2023-2024学年人教A版数学选择性必修第二册综合测试题(一)

人教A版数学选择性必修第二册综合测试题(一)

考试时间120分钟，满分150分.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1QQ

1.已知数列｛总的前4项依次为一；，1,-f,则该数列的一个通项公

式可以是()

A.(-1)”•~|GB,4〃=(-1)"L1G

n+2〃十2

〃2n2

C.小=(-1-2〃+1D.。”=(-1)"%+]

2.等差数列｛Z｝的首项为1,公差不为0.若成，。3,06成等比数列，则｛原｝

的通项公式为()

A.。”=3—2nB.a”=2-n

C.an'='nD.a”=43〃

3.已知.穴目=%+优+1)+(左+2)H----F2^eN*),则()

A.加1+1)—加1)=2左+2

B.加1+1)一穴口=3女+3

C.犬攵+1)—/(幻=必+2

D..穴%+1)—x%)=4%+3

4.已知曲线＞=优，+尤111%在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+Z?,则()

A.a=e,b=-\B.o=e,b=\

C.a=e1，b=1D.a=e]，h=­\

5.已知各项均为正数的等比数列｛a“｝的前4项和为圣，且8a5=回一2/，则

O

43=()

A-L1

A16Ba-8

C."D.g

6.等比数列｛0”｝中，a\=2,08=4,函数兀0=x(x—ai)(x—。2)…(x—。8),则

f(0)=()

A.26B.29

C.212D.215

7.等差数列｛z｝中，ai与04037是./（x）=x—41nx—孑的两个极值点，则脸

=（）

A.1B.2

C.0D.2

8.已知函数危）=~—2%+。（下|+丁，+|）有唯一零点，则。=（）

A.—B.1

C.gD.1

二'多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的

得2分，有选错的得0分）

9.记S为等差数列｛m｝的前几项和.若小+3“5=S7,则以下结论一定正确

的是（）

A.如=0B.S”的最大值为S3

C.S\=S6D.|t/3|<|a5|

10.已知数列｛.”｝满足m=|,知+1=言尢，则下列结论中正确的有（）

A-七十,为等比数列

B.｛*的通项公式为a“=32」i_]

C.｛&｝为递增数列

的前n项和为2"一々一1

｛Cln）J

11.若函数於）的图象上存在两个不同的点A,5,使得曲线y=«r）在这两

点处的切线重合，称函数“X）具有T性质.下列函数中具有T性质的有（）

A.y=ex—xB.y=d-f

C.y=^D.y=x+sinx

12-|—尤—1

12.已知函数yu)=——,则下列结论正确的是()

A.函数/(x)存在两个不同的零点

B.函数.*x)既存在极大值又存在极小值

C.当一e<HO时，方程有且只有两个实根

D.若工£口，+8)时，*x)max=《，则t的最小值为2

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知递增等比数列｛m｝满足或+。3=60,则仅〃｝的前三项可以依次是—.

14.函数4幻=/一6*—158+2的极大值是—，极小值是—.

15.函数yn%2。〉。)的图象在点(以，况)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+\,

攵为正整数，a\—16,则。1+“3+。5=___.

16.写出曲线y=In|x|过坐标原点的切线方程：.

四'解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知函数_/(x)==—Inx.

A-

(1)求人X)的单调区间；

(2)若贝。+2)勺g2)meR),求a的取值范围.

18.(本小题满分12分)设S”为数列｛m｝的前n项和，已知“2=1,25"=〃。".

(1)求｛斯｝的通项公式;

(2)求数列杵m的前〃项和T„.

19.(本小题满分12分)已知函数yU)=e，(a/—x+1).

(1)求曲线y=/U)在点(0,40))处的切线的方程；

(2)若函数/(x)在x=0处取得极大值，求a的取值范围.

20.(本小题满分12分)已知等差数列｛斯｝的前〃项和为5“且关于x的不等

式aix2—S”+2<0的解集为(1,2).

(1)求数列｛“,｝的通项公式；

(2)若数列｛瓦｝满足♦=皿+2aL1,求数列｛瓦｝的前n项和Tn.

21.(本小题满分12分)若函数/»=浸一加+2,当尤=2时，函数/U)有极

值一2.

(1)求函数7U)的解析式；

(2)求函数大用的极值；

(3)若关于X的方程7U)一女=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.

22.(本小题满分12分)已知函数/U)=a(e'+a)-x.

(1)讨论人尤)的单调性；

3

(2)证明：当«>0时，y(x)>21n〃+/.

人教A版数学选择性必修第二册综合测试题(一)

考试时间120分钟，满分150分.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1QQ

1.已知数列｛“”｝的前4项依次为一;，1,-j,则该数列的一个通项公

式可以是(A)

22

A.5(—1)〃•rB.a”=(—1产•木

层层

C.如=(T)"•罚D.1)皿•罚

［解析］数列的前4项分别为一1点a4-f9,y16,可得奇数项为负数，偶数

项为正数，可知：第〃项的符号为(-1)",排除选项B,D；

再观察分数的分母需满足〃+2,最终可得通项公式

〃十2

2.等差数列｛而｝的首项为1,公差不为0.若42,。3,。6成等比数列，则｛Z｝

的通项公式为(A)

A.an—3—2nB・z=2—n

C.D.=43〃

［解析］因为。2,43,46成等比数列，则后=。2口6,

即(ai+2d)2=(ai+d)(m+5d),将0=1代入计算可得d=—2或d=0(舍),

则通项公式为a”=l+(〃-1)x(—2)=—2〃+3,

故选A.

3.已知贝人)=%+(左+1)+(左+2)+…+2依IWN*),则(B)

A.1人+1)-/(4)=2左+2

B.加1+1)一川。=3女+3

C.犬女+1)一八%)=4女+2

D.加1+1)—加1)=4攵+3

［解析］必)=%+(%+1)+(%+2)+…+2%伙GN*),则於+1)—水)=/+1)

+(%+2)+(左+3)+…+(2%—1)+2卜+(24+1)+2(Z+1)一伏+(左+1)+(%+2)+…

+2k］=3k+3.

4.已知曲线＞=优'+乂11》在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+。,则(D)

A.a=e,b=~\B.a=e,b=1

C.a=e',b=\D.a=e^1,b=—\

［解析］由已知y'=aev+lnx+l,所以％=y'k=i=ae+l=2,/.fl=e~l,

点(1,ae)即为(1,1),

将(1,1)代入y=2x+/?得2+。=1,。=—1,故选D.

5.已知各项均为正数的等比数列伍“｝的前4项和为昌且8a5=。1一2。3,则

O

。3=(C)

A16B-8

C1D1

J42

［解析］设等比数列｛小｝的公比为q,

因为前4项和为号，且8a5=m—2。3,

所以q#l,)=*8an4=ai—2。q2,解得ai=l,4=/.则山=今

6.等比数列｛“”｝中，ai=2,制=4,函数/(x)=x(x—ai)(x—。2)…(工-48),则

f(0)=(C)

A.26B.29

C.212D.215

［解析］观察函数形状，变形为yU)=x-［(x—…(左一。8)］,

所以/'(x)=(x-Ql)(x-。2)・・・(无一〃8)+工［(尢-Ql)(x—42)…(X—Q8)］',

所以f(0)=41・42•…・。8=(。1・。8)4=84=212,故选C.

7.等差数列｛©｝中，a\与04037是/U)=x—41nx—?的两个极值点，则1空万巴。现

=(B)

A.1B.2

C.0D.I

,4,mx2-4x+mm

［斛析］f(X)=l--+~2=-------,因为0与Q4037是九x)=%-41nx—7

人•人人人

的两个极值点,

令g(x)=/-4x+/”,所以ai与。4037是方程/—4x+〃z=0的两个根，即G

+<74037=4,也即2a2019=4,所以02019=2,则"第a2<"9=21og22=2.

8.已知函数—2x+a(e「i+er'I)有唯一零点，则a=(C)

A.一；B.1

C.3D.1

[解析]方法一：段)=/—2x+a(e'"i+e*+|)=(》-l)2+a[e*r+e(x1)]—1,

令f=x—1,则g(f)=产+a(e，+e—今一1,

因为g(—t)=(—t)2+a(e~,+e1)—1=g(t),

.♦.g⑺是偶函数.

因为«r)有唯一零点，所以g⑺也有唯一零点.

由偶函数性质知g(0)=0,即a(e0+e°)—l=0,所以a=T，故选C.

方法二：由1Ax)=0得。[6厂1+6一(1)]=一/+2匚

因为©皿+广(门)22舸工？西=2,当且仅当x=l时取等号，

-x2+2x=-(x-l)2+l^l,当且仅当x=l时取等号.

若。>0,则a[ei+e-"F]22a,要使/(x)有唯一零点，则必有2a=1,即a

=2,

若aWO,则«r)的零点不唯一，故选C.

二'多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的

得2分，有选错的得0分)

9.记S”为等差数列｛%｝的前〃项和.若。+3a5=S7,则以下结论一定正确

的是(AC)

A.。4=0B.S”的最大值为S3

C.Si=S6D.|a31Vl〃5|

[解析]设等差数列｛而｝的公差为d,则ai+3(m+4J)=7ai+21d,解得ai

=-3d,

所以a〃=ai+（〃一l）d=（〃-所以〃4=0,故A正确；因为SG—Si=5t/4

=0,所以S=S6,故C正确；由于d的正负不清楚，故S3可能为最大值或最小

值，故B错误；

因为+。5=2a4=0,所以43=-CL5»

即|。3|=|。5|,故D错误.

10.已知数列｛z｝满足m=|,Z+I=悬;，则下列结论中正确的有（AD）

为等比数列

B.｛以｝的通项公式为为=32」_1

C.｛小｝为递增数列

D.］5］的前n项和为2"一4一1

｛UnJJ

［解析］由题意得一一二方+上，则1-+；=2d+/），而:+；=1，

Cln+1JCln+13\filn3）Cl13

故七十m是首项为1,公比为2的等比数列，

；+<=2"I得［,｛&”｝为递减数列，故A正确，B,C错误；

2"F

对于D，5+；+5++“+2+上2”-1,用的前〃项和为2"一六1，故

D正确，

故选AD.

11.若函数人x）的图象上存在两个不同的点A,8,使得曲线y=/（x）在这两

点处的切线重合，称函数式幻具有T性质.下列函数中具有T性质的有（BD）

A.y=ex~xB.y=x4~x2

C.y=^D.y=x+sinx

［解析］由题意可得，性质T指函数式幻图象上有两个不同点的切线是重合

的，即两个不同点所对应的导数值相等，且两点处函数的切线方程也相同.

对于A选项，y=e.x-x,则y'=e'—1,导函数为增函数，不存在不同的两

个尤使得导数值相等，故A不符合；

对于B选项，y'=4/-2x,设两切点分别为（xi,才一行），（X2,x,一高）且43

—2XI=4JH—2X2,

取X1=—乎，X2=*,则yi=—2=”，两切点处的导数值为y'=0,两切

点连线的直线斜率为4=更二上=0,所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜

X2~Xl

率，符合性质7,所以B选项符合；

对于C选项，设两切点分别为(xi,N)和(X2,3)，则两切点处的导数值相等

有：3X=3遇，解得：x\=~x2,令xi=a,则％2=—。，两切点处的导数y'=3a2,

苏一(一Q)3

两切点连线的斜率为Z=---7---T~=a2,则3屋=次，得。=0,两切点重合，不

a-(一a)

符合题意，所以C选项不符合；

对于D选项，y'=l+cosx,设两切点的横坐标分别为xi和xi,则1+cosx\

“I匕匕〜e兀57tml兀।I57cl.

=1+COSX2,所以COSX1=COSX2,取Xl=],X2=/~,则丁1=]+1,+1,

两切点处的导数值为y,=1,两切点连线的直线斜率为仁廿=1,所以两切

点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合性质T,所以D选项符合.

-\~X-1

12.已知函数式x)=---,则下列结论正确的是(ABC)

A.函数7(x)存在两个不同的零点

B.函数兀r)既存在极大值又存在极小值

C.当一e<M0时，方程兀0=%有且只有两个实根

D.若坤3+8)时，危)„虫=5，则f的最小值为2

—1zb\/5

[解析]对于A：*x)=0=>/+x—1=0,解得x=--2~,所以A正确；

x2—x―2(x+l)(x—2)

对于B/，(X)=———一§一

当/'(无)>0时，-14<2,

当/'(x)<0时，x<~\或x>2,

故(一8,-1),(2,+8)上函数的单调递减区间，(一1,2)是函数的单调递

增区间，所以人—1)是函数的极小值，

7(2)是函数的极大值，所以B正确；

对于C.当Xf+8时，y->0,根据B可知，函数的最小值是1)=-e,

再根据单调性可知，当一e<%<0时，方程./U)=Z有且只有两个实根，所以C正

确；

y

4

2

对于D.由图象可知，，的最大值是2,所以不正确.

三'填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.己知递增等比数列｛“"｝满足02+。3=6.1,则｛“"｝的前三项可以依次是

124(答案不唯一),

［解析］设｛。“｝的公比为q,因为。2+。3=6卬，所以aiq+aiq2=6m,所以“

十才=6,解得4=—3或q=2,又数列｛z｝为递增数列，所以q=2,所以只要

写首项为正数，公比为2的等比数列的前三项均可，如1,2,4.

14.函数-15x+2的极大值是3极小值是一98.

［解析］由已知/(x)=3f—12x—15=3(x+l)(x—5),

由f(x)>0得(x+l)(x—5)>0,即x<—1或x>5,_/(x)在(一8,—1)和(5,+

8)上单调递增，

由尸(尤)<0得(x+l)(x—5)<0,即一1<X<5,。力在(一1,5)上单调递减,

所以7U)极大值=大-1)=10,凡r)极小值=,5)=-98.

15.函数丫=/(心>0)的图象在点(以，况)处的切线与x轴交点的横坐标为以.*」，

%为正整数，41=16,则。1+。3+。5=21.

［解析］由已知，y'=2x,点o，成)处的切线的斜率攵=2四，

在点3，次)处的切线方程为厂次=2。心一点)，当y=0时，解得％=发，

所以以+1=半=>""=\,ai+ai+as=16+4+1=21.

乙ClkA

16.写出曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程：y=f,y=-f.

［解析］当x〉0时，点(xi,lnxi)(xi>0)上的切线为y—lnxi=；(x—xi),若该

x

切线经过原点，则lnxi—l=O,解得xi=e,此时切线方程为y=［

当x<0时，点(X2,ln(—X2))(X2<O)上的切线为y—ln(—X2)=；(x—X2),若该切

线经过原点，贝!］ln(一功-1=0,解得X2=-e,此时切线方程为y=一：.

四'解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明'证明过程或

演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知函数Inx.

(1)求人X)的单调区间；

(2)若人。+2)勺(/)meR),求。的取值范围.

［解析］的定义域为(0,+8).

且x>0,

(x)<0在(0,+8)上恒成立.

即火X)单调递减区间为(0,+8).

r«+2>o,

(2)/(a+2)勺(。2)等价于1标>0,解得一］<。<0或0<<7<2,

1a+2>/,

：.a的取值范围为(-1,0)U(0,2).

18.(本小题满分12分)设S为数列｛斯｝的前〃项和，已知a2=l,2S“=〃a”.

(1)求｛z｝的通项公式；

(2)求数歹“安|的前〃项和Tn.

［解析］⑴因为2S?=”,

当〃=1时，2ai=ai,即ai=0；

当〃=3时，2(1+必)=3。3,即“3=2,

=

当时，2Sn-1=(n—1)an-1,所以2(Sn~Sn-\)=nan~(n—l)an-i2an9

化简得(〃-2)a?=(〃一l)a〃—i,当九23时，言y=失;=・・・=，=1,即a〃=

〃一1,

当72=1,2,3时都满足上式，所以斯=〃-1(〃GN*).

(2)因为甥=氤所以4=1X改+2乂钞+3*0+…+〃x&>,

如="住)25陟+.“+d)X陟+〃啕叫

两式相减得，

如=班陟+a+…+陟一科加利单］一加

1—5

=1—(1+习住),即5=2—(2+〃)g},〃GN*.

19.(本小题满分12分)已知函数«x)=e1加一x+1).

(1)求曲线y=/(x)在点(0,40))处的切线的方程；

(2)若函数人为在x=0处取得极大值，求。的取值范围.

［解析］(1)由式%)=&'<加一》+1)可得f'。)=玳加一x+l+2ax-1)=

&'(0^+20¥—X),

所以％=/'(0)=0,-0)=1,

故曲线y=/U)在点(0,.穴0))处的切线的方程为y=L

(2)由(1)可得/'(x)=xex(ar+2a—1),

当a=0时，/'(x)=—xex,

当x<0时，尸(x)>0,加)单调递增;当x>0时，/(x)<0,穴x)单调递减;

所以此时/U)在尤=0处取得极大值，满足题意；

1-2Q

当aWO时，令/'。)=十(以+2a—1)=0,解得加=0,X2=—^—.

下面对a进行分类讨论

①当a=；时，/'(外二上^^。，/U)在R上单调递增，无极值点，舍去；

②当a*时，

］—2a1—2Q

当x<-y-或x>0时，/'(x)>0,ZU)单调递增；当一工一<x<0时，/'(x)<0,

火x)单调递减,

此时«x)在x=0处取得极小值，故舍去;

③当«<0时,

当x<——^x>0时，f(x)<0,ZU)单调递减；当工一<x<0时，f'(x)>0,

_Ax)单调递增，

此时7U)在x=0处取得极大值，满足题意；

④当0<a<；时，

］—2a1—2。

当x<o或x>-y-时，f(%)>o,_/u)单调递增；当04<—^一时，fw<o,

_/(X)单调递减，

此时7U)在x=o处取得极大值，满足题意；

综上。的取值范围为(一8,

20.(本小题满分12分)已知等差数列｛z｝的前〃项和为S”，且关于x的不等

式aix2—S2X+2<0的解集为(1,2).

(1)求数列｛d,｝的通项公式；

(2)若数列｛儿｝满足bn=a2n+2an-l,求数列｛仇｝的前n项和T〃.

［解析］(1)设等差数列｛板｝的公差为d,

因为关于x的不等式S4+2<0的解集为(1,2),

所以air—Szx+ZnO的根为xi=l,X2=2,

所以S2=3ai,ai=l,

又S2=2ai+d,所以ai=1=l,

所以数列｛z｝的通项公式为a„=n.

(2)由(1)可得，皿=2〃,2。"=2",

因为从=42"+为"-1,所以儿=2"—1+2",

所以数列｛加｝的前〃项和Tn=[1+3+5H---F(2/7-1)]+

/cI2Icl3IIZ>„\”(L1+2〃-1)2(1—2〃)1..

(2+2+2+-+2«)=-~~-——Z+-V/=n2_|_2^1-2.

乙1Z

21.(本小题满分12分)若函数凡^二所3一法2+2,当x=2时，函数«r)有极

值一2.

(1)求函数/U)的解析式；

(2)求函数/U)的极值；

(3)若关于x的方程7(x)—A=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.

[解析](1)函数危)=加一加+2,'(x)=3ax2—2bx,

由题意知，当x=2时，函数式x)有极值一2,

[f'(2)=0,[12a-4/?=0,(a=l,

即1,解得彳

依2)=-2,[Sa-4b+2=~2,[b=3,

故所求函数的解析式为式犬)=/—39+2.

(2)由(1)得/'(x)=3f—6x=3x(x-2),

令f'(九)=0,得尤=0或x=2,

当X变化时，fw，7U)的变化情况如下表.

X(—8,0)0(0,2)2(2,+8)

f(X)+0—0+

於)单调递增2单调递减-2单调递增

因此，当x=0时，/(X)有极大值2,当x=2时，./U)有极小值-2.

(3)若关于x的方程_/U)—左=0有三个不同的实数解，则1x)=Z有三个不同

的实数根，即旷=大尤)的图象与直线y=R有三个交点.由(2)可得函数式幻的图象

如图所示，

二实数%的取值范围为-2<%<2.

22.(本小题满分12分)已知函数/(幻=。(&，+。)-x.

(1)讨论於)的单调性;

3

(2)证明：当a>0时，/x)>21na+.

[解析](1)因为y(x)=a(e*+a)—x,定义域为R,所以/'(》)="e'一1,

当aWO时，由于e'O,则ae'WO,故/'(x)=ae*—1<0恒成立，

所以/U)在R上单调递减；

当a>0时，令/'(x)=aev-l=O,解得x=—Ina,