空间图形及简单几何体的面积、体积-2022-2023学年高一数学知识考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）【解析版】

专题05空间图形及简单几何体的面积、体积

知识概栗/

知识点一棱柱、棱锥、棱台的结构

多面体结构特征

棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等

棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形

棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分

（二）旋转体的形成

知识点圆柱、圆锥、圆台、球的结构

几何体旋转图形旋转轴

圆柱矩形任一边所在的直线

圆锥直角三角形一条直角边所在的直线

圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线

球半圆直径所在的直线

知识点三空间几何体的直观图

简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：

（1）画几何体的底面

在已知图形中取互相垂直的X轴、y轴，两轴相交于点O,画直观图时，把它们画成对应的X,轴、y'轴，

两轴相交于点0',且使Nx'O,y'=45。或135。，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行

于一轴、＜轴.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原

来的一半.

(2)画几何体的高

在已知图形中过。点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z'轴，也垂直于『O'y'平面，已知图

形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z'轴且长度不变.

知识点四几何体的面积

圆柱的侧面积S=

圆柱的表面积S=2m(厂+/)

圆锥的侧面积S=7irl

圆锥的表面积S=^r(r+/)

圆台的侧面积S-7r(r'+r)l

圆台的表面积S=»(/2+/+r'l+ri')

球体的表面积S=4成2

柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之

和.

把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是

矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.

知识点五几何体的体积

1」

圆柱的体积V=7ir2h

圆锥的体积V=-7rr~h

3

V=^7ih(r'2

圆台的体积+F2+/，)

球体的体积V=-^7?3

3

正方体的体积V=a3

正方体的体积V=abc

【拓广】

AB

图(1)ffl⑵

1.等积变换

⑴直线a〃b(如图(1)),c是a上一点，则对于a上任一点。，.有SAABC=SAABD.

(2)若平面a〃平面ABC,且平面a经过点。，则对于平面a内任一点P,有VD-ABC=VP-ABC.

(3)对于二棱锥4—BCD,有VA-BCD—VB-ACD—VC-ABD=VD-ABC-

2.割与补

当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割

或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补法.

3.与球有关的组合体问题

(1)若一个长方体内接于一个半径为R的球，则2R=J""，?(人从c分别为长方体的长、宽、高),

若正方体内接于球，则2R=V3a(a为正方体的棱长)；

(2)半径为R的球内切于棱长为a的正方体的每个面，则2R=a.

<---------;

考点精折/

考点01空间几何体的结构特征

【典例1】(2023•全国•高一专题练习)上、下底面面积分别为36兀和49兀，母线长为5的圆台，其两底面之

间的距离为（）

A.4B.3V2C.26D.2瓜

【答案】D

【分析】首先根据题意得到所以圆台上、下底面半径分别为6和7,再画出图形，利用勾股定理求解即可.

【详解】设圆台的母线长/、高人和上、下两底面圆的半径r,R,

由题意可知：/=5,兀/=36兀,兀/?2=49-解得r=6,R=7,

如图可得：AC=6,BD=7,CD=5,DE=R-r=l,AB=CE=h,

满足关系式Cr）2=C£：2+O炉，即25=/+1，求得/7=2卡，

即两底面之间的距离为2面.

【典例2】（2023•高一课时练习）长、宽、高分别为3、4,5的两个相同的长方体，把它们某两个全等的面

重合在一起，组成大长方体，则大长方体对角线最长为.

【答案】5石

【分析】分类讨论求解大长方体的体对角线即可.

【详解】当大长方体的长、宽、高分别为3、4、10时，

体对角线为5/32+42+102=V125=5石-

当大长方体的长、宽、高分别为3、5、8时，

体对角线为5/32+52+82=眄=70.

当大长方体的长、宽、高分别为6、4、5时，

体对角线为后==丁方.

因为后＞回＞折，所以大长方体对角线最长为5不.

故答案为：5石

【典例3】(2023♦高一课时练习)若正四棱锥底面边长为“，侧棱与底面成60。角，求正四棱锥的侧棱长和

斜高.

【分析】在正四棱锥P—ABCD中，。是底面中心，尸。/底面ABCD,则/P3O=60°,从而尸8=2OB=-Jia，

取BC中点”，则。PM1BC,则即为正四棱锥的斜高，由此能求出正四棱锥的侧棱长和斜

高.

【详解】如图所示，在正四棱锥尸-ABCD中，

连接AC,8。交于。，则。是底面中心，「。工底面4台。，

NPBO为侧棱心与底面ABC。所成的角，故ZPfiC>=60°.

:.PB=2OB=y[2a.PO=­a,

2

取8c中点连接。“，PM,则OM_L8C,PMIBC.

PM即为正四棱锥的斜高，

在RJPOM中，OM=-,po=^-a,则

222

二正四棱锥的侧棱长为亚a,斜高为立a.

2

【总结提升】

解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧

1.关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：

(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.

（2）直接法

棱锥棱台

定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用I好轴截面中各元素的关系.

3.既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的，所以在解决棱（圆）台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.

考点02空间几何体的直观图

【典例4】（2023•高一■课时练习）直角梯形AD1AB,DC//AB,CD=2cm,AB=4cm,AD=4cm,

则水平放置的直观图中ACD的形状是.

【答案】等腰三角形

【分析】根据斜二测画法的原则，“横不变，纵减半”画出平面图形，即可得出结果.

【详解】在直角坐标系中，如图1所示，以A为坐标原点O,作出直角梯形A8CD,

如图2所示，再作出坐标系x'O'y',使Nx'O'y'=45,以A为坐标原点O',在x轴上作从9=4?=4,在V轴

上作A^=；AL>=2,作。且。"=OC=2,连结B'C',则△ACT）'为等腰三角形.

则ABCO水平放置的直观图中AC。的形状是等腰三角形.

故答案为：等腰三角形.

【典例5】（2023•高一课时练习）如图所示是水平放置的为pc边的中线）的直观图，试按此图判

断原-"C中最长边是,最短边是

【分析】根据“斜二测”画法的原理还原直观图对应的原aABC,根据图象即可判断最长边和最短边.

【详解】如图为该直观图对应的原4ABC

则易知AABC为直角三角形，A力为BC边上的中线，

则AABC中最长的边为AC,最短的边为BC.

故答案为：AC；BC.

【特别提醒】

1.用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与/轴或V轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可

以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平

滑的曲线连接而画出.

2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：

近

S直观图=---SS2V2sMa.

4

3.解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线

或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.

考点03空间几何体的面积

【典例6】（2023.高一课时练习）若圆柱轴截面周长C为定值，则表面积最大值为（）

A.TT.C2B.--C2C.--C2D.--C-

248

【答案】D

【分析】设圆柱底面半径为「，高为〃，由已知及圆柱的表面积公式结合二次函数性质即可得到表面积的最

大值.

【详解】设圆柱底面半径为r,高为人，

因为圆柱的轴截面周长为4r+2/?=C(C为定值)，所以27?=C-4r,

所以圆柱的表面积为j=S1M+2s底=2nrh+2nr

7T

=?tr(C-4r)+2兀产=-27t(r--)2+—C2,

当，=1C时，圆柱的表面积有最大值为TTC2.

48

故选：D.

【典例7】(2022春•贵州贵阳•高一统考期末)如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如

图②,已知圆柱的底面直径AB=16米,母线长4)=4米，圆锥的高2。=6米，则该蒙古包的侧面积约为()

，•i'、

图①图②

A.336兀平方米B.272兀平方米C.2087c平方米D.144兀平方米

【答案】D

【分析】首先根据圆柱的侧面展开图为长方形求出圆柱的侧面积,再根据圆柱的侧面展开图为扇形求出圆

锥的侧面积，进而得到蒙古包的侧面积.

【详解】依题意得，

圆柱的侧面积A=2兀x(gAB)xAD=2nx-ixl6x4=647t,

DC=AB=16,：.QC=-DC=-xl6=8,

22

在RtPQC中，PC=JPQ2+QC2=V62+82=10-

二圆锥的侧面积52=；xPCx2兀xQC=gxl0x2兀x8=8()兀，

该蒙古包的侧面积S=S]+S2=64兀+80兀=144兀,

故选：D.

【典例8】(2023•全国•高一专题练习)已知侧面积为27的正三棱柱的侧棱恰好是某个圆柱的三条母线，且

这个圆柱的底面半径是2,则此圆柱的表面积为。

【答案】(8+6々)兀

【分析】设正三棱柱的底面边长为“，侧棱长为人由已知及正三棱柱与圆柱的内接关系，求出。与力的值，

再根据圆柱的表面积计算公式代入计算即可.

【详解】设正三棱柱的底面边长为侧棱长为3

由题意知，正三棱柱是圆柱的内接三棱柱，

所以正三棱柱的侧棱长〃即为圆柱的母线长，

又因为正三棱柱底面三角形是圆柱底面圆的内接一角形，且圆柱底面半径为2,

所以三角形边长为a=2百，

又因为正三棱柱的侧面积S=3ah=3义2+xh=27,所以人=土叵，

2

所以圆柱的表面积为27tx2x工¥+2x7tx22=(65/3+8)71,

所以圆柱的表面积为(6石+8)w.

故答案为：(66+8)兀

【总结提升】

几类空间几何体表面积的求法

(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和.

(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和.

(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补.

(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数

量关系.

考点04空间几何体的体积

【典例9】(2023•高一课时练习)已知三棱柱ABC-4用弓的体积为1,P、Q、R分别为侧棱⑨、BB、、CC,

上的点且AP+CR=AV则％-AC.=()

A.gB.-C.一D.—

2346

【答案】B

【分析】山题意，根据线段的等量关系，可得面积的等量关系，结合棱锥的体积公式，进行等积变换，根

据同底同高的棱柱与棱锥之间的体积关系，可得答案.

【详解】解：在三棱柱ABC-A8C中，易知侧面ACGA为平行四边形，设其面积为S1,A4上的高为〃,

在平行四边形ACGA中，易知四边形ACRP为梯形或平行四边形，设其面积为S,且其高为/7,

则S=g/-（AP+CR）=g.〃-AA=：S],

在三棱柱ABC-AB£中，易知四〃平面ACGA，点。到平面ACGA的距离与点8到平面ACCA的距离,

设该距离为d,

连接AGA8,作图如下：

则%-*=345=§4了5]=§dS,A5=%A5=!_MC，

设三棱柱ABC-A8C的体积V=l,由图可知，VAi.ABC=^V=^,即％

故选：B.

【典例10]（2022•高一课时练习）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为G，则这个圆锥的体积为

【答案】2##叵

33

【分析】设圆锥的半径为，高为人根据等边三角形的性质结合面积公式可得/'=1,再根据锥体体积公式

求解即可.

【详解】设圆锥的半径为，高为h,因为其面积为B故4（24=百，解得E,高为力="•=6,

故该圆锥体积为!

33

【典例11］（2023•高一课时练习）在三棱台ABC-44G中，三棱锥8-ABC体积为1，三棱锥ABC体

积为4,则该三棱台体积为.

【答案】7

【分析】设三棱台ABC-48。的高为/?,山锥体体积公式可得出％型2=%3S*弋12,再利用台体的

体积公式可计算出该三棱台的体积.

13

【详解】设三棱台ABC-A4G的高为九，则％一4附=5%的6人=1，可得5Mglc=%，

1I?

VC,-AHCSAABCh=4，可得S^=—,

13BCh

所以匕8C-AS1cl=2（S,A5C+S"G+JSABCSAMG，•

故答案为：7.

【典例12］（2023•高一课时练习）在球内有相距9cm的两个平行截面，截面圆的面积分别为49万cn?和

400^cm2,求该球的体积.

62500

【答案】4cm'

3

【分析】根据截面圆的面积分别求出对应的半径，然后求出球的半径即可求球的体积.

【详解】解：①当两个平行截面在球心同一侧，作出球的截面图，如图:

.截面圆的面积分别为497rcm2和400ncm2，

，对应的半径30=7cm,AC=20cm,

且AB=9cm,

设球半径为广，

则OA=〃一400,OB=〃-49，

又，,-49=9+1,一400，

解得〃=25cm,

山2Ax.E、,4兀“3362500兀③

*'•的彳本秒［为x25cm=———cm；

②当两个平行截面在球心两侧时，作出球的截面图，如图:

截面圆的面积分别为《gitcm?和4007tcm2,

对应的半径比＞=7cm,AC=20cm,

且AB=9cm,

设球半径为，

则OA=〃-400.OB=〃_49，无解.

综上，球的体积为

【总结提升】

求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成己知体积公式的几何体

进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体

积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解儿何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高

和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数

值.

考点05几何体的展开、折叠、切、截、接问题

【典例13］（2022•高一单元测试）己知正三棱锥V-A8C中，侧面与底面所成角的正切值为正，AB=6,

这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（）

A.B.立二1C.2D,1

3333

【答案】B

【分析】根据正三棱锥底面边长为6,且侧面与底面所成角的正切值为夜，求出三棱锥的高和侧高，利用

勾股定理求出外接球半径，再利用等体积法求出内切圆半径即可.

【详解】因为三棱锥V-ABC为正三棱锥，底面边长为6,

且侧面与底面所成角的正切值为正，所以可得正三棱锥的高〃=",侧面的高3；

设正三棱锥底面中心为。，其外接球的半径为R,内切球半径为，

贝IJ有Or>2+£）A2=R2,也即（指一R）2+i2=R2,解得：R=巫,

2

正三棱锥的体积丫=gsMc/=3x；x6x3xgxr+gS"c"，

也即，x96x"=9r+36r,解得：r=9近=3近-瓜,

39+3^2

r-r-piI'3\/2-,^6V3—1

所以二=----7=—

R3763

故选：B.

【点睛】内切球的球心到各面的距离是相等的，球心和各面可以组成四个等高的三棱锥，那么内切球的半

径乘以正三棱锥的表面积就等于体积，通常用等体积法求解内切球的半径.

【典例14］（2021春•山东聊城•高一山东聊城一中校考期中）已知直三棱柱ABC-AAG的底面为直角三角

形，如图所示，N84C=90。，45=1,AC=2,AAt=3,则四面体A-A^C的体积为,四棱锥

A-BCC、B、的外接球的表面积为

c

【答案】114兀

【分析】直接根据锥体的体积公式代入计算即可得到结果；根据题意找出球心所在位置为的中点位置,

然后求得半径，根据球的表面积公式即可得到结果.

由题意可得=gx|ABHAC|=gx2xl=l,且〃=44],则匕2c=：5丫诋=；*以3=1

因为.ABC外接圆的圆心即为BC中点，设为。，

△A耳G外接圆的圆心即为BG中点,设为Q,

则。。|的中点到六个顶点的距离相等,

则。。的中点”为外接球的球心，即|C"|为半径，

凶=眄3时+|码=4,|OA/|=1|M|=|

LL2.乙乙

所以|CM=J|OC|2+|OM|2=J|Z[=当，

即外接球的表面积为4成2=4兀X4=14兀

4

故答案为：1,14K

【典例15]（2022春.福建三明.高一统考期末）如图，在中空的圆台容器内有一个与之等高的实心圆柱，圆

柱的底面与圆台的下底面重合.已知圆台的上底面半径与高均为40cm,下底面半径为10cm.现要在圆柱

侧面和圆台侧面的间隙放置一些金属球，则能完全放入的金属球的最大半径为cm,这样最大半径的

金属球最多可完全放入

【答案】106

【分析】(1)作出圆台容器的纵切图，则边间隙为直角三角形，由等面积法求出内切圆的半径即为金属

球的最大半径：

(2)作出金属球心的水平切面图，金属球间相切时可放最多金属球，通过求两相切金属球心与实心圆柱轴

心形成的夹角，即可知道一周可最多放金属球的数量

【详解】由题，下图为圆台容器的纵切图，圆0内切于,ABC时金属球。的半径最大，易得

AB=40cm,AC=30cm,BC=A/AB2+AC2=50cm，由等面积法得g(AB+AC+3C)r=gAB-AC,解得

尸=10cm,故金属球的最大半径为10cm；

下图为上图O点高度的水平切面，圆M、圆。|、圆。2两两相切，此时可放最多金属球，因为r=10cm,

则Mq=Ma=OQ=20,故NOIMO2=60。，则金属球最多可放嘤=6个，

故答案为：10;6

【典例16](2023•高一课时练习)圆锥的全面积为27兀cm"侧面展开图是一个半圆.

(1)圆锥母线与底面所成的角；

(2)圆锥的体积.

【答案】（呜

（2）9\/37icm3

【分析】（D设圆锥的底面半径为「，母线长为/,进而结合题意得;二;’再求解即可;

（2）结合（1）得圆锥的高为九=3有，再计算体积即可.

【详解】（1）解：设圆锥的底面半径为，母线长为/,

因为圆锥的全面积为2771cm2,侧面展开图是一个半圆,

27兀=nr2+nrl27=产+rl

所以即

2nr=nl2r=l

所以，圆锥的轴截面为等边三角形，如图△S43,

所以，圆锥母线与底面所成的角为

（2）解：由（1）知圆锥的底面半径为r=3,母线长为/=6,

所以，圆锥的高为〃==

所以，圆锥的体积为V=gx9兀*36=96兀

【总结提升】

1.常见的切与接问题：

（1）球内切于旋转体（圆柱、圆锥、圆台）或旋转体内接于球，解题的关键是抓住轴截面中各几何量.

（2）多面体（长方体、正方体、正四面体、正三棱锥、正四棱锥、正三棱柱等）内接于球.关键抓住球大圆

及球小圆与多面体的顶点位置关系.

（3）球内切于多面体，主要抓住球心到多面体各面的距离都等于球半径.

2.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：

（1）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，

球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为

平面问题.

（2）若球面上四点P,A,B,C中PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正

方体确定直径解决外接问题.

（3）处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由

于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等.

囊熏题探秘/

,—_____________________J

1.（2021•全国•高考真题）已知圆锥的底面半径为灰，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A.2B.2近C.4D.4A/2

【答案】B

【分析】

设圆锥的母线长为/,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为所求.

【详解】

设圆锥的母线长为力,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则T/=2%x应，解得/=2五.

故选：B.

2.（2021•全国•高考真题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

A.20+12&B.28&C.乎D.”也

33

【答案】D

【分析】

由四棱台的儿何特征算出该儿何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.

【详解】

作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,

所以该棱台的高/i=,22-卜夜-忘了=叵,

下底面面积$=16,上底面面积$2=4,

所以该棱台的体积V=gMS|+S2+7^T）=gx&x（16+4+A/^）=g0.

故选：D.

3.（2020•全国高考真题（理））已知A氏。为球。的球面上的三个点，0a为，A3C的外接圆，若。。|

的面积为4兀，A6=BC=AC=。。，则球。的表面积为（）

A.647rB.48兀C.367tD.32兀

【答案】A

【解析】

设圆a半径为「，球的半径为R,依题意，

得万，=4肛.•）=2,.ABC为等边三角形，

由正弦定理可得AB=2rsin60°=273，

:.OOX=AB=26根据球的截面性质。。1，平面ABC.

OO,±OlA,R=OA="G+QT="第+户=4,

「•球。的表面积S=4TTR2=64万.

故选：A

一、单选题

1.（2015秋・辽宁沈阳•高一东北育才学校校考阶段练习）正方体与其外接球的表面积之比为（）

A.y/3:itB.2:兀C.3:兀D.6:兀

【答案】B

【分析】由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得半径R,

再代入球的表面积公式可得球的表面积，最后结合正方体的表面积公式，求出比值即可.

【详解】设正方体的棱长为。，不妨设。=1,正方体外接球的半径为R,

则由正方体的体对角线的长就是外接球的宜径的大小可知：2R=岛，即尺=叵=且；

22

所以外接球的表面积为：S球=4成2=3兀.

则正方体的表面积与其外接球表面积的比为：6:3兀=2:兀.

故选：B

2.（2023・全国•高一专题练习）若一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆

柱的高是圆锥高的（）

A.1B.-C.|D.-

2334

【答案】C

【分析】根据题意可圆柱的底面积乘以圆柱的高=圆柱的底面积乘以圆锥的高xgx2,由此解答.

【详解】圆柱的体积=圆锥的体积x2,

即圆柱底面积x圆柱的高=圆锥的底面积x圆锥的高+3x2,

山此推出：圆柱的底面积x圆柱的高=圆柱的底面积x圆锥的高xgx2,

22

整理得，圆柱的高二圆锥的高圆柱的高：圆锥的高=5，

所以，圆柱的高是圆锥高的：.

故选：C.

3.（2023•全国♦高一专题练习）在古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》中，把轴截面为等腰直角三角

形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥S。中，点S与底面圆。都在同一个球面上，若球的表面积为16兀，则圆

锥的侧面积为（）

A.4&兀B.2叵1C.4兀D.2兀

【答案】A

【分析】由直径所对的圆周角为直角，可得圆锥底面半径为球的半径，利用球的表面积即可求解.

【详解】圆锥的轴截面为等腰直角三角形AS8,如图所示：

s

在直角圆锥SO中，点S与底面圆O都在同一个球面上，由NAS5=90,所以AB为球的直径,

若球的表面积为16兀，由4兀/?2=16兀，球的半径R=2,

则圆锥底面半径r=2,圆锥母线长/=2血，

所以圆锥的侧面积为S=nrl=4夜无■

故选：A

4.（2022春•湖北恩施•高一恩施土家族苗族高中校考期末）如图，一个底面半径为2〃的圆锥，其内部有一

个底面半径为。的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为Km?，则该圆锥的体积为（）.

na3C.D.8后片

【答案】B

【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积.

【详解】作出该几何体的轴截面如图示：A3为圆锥的高,

设内接圆柱的高为儿而8c=2a,3£>=r=a,

因为内接圆柱的体积为百兀/,即na2h=6依3,

则h=y/3a,

山丁AB〃瓦）故△CABs/iCED,贝ij上=空,

ABBC

即噜=等‘故"=2岛，

所以圆锥体积杵京（2心2岛考荷

故选：B

5.（2021秋•陕西咸阳•高一咸阳市实验中学校考阶段练习）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形

为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，

共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为2,

则其外接球的表面积为（）

啊C32TI

A.16兀B.87rC.D.——

33

【答案】A

【分析】根据其外接球为正四棱柱的外接球，再结合球的表面积公式，即可得到结果.

由题意可得钻=2,根据该儿何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为2,侧棱长为2a的

正四棱柱的外接球，即（2R）2=22+22+（2&[

所以R=2,贝ij该正多面体外接球的表面积S=4TTR2=471x2,=16兀

故选:A

6.（2023•高一课时练习）棱长为1的正四面体内切球的体积为（）

A.典B.在C.-D.瓜

8126216

【答案】D

【分析】设该正四面体的内切球半径为「，求出该四面体的体积，利用等体积法求出厂的值，再利用球体的

体积公式可求得结果.

【详解】将棱长为1的正四面体ABC。补成正方体则该正方体的棱长为也,

2

㈤一夜

一，

I212

设正四面体ABCD的内切球半径为，正四面体ABCO每个面的面积均为1x『=正,

44

=

由等体积法可得匕_叱7）==J厂（S/M6c+^/\ACD+S/\ABD+）广，解得厂=，

因此，该正四面体的内切球的体积为v=2兀=£K.

故选：D.

二、填空题

7.（2023•高一课时练习）已知圆台上底面积乃，下底面积4万，体积7万，则圆台的高为.

【答案】3

【分析】由圆台体积公式求解.

【详解】设圆台高为力，则由已知得g（%+J乃・4乃+4乃）3=7万,h=3.

故答案为：3.

8.（2023.高一课时练习）如果圆柱、圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积

的比是.

【答案】3:2:1

【分析】设球的半径为,，利用球体、柱体以及锥体的体积公式计算可得结果.

【详解】设球的半径为，则球的体积为％兀/,圆柱的体积为/柱=万产-2r=2口3,

1O-irr342

圆锥的体积为1维=3”、2,=学，因此，〜柱：%:%锥=2:§:§=3:2:1.

故答案为：3:2:1.

9.（2023・高一课时练习）正四棱锥的所有棱长均为1,则它的体积是.

【答案】亚