北师版初中七年级下册数学教案 第一章 整式的乘除

七年级数学•下新课标［北师］

第一章整式的乘除

本/章/整/体/说/课

V教学目标

知识与技能

1.了解正整数指数幕的意义和正整数指数幕的运算性质，掌握同底数辜的乘法、器的乘方、积的乘方

等有关幕的运算法则，掌握整式乘除法法则.

2.熟练运用幕的运算法则、整式乘除法法则进行运算.

3.灵活运用整式乘法公式进行运算，综合运用整式运算的知识解决问题.

4.掌握零指数幕、负整数指数幕的运算性质.

5.会逆用案的运算法则、乘法公式解决有关问题.

■过程写方涛

1.让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，发展学生的符号感和应用意识，提高应用代数方法

解决问题的能力.

2.在解决综合题目的过程中，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理的思考及语言表

达能力.

承感穗写侨值财

1.在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生

的数学应用意识.

2.通过数学活动了解数学的价值，发展“用数学”的信心.

■教材分析

本章的内容是在已经学习了有理数的四则混合运算、嘉的概念、用字母表示数、合并同类项、去括

号、整式的加减等内容的基础上进行的，是前面知识的延伸，本章具有承前启后的作用，是以后学习分式和

根式运算、方程以及函数等知识的基础.本章既是中学数学中数与式的重要组成部分,又是联系现实世界及

其他学科的重要工具.

为学习整式的乘除运算，需要首先学习同底数幕的乘法、幕的乘方与积的乘方，以及同底数幕的除法运

算，即前3节的内容.教科书在这里的处理方法，总的来说是类比数的运算，从数的运算开始，通过观察和进一

步体会、运用幕的意义，最终得到以字母为底数的幕的运算法则.教科书还在得到这些运算法则的过程中，

通过创设情境问题、穿插应用问题等，使学生从不同角度体会引入这些运算的意义，同时避免单纯代数式运

算给学习带来的枯燥感.

本章还引入零指数幕和负整数指数幕的意义，并明确指出它们是规定的，教科书所设计的猜想过程，实

际上是用来体会规定的合理性.由于负整数指数器的引入，这里偶尔会有分式形式出现，但它是作为同底数

事除法的一个自然延续，并不是作为知识点出现,在八年级下册，我们有专门的章节研究分式的问题.

在探究整式乘法法则（包括乘法公式）的过程中，即第4-6节中,教科书特别注重借助几何图形理解法则,

同时进一步强调代数式运算在解决“具有一般性”的问题中的作用，进一步发展学生的符号意识.

本章“科学记数法”一课时，是用科学记数法表示小于1的正数，是七年级上册内容的延续.教科书在此还

安排了让学生体会“较小数”的活动,把数的表示和具体数的实际意义结合起来，进一步发展学生的数感.

本章第7节，整式的除法运算是由整式乘法的“逆运算”引入的.另外特别要注意的是，本章只涉及整式除

以单项式结果仍为整式的除法.

本章内容的设计注重代数推理与几何直观两个方面的结合，注重学生对算理的理解和运算能力的提高，

注重学生数感、符号意识的发展，希望为后续分式、方程、函数等内容的学习奠定坚实的基础.

«教学重难点

［重点］

1.熟豢运用累的运算法则、整式乘除法法则进行运算.

2.灵活运用整式乘法公式进行运算，综合运用整式运算的知识解决问题.

【难点】

1.整式乘法公式的灵活应用.

2.逆用幕的运算性质解决问题.

«教学建议

1.准确把握教学要求.为减轻学生负担，培养学生的创新精神和实践能力，新课标对于那些对后续学习意

义不大、学得很早但用得很晚，以及过繁过难的内容进行了删减或降低了要求.教学中要注意准确把握教学

要求，避免将删掉或降低难度的内容重新拣回.在内容减少、要求降低，但课时不变的情况下,组织课堂教学

要逐渐由以教师传授知识为主转变为以学生的主动探索学习为主,留给学生足够的时间，让学生进行充分的

讨论与探究,发展学生的合作能力和创新精神.

2.合理配置问题.本章主要学习正整数指数幕运算性质与整式乘除的运算法则及乘法公式的应用,以运

算为主是本章的一个特点，因此本章是培养学生正确使用公式、性质、法则进行运算，提高运算能力的很好

的素材.教学时要让学生做一定量的习题，使学生不仅能够根据这些运算公式、性质和法则进行正确的运算,

而且能够理解运算的算理，合理安排运算顺序，寻找简捷的运算途径.但习题量要适当，难度要适中，题目要有

针对性，避免过多的机械性重复训练和偏题、难题、怪题，对公式、性质、法则等的应用，切忌死记硬背、

生搬硬套,真正提高学生的运算能力.

3.有关累的运算法则，教学时要注意导出公式的过程,而不只是要求学生记住结论，导出性质的教学，是

一个由特殊到一般的认知过程.学生对于字母表示数的广泛意义已有初步认识，但对于用字母表示幕的指数

还是初次遇到，所以他们会感到抽象，不易理解.为此，教学时应从特殊到一般,从具体到抽象，有层次地进行概

括抽象，归纳推理.从数的运算过渡到字母，把幕的底数与指数分两步进行概括抽象，就能使学生容易理解.

4.在整式的乘除法教学中，一定要通过实际情境让学生体会学习整式乘除法的必要性，鼓励学生运用乘

法交换律、结合律和同底数幕的运算性质等知识探索单项式乘单项式的运算法则，及运用乘法分配律、同

底数幕的运算性质说明单项式乘多项式以及多项式乘多项式运算结果的合理性.教学中还要重视学生对算

理的理解，使学生体会重要的数学思想方法一转化思想,而不必要求学生背诵法则.

乘法公式应用非常广泛,一方面可以简化计算，另一方面也是以后学习因式分解等内容的重要基础.乘

法公式也是本章的重点之一，教学时要注意引导学生仔细观察分析公式的结构特征，掌握公式的实质，让学

生在欣赏数学结构美的同时，体会数学公式的优越性.

5.本章的教学中要留充分的时间让学生进行自主探索、观察、分析、交流、概括、抽象、归纳等数

学活动，充分认识活动在发展数学中的作用，在解决问题中能够获得成功的体验,无论这种成功是多还是少，

要给学生留出足够的思考时间和空间，以及与同伴交流的机会.本章内容的呈现突出了学生的自主探索过程,

有的是依据原有的知识基础，有的是运用乘法的各种运算律，有的是借助直观形象的图形面积彳导到各种运

算的基本法则，所有这一切都要让学生自己进行体验、探索与认识，这也是本章教学的关键.

«课时划分

1同底数幕的乘法1课时

2幕的乘方与积的乘方2课时

3同底数基的除法2课时

4整式的乘法3课时

5平方差公式2课时

6完全平方公式2课时

7整式的除法2课时

回顾与思考1课时

课/时/教/学/详/案

1同底数幕的乘法

用整体设计

Q教学目标

哪写技能

1.经历探索同底数幕乘法运算性质的过程，进一步体会幕的运算的意义，发展运算能力和有条理的表达

能力.

2.了解同底数靠乘法的运算性质，并能解决一些实际问题.

过程舒才

1.在探索性质的过程中，让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的思维过程.

2.在推理和运用的过程中，让学生理解“由特殊到一般”的思维方法.

隗豌覆第值殖

1.在探索和训练的过程中，培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品

质.

2.引导学生自主探索，体验成功的快乐，增强对数学学习的兴趣，在轻松、和谐、有序的教学氛围中，培

养学生健全的个性.

Q教学重难点

【重点】同底数昂的乘法法则及其灵活应用.

【难点】理解同底数幕的乘法法则及运算性质.

教学准备

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】预习教材P2~3.

一教学过程

ff新课导入

导入一：

北京奥运会的很多建筑都做了节能设计.据统计，奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的

能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃

烧多少千克煤？

［过渡语］我们可以列出式子108x1()5,那么它到底等于多少呢？像这样的问题，就是我们要学习的同底

数幕的乘法.(揭示课题)

［设计意图］由生活实例的计算入手，直接引入本课的学习内容，可以增强学生在生活中学习数学的意

识.

导入二：

上学期我们学习了有理数的乘方，同学们回顾一下，什么样的运算叫做乘方？乘方的结果叫做什么？幕的

意义是什么？举例说明.

［设计意图］通过此活动，让学生回忆事与乘法之间的关系，即夕=00..?,从而为下一步探索同底数中

n个a

的乘法法则提供了依据,培养学生知识迁移的能力.

导入三：

太阳光照射到地球表面所需要的时间约是5x102s,光在真空中的速度约是3x108m/s,地球与太阳之

间的距离约是多少？

［过渡语］由路程=速度x时间，可知地球与太阳之间的距离是(5x102x3x108)m,这个乘积等于多少呢？

如何去计算？

［设计意图］选用生活中常识性的事例，更有利于激发学生的学习欲望，也可以帮助学生感知数学与生

活的密切联系.

至新知构建

［过渡语］两个底数相同的幕相乘，结果会是怎么样的呢？让我们一起探索同底数幕的乘法.

探究活动1同底数哥的乘法法则

思路一

活动1:学生独立完成下列题目

(1)求〃个相同因数积的运算叫做________，乘方的结果叫做________，"个a相乘写成乘方的形式

为________，其中a叫________，"叫________，6读作________.

(2)/表示个相乘，把"写成乘法的形式为/=.

(3)总对X*的指数相同吗？它们的底数相同吗?

［设计意图］让学生回顾乘方的相关知识，为同底数幕的乘法的学习做铺垫.

活动2:探究学x字

(1)指导学生根据乘方的意义可得：

103x102=(10x10x10)x(10x10)

二10x10x10x10x10

=105.

［设计意图］让学生感受学习同底数幕的乘法的必要性，并通过有步骤、有依据的计算，为探索同底数

幕乘法的运算性质做好知识和方法的铺垫.

(2)学生完成填空.

①43x42===.

②声兴===

【师生活防1一―生独立完成计算，小组成员互相检查，一位同学在黑板上板书,师生共同分析板书结

果.如果学生有困难,教师可以引导学生回顾问题(1)的解答过程,再进行计算.

［设计意图］(2)中两个特殊的算式具有代表性和层次性，其中算式①底数和指数都是整数，算式②底数

为字母，指数为整数.这两个算式和(1)中的算式为抽象概括出一般的结论奠定基础，让学生在每个算式的计

算过程中进一步明确算理和算法,进而得出正确结果.

活动3:同底数幕的乘法法则

请同学们观察下列各式等号左右两边底数与指数分别有什么关系.

103x102=103+2=105;

43x42=43+2=45;

分乂兴=$+2=#.

猜想:对于任意底数(m,〃都是正整数).

(学生小组讨论，能说出结果即可,教师引导推导过程)

a•…a)(aa•…a)

m个Qri个Q

=qq...a

(m+n)个a

-8fmn.

结论:同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

［设计意图］让学生在观察、比较、抽象、概括中总结出同底数幕的乘法运算的本质特征，并猜想出

其性质:“•入/"(6〃都是正整数).由此得到同底数靠乘法的性质:同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

思路二

活动1：猜想结果

(1)102x103；

(2)a2xa3;

(3)10以10〃(/77,〃都是正整数).

同学们猜想一下,它们的运算结果各是什么？

［处理方式］让同学们发表不同看法.

猜想1:(1)的结果是105,(2)的结果是多,(3)的结果是10办巴

猜想2:(1)的结果是106,化)的结果是次(3)的结果是10叫

［设计意图］在法则的推导过程中，采用了让学生猜想的方式，引起学生的争论，激发了学生进一步探求

的欲望，培养学生大胆猜想的数学品质.

活动2:验证猜想，获取正确的结论

［处理方式］听取学生猜想后老师总结.

猜想1的结论是正确的.因为102表示两个10相乘,103表示三个1。相乘，那么102x1()3就表示五个

10相乘，所以结果应该是105；彳表示两个a相乘,a3表示三个a相乘,#就表示5个a相乘,结果为

在10。表示m个10相乘,10〃表示/7个10相乘,10映10〃就表示(/7T+/7)个10相乘,结果为10办巴

教师利用多媒体课件展示推理过程：

102x103=(10x10)x(10x10x10)

=10x10x10x10x10

二105；

声声(物力(邰邰3)

-a^a^a^a^a

=我

=Q0xL0x…xIO”。。x10x…x10)

m个10n个10

=10研".

活动3：推导同底数幕的乘法法则

根据上述计算可知(777,/7都是正整数)：

⑴2小2七;

⑵C户期=—；

(3)(-3)^x(-3)七;

(4)办多=________.

分析:以上而不薮有以下两个特点:每个算式的底数都相同;每个算式的指数都是正整数.通过这四个

算式,可把底数和指数都抽象成用字母去表示.

底数和指数都变成一般的字母时，即：

/齐(QQ•…a)(QQ•…Q)

m个Q一个Q

=QQ•…a

(m+n)个a

结论:同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

字母表示:“•济=/*〃(/??,”都是正整数).

提醒学生注意:等式左边是积的形式，右边的指数是和的形式.

［设计意图］探求新知的过程让学生充分发挥个人的主体作用，使学生初步理解“由特殊到一般”的认知

规律，体会数学思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生的探索创新精神.学生通过相互之间的合作，归纳出

法则，发展学生合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力.

［知识拓展］三个或三个以上的同底数幕相乘的运算都是正整数)

aOTa,7a0=(aa-...a)(aa-...a)-(aa'...a)

m个an个ap个a

(m+n+p)个a

PJC(8f^'3^)'dP^3P~Kp

［设计意图］本环节主要是让学生通过自己的探究,使法则得到了完善、推广，解决了心中的疑惑，进一

步理解法则.

探究活动2同底数幕乘法法则的应用

例1(教材例1)计算.

(1)(-3)7*(-3)6;

⑵岛)\击;

(3)-

(4)加利勿行1.

【师生活动】让4名学生板演,其余学生先独立完成，然后小组互相检查，核对过程与结果，教师巡视,

及时发现学生在解题过程中出现的问题,然后共同纠错.教师最后强调书写要规范，如:当底数为负数或分数

时一定要加括号,并且第(1)小题的结果也可以写为-36第(3)题的结果容易错写为(-月8.

解:⑴(-3)7x(-3)6=(-3)7+6=(-3)13.

(2)(击)“击=(击)=(击)-

(3)-=-於5二.A8.

外力"办办"仆

(4)耳m.1=21=1

例2(教材例2)光在真空中的速度约为3x108m/s,太阳光照射到地球上大约需要5x102s.地球距

离太阳大约有多远？

【师生活动】学生认真读题，充分思考分析，一名学生进行板演，其余学生先独立完成,然后同桌互相

检查，核对过程与结果，教师巡视，及时发现学生在解题过程中出现的问题.学生完成后教师进行点评，强调结

果的书写要符合科学记数法.

解:3X108*5X102

=15x10］。

=1.5x1011(m).

地球距茗太阳大约有1.5x1011m.

［设计意图］以教材中例题为落脚点,让学生学会应用所学知识解决问题，以达到巩固新知的目的.同时

让学生感受大数，发展数感,提高对问题的分析、解决能力,使自己在不知不觉中进步.

睡1已知》吐4,士3,求下列各式的值.

⑴尹,；

〔解析)同底数幕的乘法法则是可以逆用的，也可以把都是正整数)当成公式用.

解:⑴尹公“正4x3=12.

⑵小办=”.”•d•公4x4x4x3=192.

［知识拓展］同底数幕的乘法法则的逆用:同底数幕的乘法法则用字母表示为"•/=#"，其中m,"均

为正整数，将公式倒过来就是k七才•的在解决有关问题时，公式的逆用会起到事半功倍的效果.

亘课堂小结

(1)同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

(2)理解法则时一定要注意前提条件是幕的底数要相同，是乘法运算而不是加法运算.

(3)公式中的Z77,"都是正整数.

(4)运算法则可以推广到多个同底数幕的乘法运算，以三个同底数幕相乘为例，用字母表示为

//30=打”(根,〃,。都是正整数).

巨检测反馈

1.填空.

⑴若则m=_______;

⑵若1(Fl。咤102013,则行.

解析:⑴由/♦/■q可知办4=20,所以/n=16.⑵由即#=/“可知神2=2013,则777=2011.

答案:⑴16(2)2011

2.计算.

⑴""；

⑵妙『1；

⑶厂1•尸13

(4)-庐(-①2.(./3.

解析:运用同底数幕的乘法法则计算,注意不要忽略指数为1的特殊情况.运算的过程中必须注意同底

数这个前提,注意确定积的符号.

解:⑴匕月产=y+2+3;卢

⑵片仆1=旧办1.

(3)片"1・/次1,片叶'1+仆1+1=必力'1.

(4)-/(・①2.(.加3=.妒

3.某种计算机每秒钟可以进行3x108次运算，那么这台计算机3x102秒可以进行多少次运算？

解:3X1O8X3X1O2=9X1()IO(次).

故3x102秒可以进行9x101。次运算.

4.若/=2,6=5,求产"的值.

解析:注意同底数幕乘法法则的逆用.

解:广七”#=2x5=10.

区板书设计

1同底数幕的乘法

探

究活动1

同底数幕的乘法法则

动

活

探

究2

同底数幕乘法法则的应用

例1

例2

例3

叵布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第4页习题1.1知识技能第1,2题.

【选做题】

教材第4页习题1.1问题解决第4,5题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列计算正确的是()

A.y=〃5

C.>2+>2=2/

2.下列各式中，结果为(>①3的是()

A.#+〃B人升功(求+按)

C.(尹力(/①2D.>a打①2

3.下列各式中，不能用同底数幕的乘法法则化简的是()

A.(尹功(A"

B.(A/?)a①2

C.-(3/?)(/>郎

D.(>Z?)(>"(a"

4.下列计算中，错误的是()

A.2/+/=2>3

B.(-7户(・7产74=712

C.(-s)2-a6-a3=a10

D.(a-Z?)3(/>那伞①5

【能力提升】

5.计算.

(1)-//•(・A)4；

(2)(・b)2(・。)3+/>(・04;

n.^.m-3n.y>m-

(4)(-2)x(-2)2x(-2)3x...x(.2)100.

6.(1)已知#=2,#=3,求尹，的值；

⑵已知4-242>1=29,且2AH8,求/的值.

【拓展探究】

7.1千克铀235释放的热量相当于2.7*106千克煤燃烧释放的热量.1吨铀235释放的热量相当于多少千克煤

燃烧释放的热量？

【答案与解析】

1.D(解析:由同底数幕相乘，底数不变,指数相加可知D正确.)

2.C(解析:将尹。看成一个整体作为底数,再利用法则可以得出.)

3.B(解析:选项A和D中底数都是可以利用法则,C中和aa互为相反数,可以化为同底数幕的

乘法.故选B.)

4.A(解析:B,C,D选项可以利用同底数幕的乘法法则得到，选项A不属于同底数幕的乘法，应该是合并同类

项.)

5.解:⑴-2A3♦(-A)4=-x12.(2)(-b)2-(-b)3+b-(-。尸=庐(-加)+〃=-〃+〃=0.(3)A3m-nA2/n-3n-xn-

m=Xm3n(4)原式=(-2)1+2+-+100=(-2)5050=25050.

6.解:⑴尹//¥=2*3=6.(2)由题意可知22>3=29,即2酎3=9,则a=3,由2a+b=8可得H2,故^32=9.

7.解:1吨=103千克,103x2.7x106=2.7x109(千克)，故相当于2.7x109千克煤燃烧释放的热量.

区L教学反思

成功之处

本节课同底数幕乘法公式推导过程中，学生经历了猜想、质疑、推理、论证的学习过程,也渗透了转化

和从特殊到一般的数学思想，充分体现了自主探究的学习方式.而在巩固深化环节上精心设计题目,通过学

生独立思考，小组合作等手段，让学生个个动手、人人参与，充分调动学生学习数学的积极性.同时也使各层

次的学生有不同的收获.

G不足之处

课堂节奏把握不够紧凑，最后例题讲解环节时间不够充分.对例题在计算过程中容易出错的地方强调不

足，对同底数基的运算法则的条件强调较少，容易导致学生在计算的过程中发生错误.

「勿再教设计

本节课始终围绕着同底数募的乘法公式展开，充分调动学生思维，鼓励学生积极探索.在设置习题的时

候，在注重基础训练的基础上，强调灵活运用同底数幕的运算法则.在完成第二个例题的时候，可以让学生独

立完成后再合作交流.

旧教材习题解答

随堂练习(教材第3页)

1.解:⑴5支(2)76.(3).A6-(4)(-C)3”

2.解:4X109X5X102=2*1012(次).

3.解:比邻星与地球的距离约为3x108x3x107x4.22=37.98x108x107=37.98x1015=3.798x1016(m).

习题1.1(教材第4页)

知识技能

1.解:⑴c】2.(2)107.(3)-虎(4)-次(5)*叫⑹户".

2.解:*"=/3"=2、8=16.

数学理解

3.解:⑴错误(2)错误,"。=犯⑶错误,2+2=2*.(4)正确.

问题解决

4.解:(1.3x108)x(9.6x106)=1.248x1015(千克)

5.解:(1必=32(个).⑵25・2，=25*1个).

一备课资源

Q)教学建议

本节课的设计，学生要经历从实际情境中抽象出数学问题的过程，在探索中，学生将自然地体会同底数

黑运算的必要性，有助于培养学生的数感与符号感，同时也发展了他们的推理能力和有条理的表达能力.在

教学过程中，教师可进一步启发要求学生往更深一层次去研究、剖析知识,概括出“底数互为相反数'时的运

算方法，培养学生知识的运用能力，加深对所学知识的理解.

⑥经典例题

阚国若棺2=6,犷5=11,求犷93的值

〔解析〕此题主要考察同底数幕的乘法法则的逆用，注意观察待求得幕的指数为A从3,恰好为前两

个指数a2与95的和，根据同底数幕的乘法法则，同底数幕相乘时指数相加，所以很容易得到应该将前两

个幕的形式相乘.

解：/77^加3二疗2.犷5=6X11=66.

2幕的乘方与积的乘方

¥教学目标

知识与技能

1.了解累的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.

2.经历探索幕的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会案的运算的意义,发展运算能力和有条

理的表达能力.

■过程写方法

1.在探索性质的过程中让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的过程.

2.在推理和运用的过程中，让学生理解“由特殊到一般，再到特殊”的思维方法和辩证的数学思想.

「情感态度写侨蒯门

1.在探索和训练的过程中，培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品

质.

2.引导学生自主探索，体验成功的快乐，增强对数学学习的兴趣，在轻松、和谐、有序的教学氛围中，培

养学生健全的个性.

Q教学重难点

【重点】黑的乘方、积的乘方的灵活应用.

【难点】幕的乘方、积的乘方的逆运用.

第口课时

口整体设计

■教学目标

面口识号技能.

学习幕的乘方的运算性质，进一步体会事的运算的意义,并能解决实际问题.

・♦程写一法一

经历探索幕的乘方运算性质的过程，发展推理能力和有条理的表达能力，提高解决问题的能力.

"W豌漉与(楣前1

培养学习数学的兴趣，建立学习数学的信心,感受数学的内在美.

Q教学重难点

【重点】幕的乘方性质的推导及早的乘方的应用.

【难点】黑的乘方性质的逆运用.

¥教学准备

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】预习教材P5~6.

旧教学过程

区新课导入

导入一：

1.填空.

⑴(23)2=23x23=2();

(2)(72)3=72*()X(尸7();

(3)(>)2=/x()=W).

［过渡语］同学们仔细观察结果中幕的指数与原式中幕的指数及乘方的指数，想一想它们之间有什么

关系？结果中的底数与原式的底数之间有什么关系？

2.情境引入.

木星

【课件展示】地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍

和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？'提示:球的体积公式是片314其中1/是球的体积/是球的

半径)

［处理方式］让学生思考后，自己得出结论.

生:木星的体积是地球的103倍;太阳的体积为地球的(102)3倍.

师:那么你知道(102)3等于多少吗？102是幕的形式，因此我们把这样的运算叫做早的乘方.这节课我们

就来研究幕的第二个运算性质——幕的乘方.

［设计意图］从地球、木星、太阳的半径关系入手，有效地激发了学生的学习兴趣，唤起了他们的求知

欲望,从而顺利导入新课.

导入二：

［过渡语］现有一个正方体,如果知道它的棱长是10,你可以求出它的体积吗？

生:可以，是103,也就是1000.

师:这个问题大家解决得很好，如果这个正方体的棱长为102,你可以求出它的体积吗？

生:可以，是106.

师:一个正方形的边长为103,你可以求出它的面积吗？

生他是106.

师:为什么是这个结果呢？

(学生思考2分钟，进行展示)

^:(102)3=(100)3=100x100x100=106.

(103)2=(1000)2=1000x1000=106.

师:这两个式子分别表示什么意义？它也是一种运算，也就是我们这节课要学习的累的乘方.(板书课题)

［设计意图］通过复习知识，直接点出本节课的主题，激发学生的学习兴趣,引导学生体验把实际问题抽

象成数学问题的一般方法,为新授内容做准备.

陷新知构建

［过渡语］上节课我们学习的是同底数幕的乘法，当幕的底数又是一个案的形式的时候,我们该如何计

算呢？本节课我们一起来研究这个问题.

探究活动1探索幕的乘方的运算性质

思路一

1.你知道(102)3等于多少吗？

学生展示计算过程：

(102)3

=102x102x102①

=102+2+2②

=106

=102x3

【思考】推出第①步和第②步的根据是什么呢？

点拨:第①步利用了乘方的含义,(102)3表示3个102相乘;第②步利用了同底数幕的乘法:底数不变，指

数相加.

【思考】观察上面的运算过程，底数和指数发生了怎样的变化？

点拨:结果的指数刚好是原式中两个指数的积，而运算前后底数没变.

2.做一做:计算下列各式,并说明理由.

⑴(62尸；⑵呼)3；

⑶(/)2；(4)(即〃.

［处理方式］通过观察不难发现,上面的4个小题都是零的乘方的运算，下面我们就请四位同学到黑板

上板演，其余的同学观察他们做的有无错误.

【师生活动】展示解答过程：

(1)(62)4=62-62-62-62=62+2+2+2=68.

(2)(a2)3=a2a2a2=a2+2+2=a^.

(3)(尹)2=/・2小

n个小n个m

(4)(^Ti)n=CL,n'Qrn•+m=grnn

【知识归纳】由上面的“做一做‘我们可推出幕的乘方的运算性质，即：(/)=漕(/77,/7都是正整数).

用语言表述为:幕的乘方，底数不变，指数相乘.

［设计意图］由幕的意义和同底数零的乘法得出幕的乘方的运算法则，知识自然生成，学生很容易接受.

思路二

回答下列问题：

(1)64的底数是________，指数是________，它表示________个________相乘.

(2)(62尸的底数是________，指数是________，它表示________个________相乘.

⑶(于)3的底数是，指数是，它表示个相乘.

［处理方式］学生先独立思考，然后小组内共同探究结果，并归纳总结得到结论，从而得到幕的乘方的法

则.

教师引导归纳：

6)4=XXX

（浜）3=XX

（叼2=X

XX

EP(am)n=(m,〃都是正整数).

【思考】面的探索活动，你发现了什么？

黑的乘方，底数，指数.

用字母表示［即吐孑叫万,"都是正整数).

［知识拓展］［(邛泗=3m吗/77,〃,。都是正整数).

［设计意图］通过三个问题由浅入深，由特殊到一般油猜测到探索、再到理解法则的实际意义,从而从

本质上认识、学习累的乘方的性质，并运用自己的语言进行描述，教师再引导学生归纳总结幕的乘方的法则,

充分利用课堂中的一切机会，调动学生探究问题的积极性,发展学生的语言表达能力.

探究活动2幕的乘方性质的应用

［过渡语］在具体问题中怎样运用幕的乘方的运算性质呢？下面通过例题看看同学们有什么高见.

盟国(教材例1)计算.

(1)(102)3；(2)(*；

(3)的3；(4)-(*)叱

(5)(必)3%(6)2(星)6-(#)4.

［处理方式］请几个同学口答(1)-(3)题，并课件展示解题过程：

⑴(102)3=102*3=1()6.

(2)啰)5=/5=庐.

(3)(6)3=/〃.

教师点拨(4)医6)题:

(4)-(/产表示(/产的相反数，所以-(A2)—X2m.

(5)(必)3.y中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先算乘方，再算乘法，所以

(尸)3.尸二歹.

(6)2(#)6-(#)4按运算顺序应先算乘方，后算减法，所以2(为6一符)4=2/6一/4=2印2一H2=萨.

［设计意图］例题的设计用来教会学生如何运用幕的乘方法则，同时进一步体会幕的乘方的意义，巩固

幕的乘方法则.

探究活动3幕的乘方法则的延伸

1.判断下面计算是否正确，如有错误请改正.

(1)(2)3=2；(2)a6a4=^4.

2.计算.

⑴(10*⑵一皑①乎;

⑶(总产".

［处理方式］

第1题:独立解答，汇报交流.

(1)(/)3二*不正确,(/)3表示三个〃相乘，即/•//=K+3+3=/x3=/；或直接根据幕的乘方的运算性质：

底数不变，指数相乘，得(巧3=/<3=上.

(2)，目=〃4不正确./4=：(3323身石>(3石日0二小。；或根据同底数幕乘法的运算性质：底数不变,指数

相加，得，•加=#4=和.

【温馨提示】注意幕的乘方与同底数幕的乘法运算的异同.

第2题:先让3名学生板演,然后课件展示(规范板书)：

解:⑴(103)3=103X3=109.

(2)-[(a-b).=-(a92*5=_(e2,)10.

(3)(2)«*=644=〃2.*=炉2+2=好.

【温馨提示】幕的底数和指数不仅仅可以是单独的字母或数字，也可以是某个单项式或多项式.

[设计意图]学生在练习中体会幕的乘方的意义，巩固幕的乘方运算性质.发现问题及时查缺补漏.

[知识拓展]逆用幕的乘方法则吟(即",可以将幕的底数进行转化，从而可化为同底数幕的乘法来计

算，也可以用来比较两个幕的大小.例如:由2-8"T6"=222可得2・23"-24咕222,即2i+3“i=222,从而得到后3.在

比较34。与43。的大小的时候，也可以将两个幕化为同底数或同指数来进行比较.

亘课堂小结

1.幕的乘方的运算性质.

(即公/叫/77,/7都是正整数).

幕的乘方，底数不变，指数相乘.

2.在具体应用黑的乘方的运算性质时应注意以下几点：

(1)黑的底数和指数不仅仅可以是单独字母或数字，也可以是某个单项式或多项式.

(2)正确区分幕的乘方与同底数累的乘法的异同.

运算名称运算形式

底数指数

同底数毫

am-an=am¥n不变相加

的乘法

幕的乘方(/产产不变相乘

⑶多重乘方可以重复运用上述幕的乘方法则:[(十)空4/7产"吗/77〃,「都是正整数).

(4)黑的乘方公式还可逆用，即都是正整数).

反检测反馈

1.填空.

⑴(尸)2片_______；

⑵若9m=3吗贝!|m=;

⑶若3x27x9=3*,则/.

答案(2)8(3)1

2.计算.

⑴(-1)5*3)平；

⑵(*)。

(3)(*)3+[(-M乎.

解:⑴(-1)5[(-3)平=(-1)-81=-81.

(2乂*尸•后/->(=*.

(3乂*)3+[(-^3]2=^+^=2^.

3.已知/=3,g2,求的值.

解:32m*3n=/n.33ft(8)2.(,)3=32x23=72.

区板书设计

第1课时

探究活动1探索黑的乘方的运算性质

探究活动2幕的乘方性质的应用

例题

探究活动3孱的乘方法则的延伸

叵布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第6页习题1.2知识技能第1,2题.

【选做题】

教材第6页习题1.2数学理解第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.若m,"均为正整数，则(唧)，即幕的乘方，底数，指数.

2.计算.

⑴(75尸________；

(2)75*74=;

(3)("；

(4)芹一启=________;

(5)[(-7尸尸一；

(6)[(-7)于=.

3.你能说明下面每一步计算的理由吗？将它们填在括号里.

⑴y(/)3

=r/()

=/().

(2)2(彳)6-(H)4

=2a12-a12()

=萨().

【能力提升】

4.已知3*=2,求3-2的直

5.计算.

(1)(-刈5+(-衣尸；

(2)(-打93•(承产皿；

(3)3(别2.(*)4一(/)2.(4)2.

【拓展探究】

6.已知10=5,10*=6.求：

(1)102升103。的值；

(2)1。2>34的值.

7.比较21。。与375的大小.

【答案与解析】

1.天〃不变相乘

2.(1)720(2)79(3)〃。(4)/(5)72。(6)720

3.(1)幕的乘方法则同底数器的乘法法则(2)幕的乘方法则合并同类项

4.解:3-2=3,32=2X9=18.

5解⑴(-刈5+(_2尸。.(2)(-*1)3.(〃)1*E-5»5.(3)3(/)2.(/)4_(刈2.(却2=2〃4.

6.解:(1)102升103*=(10，)2+(10炉=52+63=241.(2)102^36=102a-1036=(103)2-(10*)3=52x63=5400.

7.解：2］。。=(24)25,375=(33)25,而2833,故2100<375.

旧教学反思

q)成功之处

学生自主完成有关的练习，并在练习中发现累的乘方的法则，从猜测到探索到理解法则的实际意义，从

而从本质上认识、学习幕的乘方的来历.鼓励学生自己发现黑的乘方的性质特点(如底数、指数发生了怎样

的变化)并运用自己的语言进行描述，然后再让学生回顾这一性质的得来过程，进一步体会累的意义.由实际

问题引入黑的乘方的运算，体会幕的乘方运算的必要性.

Q)不足之处

在探究幕的乘方法则的逆运用时，给学生讨论与思考的时间较少，从练习中可以看出部分学生接受的不

是很好，以后在遇到难点问题时要争取当堂问题当堂清.

(却再教设计

把孱的乘方的性质应用于计算，培养学生使用一般原理进行演绎推理的能力,教学中应予以重视.

旧教材习题解答

随堂练习(教材第6页)

解:⑴109.(2)-a10.(3)〃4.

习题1.2(教材第6页)

知识技能

1,解:⑴联⑵冽(3)-时(4)/".(5吃.(6)日

2.解:⑴-卢(2)a12.(3)h.(4)0.

数学理解

3.解:(1)错误,应改为(2)3=2.(2)错误,应改为芋n=H。.

一备课资源

易错警示

累的乘方性质与同底数幕的乘法性质是不一样的，在学习中要正确区分募的乘方性质与同底数累的乘

法性质:黑的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数器的乘法是转化为指数的加法运算(底数

不变)

教学建议

在教学中，教师要注意引导学生对羯的乘方一般规律的探索和表达,在利用具体数进行实验论证上多花

点时间，让学生习惯于对具体数的操作，教师可以通过提出“你发现的规律对任意一个数都成立吗？”等问题

加以引导,并重视同伴之间的相互启发，在运算过程中,体会幕的乘方.因此，教师在教学中应提供丰富有趣的

问题，鼓励学生通过独立思考与讨论发现关系，给学生留下充分的空间去探索和交流,使学生经历从具体问

题中抽象规律、用符号进行表示的过程.

⑻链接中考

收回(2015•长春中考)计算(#户的结果是)

A.Sa2B.a6C.a6D.a3

〔解析〕本题考查幕的乘方的计算，根据幕的乘方法则可得(*户二二次故选C.

第2课时

用_整体设计

Q教学目标

询取写技能'

1.了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.

2.了解幕的有关运算法则之间的区别,灵活进行混合运算.

♦过程孰虹

1.经历探索积的乘方的运算性质的过程，发展推理能力和有条理的表达能力.

2.在推理和运用的过程中，让学生理解“由特殊到一般，再到特殊”的思维方法和辩证的数学思想.

F幅虢勃菽I

1.在探索和训练的过程中，培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品

质.

2.引导学生自主探索，体验成功的快乐，增强对数学学习的兴趣，在轻松、和谐、有序的教学氛围中，培

养学生健全的个性.

♦教学重难点

【重点】积的乘方的运算性质.

【难点】探索积的乘方的运算性质的过程.

°教学准备

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】预习教材P7.

旧教学过程

区新课导入

导入一：

在前面的学习中，我们知道了幕的意义、同底数幕的乘法运算法则和靠的乘方运算法则,你能分别用字

母表示出来吗？

［处理方式］学生口答(要注意语言的准确性).

教师总结，课件展示如下：

(1)幕:乘方的运算结果叫做幕.

axax...xa=an.

ri个a

(2)同底数幕的乘法法则:同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

科大尹〈me都是正整数).

(3)幕的乘方运算法则:幕的乘方，底数不变，指数相乘.

(即飞/叫。,〃都是正整数).

［设计意图］回顾幕的意义、同底数幕的乘法法则及幕的乘方运算法则，为本节课的学习做好铺垫.

导入二：

地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6x103km,它的体积大约是多少立方千米？\已知:球的体

积公式是^TT/8/

［处理方式］共同列出算式片$1/«=$1，(6*103)3,提出疑问(6x103)3=?它是幕的乘方吗？(6*103)3有怎

样的结构特征?从而引出本节课要研究和探索的积的乘方.

［设计意图］对于球体积的计算公式前面已经接触过,在实际的计算过程中，会遇到积的乘方的计算问

题,使学生感受到探索和掌握新知识的必要性，同时也可感受到数学无处不在,它来源于生活，又应用于生活,

激起学生的学习兴趣.

展新知构建

［过渡语］本节课，我们将继续探究有关幕的运算性质.

探究活动1探索积的乘方的运算性质

比一比：

⑴(1x2)4=,14x24二；

(2)［3x(-2升=,33x(.2"=;

做一做：

⑴(3X5)4=3()・5();

(2)(3、5产=3(),5();

(3)(四)=W)0).

［处理方式］可以用公式(亚产=，步(〃是正整数)来表示这一规律.

【结论】