击▲显示按钮，显示被隐藏对象。

4.Q序列：按选定动作序列设置新的动作按钮。

操作：①依次选择几个需要顺序完成的动作；②执行［编辑［按钮］一［序列］命令，在画板中出现按钮，双击此按

钮，画板就依次执行设定的动作。

5.执行按钮：执行选择按钮的动作。

6.选择按钮

(1)[A选择全部Ctrl+/]选择活动窗口中的全部内容。

(2)[N选择父母Ctrl+U]选择父母对象。

(3)[H选择子女Ctrl+D]选择子女对象。

7.[0插入]

【链接】

”.刊两姓-r木6力|1匚lf&|阪

【0插入】可插入各种对象：声音、动画、图形、图像、文字、…。设置标签如图：

从插入目标类型看，理论上可在几何画板中插入Windows资源管理器中存在的各种媒体文件，究竟有哪些媒体能在

你的计算机中插入，希望通过实践来摸索(声音是可以的)。

四、显示/隐藏

t几何同板一[未e名口

»文件CE)编辑色)显示(H)构谯©变换CL)度是如)数据QI)绘图®面口W帮助QD

点型g

线型QP

凝色(£)

文本篁)

隐菽对象QDCtrl+H

O显示所有'隈禄(S'Shift*Ctrl+H

品示绿筌电)Cti-1+K

H标装03…Alt+/

追粉&Ctrl+T

陵除iS踪踪迸QPShift+Ctrl+E

N动画3)Alt+

力出3tCDA11+]

Ait+t

停止动画生)

0显示文本工具栏式)Shx£t+Ctrl+T

显示运动控制台

隐魂工具箱(Q)

=.►

1.[L线类型]定义所选择的线的类型：粗线、细线、虚线等。

:几何画板[未命名1]

2.[C颜色]定义线或面的颜色。面的颜色只有7种（前一列中的7种）；面的颜色共有28种。

1几何两板-[未命名1]

♦文件（F）第辑建）显示漫构造©变换①度量皿）数据3）绘图⑥囹口世）帮助QP-目X

点发（£）A>

线把但）

文本应）

隐魔对象（H）Ctrl+H

显示所有隐做W）ShiftKtrltH

显不标签8）Ctrl+K

对象的标签g…Ait+/

追脐对象CE）Ctrl+T

擦除追—还坦）Shift-K

生成对象的动画区>Alt+'

加速Q）Alt*]

减速伽Alt*[

停止动画CS）

显示文本工具栏Ct）Shift+Ctrl+T

显示运劲控制台®）

隐藏工具箱（0）

3.[Y字号/字形?]、[F字体?]

Y字号/字型

E字体、字形与字体的定义。

4.[H隐藏（对象）Ctrl+H]、[S显示所有隐藏]

H隔藏圆内Ctrl+H

S显示所有隐藏

线、文本、图像等）进行隐藏；将所有隐藏对象

全显示出来。

5.[B显示符号Ctrl+k]、[R更改符号（对象）]

B显示符号Ctrl+K

R更改符号周内...

显示所选对象的符号；对所选对象的符号进行更改。

6.[T轨迹跟踪（对象）Ctrl+T],[A动画…]

T轨迹跟踪圆内Ctrl+T

以动画一

跟踪对象（点、线、内圆、内多边形等）移动的轨迹；定义动画（与前面编辑中动画定义相比，这里只有一

次，且无按钮）。

£设置参数―

设置显示参数。其设置标签如图所示。

-

0

/

a

A

/

0;>►

创业一个撤参效

新建参数

名称数值

KZZP1.00

单位

◎无。角度o距离

［帮助回］［取消］|确定

五、构造

t几何看板一［未命名1］

窗口世)帮助国)

对象上的点电)

中点火)Ctrl+M

交点(J)Shift+Ctrl+I

或宜⑤Ctrl+L

直线g

平行线W)

垂班如

角平分线建)

以国心和画周上的点作圆(Q)

以息心和半径作圆圆)

囿上的弧(A)

虫点顺和

内部⑨Ctrl+P

构造菜单由五部分够成：构造点、构造线、构造圆或圆弧、内部、轨迹等。

1.构造点：

(1)［0目标上的点］

(2)［I交点Ctrl+I］构造两相交线(直线或弧线)的交点。

操作：①依次选择两条相交的直线或弧线；②执行该命令或按下［Ctrl+I］键。

(3)［M中点Ctrl+M］构造某■-线段的中点。

操作：①选定一条或多条线段；②执行该命令或按下［Ctrl+M］键。

2.构造线：

（1）［S线段Ctrl+L］根据选定的点依次构造线段（直线、射线），具体由“工具”给定.

操作：①选定两点或依次选定几点；执行该命令或按下［Ctrl+L］键。

（2）［D垂直线］过直线（或线段）外（或直线上）一点构造该直线（或线段）的垂直线。

操作：①选择一个（或多个）点和一条（或多条）直线；②执行该命令。

（3）［P平行线］过直线外一点构造该直线的平行线。

操作：①选择一个点（或多个点）和一条（或多条直线）；②执行该命令。

（4）［B角平分线］构造一个角的平分线。

操作：①依次选定三点A、B、C代表NABC；②执行该命令，便作出NABC的平分线。

3.构造弧线：

（1）［T以圆心和一点划圆］以选定的第一点为圆心，过选定的第二点画一圆。

（2）［R以圆心和半径划圆］以选定的点为圆心、选定的线段为半径画圆。

（3）［E圆上的弧］根据选定的三点，构造圆上的弧（有一点为圆心，另有一点不一定在圆弧上）

（4）［A构造过三点的圆弧（三点均在圆弧上）

4.构造轨迹:U轨迹根据条件，构造点的轨迹（以后在讲）。

5.构造内部：棉加坟工（三种方式）

根据选定的对象构造内圆（选择对象是圆时）、内多边形（按依次选定的点）、扇形内

（按选定的圆弧）、弧弦内（按选定的圆弧）

6.构造轨迹：按约束条件构造轨迹。

六、变换

几何过板［末0名11

馆口®)然助(H)

标t己中心WJShxft«-CtrltP

IH标记蟆面但)

•标记例坦(A)

标记比UJ)

。每记问ixtW)

有记距Mt0

/平移底〉…

版特(£)—

sass®)—

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逐代Q3…一自

切注自定义变蛆＜£)-

N蛔他白定义会也QE)…

0

X

1.变换方式：

(1)工平移•一执行［变换］~［平移…］后出现定义标签:

:几何画板-［未命名1］

»■文件国)编指0)显示8)构造©变换(I)SSQfl)数籍®蛀图◎窗口戏)帮助QD■5X

按标记词生平移选定对象

aatiCizD][由？白]干:工：|

可选择“根据标识的距离”平移、根据“直角坐标向量”平移、根据“极坐标向量”平移、根据“标识的向量”平

移等多种定义，不同的定义方式，移动的用处不同。

(2)R旋转.•执行［变换］f［R旋转…］后，出现如下对话框：

这里，可给定要旋转的角度或选择“根据标识的角度”事先设定进行旋转。

⑶D缩放一执行[变换]-[D缩放…],出现下图对话框：

这里，你可自己给定缩放的比例，或选择“根据标识的比例”（事先设定）进行缩放。

(4)工反射执行［变换］-［F反射］命令，将选择对象按标识的镜面进行反射。

•文件《£)编踞国)显示QD)构造(£)支教Q)度是国)数站QIJ检由®窗口杂助Q<)

。

/

a

A

f

k

:

按标记镜面反的给定对萦

2.标识：

(1)£标识中心？'•Ctrl+F如进行旋转、缩放等操作时，需标识中心。选择一个点，执行［变换］

-［C标识中心*Ctrl+F］或用鼠标双击该点，即标识此点为中心，即可进行旋转、缩放等变换。

(2)!出标识镜面"k"Ctrl+G在进行反射时，需标识镜面。选择一条直线或线段，执行［变换］-［M标

识镜面Ctrl+G］或用鼠标双击该直线或线段，即标识此直线或线段为镜面，此后可进行反射变换。

(3)Y标识向量标识从起点到终点的向量。顺次选择两个点，执行［变换］-［V标识向量］,即标识

一个从起点到终点的向量，在进行平移变换时，可选择“按标识的向量”进行，则平移的距离大小、方向均与该向

量一致。

(4)I标识距离标识一个距离。选定一个已测算的长度，执行［变换］-［I标识距离］,即按已测算的长度标识

一个距离，在进行平移时，可选择按“标识的距离”平移，其平移的方式就是在X轴或Y轴上按次距离平移一段。

(5)4标识角度标识一个角度。依次选定三个点(如A、B、C),执行［变换］一［A标识角度］,则标

识一个角度NABC,在进行旋转变换时，可选择“按标识的角度进行旋转。

(6)。标识比例标识一个比例。依次选定两条线段(如k、j),执行［变换］~［0标识比例”k/j”］,

则标识一个以线段k和线段j的长度之比的比例，在执行缩放变换时，可选择“按标识的比例”进行缩放。

七、度量

测算：

几何画板1朱母名I］

•文件包）铜铜电）显示构造也）天摭度呈皿）数据包）经图也）回口电）都助8

长曳3

」距离但）

•师同K（Q）

角度区）

0面枳©

f&

弧长久）

Z半径（B3

比（Q）

点时值包）

A坐你e

域坐锦QD

纵坐标（XJ

坐标距离©

/斜率⑤）

方程（Q）

。

:►

i.Q距离：测算两点间、一点和另一条线之间的距离。先选定两点或一个点和另一条线段（直线），

执行［测算］-［D距离］,画板中显示被测算的距离。

L长度

2.5斜率测算线段的长度、线段所在直线或选定的直线的斜率。选定一条线段，执行［测算］一［L

长度］,即测出所选线段的长度并显示于画板中：执行［测算］—［S斜率］,即测出所选线段或直线的斜率。

R半径

F圆周

3.IA面积kll算一个圆的半径、圆周、和面积。选定一个圆，执行［测算］-［R半径］（［F圆周］、［A

面积］）,即测出所选定的圆的半径（圆周、面积）。

A面积

4.2周长测算内多边形的面积、周长。选定一个内多边形，执行［测算］-［A面积］（口＞周长］）,

即测出内多边形的面积（周长）。

5.&角度测定所选角的角度。依次选定三点（A、B、C）,执行命令［测算］f［N角度］，所测角度（NABC）

便显示于画板中。

G弧度

6.其弧长测定所选弧的弧度或弧长。选定一段圆弧，执行命令［测算］-［G弧度］（［H弧长］），所测

弧度或弧长显示于画板中。

7.Q比例依次选定两条线段（L、L）,执行命令［测算］-［0比例］,则比例L/h算出并显示于画板

中。

8.■工坐标%!I算点的坐标。选定一个或多个点，执行命令［测算］-［I坐标］,则测算出各点的坐标并显示于

画板中。

9.S方程式测算圆、直线的方程。选定一个圆或直线，执行［测算］一［Q方程式］,则测算出该圆或直线的方

程式。

10.£计算-Ctrl+=执行命令［测算］一［C计算…Ctrl+=］,出现如下对话框：

分离坐标：将一个点的坐标分离为单独的横坐标和纵坐标。根据需要编写一个简单的计算公式或由系统内部

提供的函数进行数值计算。

T固定成表格

11.I将测算出来的一组数固定成表格。

例如：设计一反映折射定律的小课件:

入射角：i=63

折射角：r=36

入射角：i1.274.356.659.8313.6517.4522.8330.4936.6842.1452.7563.35

折射角：r0.832.844346.418.8711.31146919.3722.9826.0131.3535.74

入射角：i而射角：r1.531.531.531.531.541.541.551.571.601.621.681.77

sini0.020.080.120.170.240.300.390.510.600.670.800.89

sinr0.010.050.080.110.150.200.250.330.390.440.520.58

sini/sinr1.531.531.531.531.531.531.531.531.531.531.531.53

拖动“入射光线”上端的点，可改变入射角，折射角发生相应改变，这时，我们将入射角、折射角、入射角与折射角的比值,

入射角的正弦值、折射角的正弦值、入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值固定成表格，通过对比就可得相应的结论。

八、绘图

使用键盍和弹出菜单创建一个表达

式或者遢过点击画板中巳存在的值

或函数来插入。

,ZJ_BJ

4J山5J

2J

OJ^I皈消

A隐藏坐标轴显示或隐藏坐标轴。

2.S显示格栅显示或隐藏格栅。

3.N按格栅操作独的移动只能按照格栅进行而不能连续移动。

R格栅形式▽R直角坐标a,y）|

0

4.-极坐标9）选择是按直角坐标还是极坐标方式显示格栅。

PIB点...限给定坐标画点，可设定所画点的属性是定点还是自由点。设置如下。

绘制点

坐标

⑥直角坐标®O极坐标2）

（皎—，to|）

帮助®取消绘制；口

6.设定坐标的形式:

:几何画板-[未命名1]□0®

•文件任)编辑⑥显示①)构造©变换9度量如数据⑨窗口帮助国)5

•

o

z

<

A

z

i

.给定直线或圆的方程式的形式。

新建函教

使用键盘和弹出菜单创建一个表这

式或者通过点击画板中已存在的值

或函数来插入。

田7

2J|数值M▼|

团319l3

616J函数E▼|

凶(|

213l单位M一|

「

1I口)1

17

0J2d方程@)

符号用：

|帮助:B)|E二:蝴

y符号”x)

弟一痫边学边作

线性规划：

l®nil

•文>>■«>emqi>*M<C>va<i>”qpMKK9)

-

0

/

*

A

/

®

H

动点轨迹:

i几♦＜色板1线坐办总滑动”中总的物协】

•L文杵S*«*'!>显示。MAC'费4⑴▼*«'»««•处由5Hn<Y'耐助W

•

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食

A

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①

►=

□

太阳、地球、月亮相对运动：

n.Heftk（«n*MnA：ra.”克IHNK7H匚1画|5F

•文仲。£^«>构0<c><»a>«*«>KKat飨K）份）wa<x>«»«>

*<♦.

0

Z*,

A

N

①

►:

指数函数、对数函数、事函数图象比较:

二分法求方程的零点：

分段函数图象制作:

3几Mktkl未。811

•>Mill星系a©S»GI«*Q)MSonMk提)5WO<X)5助9

,.<

•

0

/

<

•

A

某区间（可动）上二次函数的值域：

第三篇深化学习

【深度迭代】

【操作步骤】先选中圆上起始点，再选中参数n-1,按住shift不放，【变换】出现【深度迭代】（否则只出现【迭代】）,

对话框中出现“？”，点圆上第二个点，点击对话框中【迭代］（可连接第一与第二两个点得线段，选中圆上起始点，再选

中参数n-1,按住shift不放进行迭代得正多边形）。点击参数n,【操作类按钮】，【动画】，范围改成3到18（太大不

明显），，连续改为【离散】，动画参数n,迭代成功。选择起始点，【操作类按钮】，【动画】，可使圆旋转起来。（注:

n-1可变为n+1）

【圆锥曲线制作】

制作定长线段绕轴旋转中点的轨迹是圆：

2几何画板-［绕坐标轴滑动杆中点的轨迹］

♦文件9编辑值）显示构造©变换⑦度:数据如绘图⑹窗口戏）帮助QP■曰X

按椭