高中数学选修第一册：模块综合检测卷

模块综合检测卷

本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第I卷(选择题，共60分)

一'单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1.倾斜角为120。，在x轴上的截距为一1的直线方程是()

y+l=0/=Q

C.由x+y—巾=0D."75x+y+巾=0

解析：选D由于倾斜角为120°,故斜率《=一小.又直线过点(一1,0),所以直线方程为

y=-y[3(x+l),即bx+y+巾=0.

2.已知向量。=(一1,1,0),*=(1,0,2),且版+》与2b互相垂直，则土=()

7B.|

C-5D.,

解析：选Dka+b=(—k+l,k,2),a~2b=(—3,l,-4),由(Aa+8)・(a-26)=3(«—1)

+A—8=0,解得《=芳.

3.经过点(1,0),且圆心是两直线x=l与x+y=2的交点的圆的方程为()

A.B.(X-1"3-1)2=1

C.x2+(y-l)2=lD.(x-l)2+(y—1)2=2

x=l,=1,

解析：选B由，

x+v=2,=1,

即所求圆的圆心坐标为(1,1),

又由该圆过点(1,0),得其半径为1,

故圆的方程为(x—l)2+(y—1)2=1.

4.若双曲线Ci：y—^=1与Cn喘一条=l(a>0,b>0)的渐近线相同，且双曲线Cz

的焦距为44，则》=()

A.2B.4

C.6D.8

解析：选B由题意得，£=2=>。=2a.①

因为G的焦距2c=44，所以c=m2+炉=2套②

联立①②，得力=4,故选B.

5.直线x-2j+2=0关于直线x=l对称的直线方程是()

A.x+2y-4=0B.2x+y~l=0

C.2x+y-3=0D.2x+y-4=0

解析：选A法一：设P(x,y)为所求直线上的点，该点关于直线x=l的对称点为(2-x,

y),且该对称点在直线x—2y+2=0上，代入可得x+2y—4=0.故选A.

法二：直线x—2y+2=0与直线x=l的交点为/(1,习，则所求直线过点尸.因为直线x

1,131

—2y+2=0的斜率为彳，所以所求直线的斜率为一彳，故所求直线的方程为y—3=-K(x—1),

即x+2y-4=0.故选A.

6.正方体A8C。-451Goi中，E,尸分别是OQ,BD的中点，则直线A"与E尸所成

角的余弦值是()

解析：选C以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

Dxyz,

设正方体的棱长为2,则4(2,0,0),01(0,0,2),E(0,0,l),F(l,l,0),

所以前=（一2,0,2）,EF=（1,1,-1）,

_ADTEF__4__亚

故cos（ADi,~EF）

\ADi\\EF\2书义小3

所以直线40与EF所成角的余弦值是坐.

故选C.

7.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，。为底面的中心，M为SO的中点,

动点尸在圆锥底面内(包括圆周).若则点尸形成的轨迹的长度为()

A字B卷

o5

x,y,

因为所以元京而力=0,即|(),1,

，y,

3

即y=j,此为尸点形成的轨迹方程，其在底面圆内的长度为2X.故选

8.抛物线M：V=4x的准线与1轴相交于点A,点F为焦点，若抛物线M上一点尸满

足2_LPF,则以尸为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据:黄七2.24)()

A，V^4B.V23

C.VI2D.y[2A

解析：选D由题意知，A(-l,0),尸(1,0),

点尸在以AF为直径的圆O:x2+y2=l±.

设点尸的横坐标为m,联立圆。与抛物线的方程得好+4*—1=0,

V/n>0,：.m=-2+y[5,...点尸的横坐标为-2+小，

：.\PF\=m+l=-l+y[5,

圆F的方程为(*-1)2+产=(点一1)2,

令x=0,可得了=R5—2小,

设圆厂与y轴相交于O,E两点，

...|£；。|=2。5-2422y5-2X2.244V^•故选D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9.平行于直线x+y+l=0,且与圆/+产=4相切的直线的方程是()

A.x+y+2啦=0B.x+j-2=0

C.x+y~2y[2=0D.x+y+2=0

解析：选AC根据题意，所求直线平行于直线x+y+l=0,则设所求直线的方程为x

+j+m=0,若所求直线与圆3+)2=4相切，则覆=2,解得m=±2吸，则所求直线的方程

为*+"2代=0.

10.在空间四边形ABC。中，AB,AC,4。两两垂直，则下列结论成立的是()

A.|AB+AC+AD|=|AB+AC-AD|

B.|AB+AC+AD|2=|AB|2+|AC|2+|AD|2

C.(AB+AC+AD)-BC=0

D.~AB:CD=AC-BD=~AD:BC

解析：选ABD因为,，~AC,而两两垂直，所以(下方+就)•茄=0,所以(7k+

AC+7JD)2=CAB+AC)2+A^+2(AB+AC)-AD=(AB+就/+恭，(AB+衣一

AD)2=(Afi+AC)2+AD5-2(AB+AC)-AD=(AB+AC^+AD5,故|7济'+就+茄|

=IAB+AC-ADI,因此A正确；易得B正确；C中，(3+就+而)了不=(焉+就

+AD)-(^4C-AB)=AB--AC—|AB|2+|^4C|2—^4C-^B+AD-^4C-AD=|AC|2—

|7B|2,当I就|=|成|时，I就|2一|前|2=O,否则不成立，因此c不正确；D中，ABCD

=Afi(AD-^4C)=^4C=0,同理可得就•诟=0,4D--BC=0,因此D

正确.故选A、B、D.

11.已知两点4(一5,0),3(5,0),若直线上存在点P,使|R1|一|P8|=6,同时存在点Q,

使1。3|-1。4=6,则称该直线为“一箭双雕线”，给出下列直线，其中为“一箭双雕线”的

是()

A.y=x+lB.y=2

4

C.y=]xD・y=2x

解析：选AB由题意知，满足条件的直线应与双曲线5一汽=1的左、右两支分别相交,

4

双曲线的渐近线方程为y=±^x,

・选项A:y=x+l,斜率A=l,直线与双曲线的左、右两支分别相交，选项B:y=2,

斜率为0,直线与双曲线的左、右两支分别相交，:.A、B满足题意.

12.已知。是坐标原点，A,8是抛物线》=炉上不同于。的两点，OALOB,下列四

个结论中，所有正确的结论是()

A.|。4Ho哈2

B.\OA\+\OB\^2y/2

C.直线48过抛物线y=*2的焦点

D.。到直线AB的距离小于等于1

解析：选ABD设A（x]，x|）,B（X29xi）9则。4・。8=0,即XM2（1+1必）=0,所以M

=-5.对于A,TOAMOB[=、Ix*（l+/＞栗11+舟+1+122.当且仅当xi=±l时

取等号，正确；对于B,\OA\+\OB\^2y]\OA\-\OB\^2^2,正确；对于C,直线A3的方程为

J—x?=^ri_~^（x—xi）,不过点（0,力，错误；对于D,原点到直线AB:^xi—~^x—j+1

=0的距离d—正确.

第II卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

13.双曲线百三一了与=1的焦距是-

解析：Vc2=a2+Z＞2=m2+12+4—m2=16.

.•.c=4.

答案：8

14.若圆C经过坐标原点和点（4,0）,且与直线y=l相切，则圆C的方程是.

解析：由已知可设圆心为（2,b）,'

由22+b2=（l—b）2=r1,：

得b=《，/=学

故圆C的方程为（X—2）2+&+多2=学

答案：（工-2）2+0+|）2=苧

15.已知椭圆C：?+£=1与动直线/：尸条+小相交于A,B两点,则实数，”的取

值范围为;设弦AB的中点为M（x,y）,则动点M的轨迹方程为.

y=^x+m,

22

解析：由＜I,*,，得18x+12/nx+4m—36=0,

J=14W-4X18(4/n2-36)>0,所以一3啦〈加<3Ml

设A(X],J1),3(X2,J2),

xi+x2m

x=2=―干

所以＜

Ji+j23.,.m

y-—2-=不(*1+%2x)+m=y,

可得3x+2y=0.

答案：(一球，372)3x+2y=0,xG［一r,啦］

16.在三棱锥。-ABC中，已知04,OB,0C两两垂直且相等，点P,。分别是线段

BC和。4上的动点，且满足AQ^AO,则尸。和08所成角的余弦的取值范围

是________

解析：根据题意，以0为坐标原点，分别以OB,0C所在

直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设(M

=OB=OC=1,则4(1,0,0),5(0,1,0),C(0,0,l),P(0,

Q(a,0,0)(0WaW，.9=(-a,瓦1一加，加=(0,1,0),所以cos＜.~QP,

市_遂•而b]q

|G[1,2],所以

\QP\\OB\后标而F优｝+g_i1+；h

当a=0,b=i时，cos<QP,OB>=1取得最大值；当a=1=Z>时，cos<QP,OB>=坐

取得最小值，所以PQ和08所成角的余弦的取值范围是号，1.

答案：孚1

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤)

17.体小题满分10分)已知椭圆1+1=1(“乂＞0)的左焦点为尸(一60),离心率为坐，

点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆小尸与截得的线段的长为c,时|=曜

(1)求直线FM的斜率；

(2)求椭圆的方程.

C?］

解：(1)由已知有示=§,

又由a2=》2+c2,可得.2=3C2,b2=2c2.

设直线FM的斜率为#依＞0),

则直线尸M的方程为y=A(x+c).

由已知，有(瑞6+俳=助

解得A=坐.

12y2、G

⑵由⑴得椭圆方程为归+方=1,直线/M的方程为y=¥(x+c),两个方程联立，消

去y,整理得3*2+2cx—5c2=0,解得了=一*或*=’.

因为点M在第一象限，可得M的坐标为c,

[(c+cp+^^c-J=4解得c=1,

由SM=

22

所以椭圆的方程为1.

18.(本小题满分12分)已知圆C：x2+j2+2x—3=0,直线/i与圆C相交于不同的两点

A,B,M(0,l)是线段A5的中点.

(1)求直线/1的方程；

⑵若，2与A平行，且，2与圆C相交于不同的两点E,尸出不经过圆心C),求△CEF的

面积S的最大值?

解：⑴圆C：*2+[2+2*-3=0可化为(x+l)2+y2=4,则C(一1,0),

而M(0,l)是弦43的中点，所以/1_LCM,

所以直线/i的斜率为一1,

则直线Zi的方程为y=~x+L

(2)设直线4的方程为y=—x+方，即x+y—6=0,

则点C(一1,0)到L的距离d=L^"=□晋＜2,

所以|EF|=2,4一屋,

1____________(4—油+/

所以的面积S=TXdX2J4-rf2=A/(4-rf2)rf2^x------z2------=2,当且仅当4一解

=/，即4=也时，△CEF的面积S最大，最大面积为2.

19.(本小题满分12分汝口图，在四棱锥P-ABCD中，尸。_1_底面

ABCD,底面4BCO为正方形，PD=DC,E,尸分别是AB,尸8的中点.

⑴求证：EF±CDt

(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值.

解：以O为坐标原点，DA,DC,OP所在直线分别为x轴,

轴,z轴建立空间直角坐标系如图.

电,0),尸(0,0,a),

设AD=a,则0(0,0,0),43,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Kiv!)•

:甘•万才=(一看0,9(0,a,0)=0,

(1)证明：

AEF±DC,：.EF±CD.

(2)设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),

[H-DE=0,

/x+y+z)=0,

即<

ax+^y=0.

取x=l,则y=—2,z=l,

.,.«=(1,—2,1),

.BD-naV3

:.cos〈BD,

前间油布6,

设OB与平面DEF所成的角为名则sin0=圭

6

20.体小题满分12分)已知抛物线V=2px(p>0)过点4(2,则)，且点A到其准线的距

离为4.

(1)求抛物线的方程；

(2)直线/：y=x+m与抛物线交于两个不同的点尸，Q,若OP_LOQ,求实数机的值.

解：(1)已知抛物线y2=2px(p>o)过点AQ,jo),且点4到准线的距离为4,

/.24-2=4,；.p=4,

.•.抛物线的方程为j2=8x.

y=x+m

(2)由，，9得五2+(2加-8)%+m2=0.

9=舐

由J=(2m-8)2-W=-32/n+64>0,解得m<2.

设P(xi,ji),。(必，J2),则XI+X2=8—2m,x\xi=m2,

ji+j2=xi+x2+2/n=8,Jij2=(xi+/n)(x2+/n)=xix2+w(xi+x2)+w2=8/n.

VOP1.OQ,AxiX2+jij2=//i2+8/n=0,

."./n=0或m=—S.

经检验，当/n=0时，直线与抛物线交点中有一点与原点。重合，不符合题意.

当,”=-8时，J=242-4X64>0,符合题意.

综上，实数，”的值为一8.

21.体小题满分12分)如图，平面ABC。，平面4OE尸，其中B-------|C

ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF//DE,AFLFE,AF=AD=2DE\\

=2.

⑴求证：EF±YffiBAF；

(2)若二面角A-BF-D的余弦值为坐，求AB的长.

解：(1)证明：•.•四边形ABC。为矩形，：.BAA.AD,

•平面平面ADE尸，又平面ABCZJC平面4OEf=A。，K4U平面ABC。，:.

B4_L平面ADEF.

又EFU平面AOEF,：.BA±EF.

又A尸_LE尸，3.AFC\BA=A,

.♦.E尸_L平面BAF.

(2)设A5=x(x>0).以尸为坐标原点，A尸，尸E所在直线分别为

x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则尸(0,0,0),E(0,木,0),

D(—l,小,0),3(—2,0,x),

万卞=(1,一小，0),诉=(2,0,-x).

由⑴知EfJ■平面ABF,二平面ABF的一个法向量可取m=(0,1,0).

设〃2=(xi,ji,zi)为平面5五O的一个法向量,

n2・BF—>=0,2xi-zix=0,

则，即

nrDF--=0,X一小州=。,

令》=1,则如

="^",解得x=，§(负值舍去)，.,,