人教A版选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念练习

【优选】4.3.1等比数列的概念练习

一.填空题

一二

1.已知数列｛叫的前〃项和为S",若4=1,%>°,8s『（25"+，），则％。____.

2.在等比数列｛4｝中，生=-1,%+%一1,则MJ的前6项和为.

3.已知等比数列｛叫的首项为2,公比为3,其前〃项和记为加，则蝇S,=

121

4.己知等比数列风｝中，生=2,生二，则满足"外+"必+…+向"万成立的最大正

整数〃的值为_____.

5.已知数列｛叫的首项4=1021,其〃前项和S”满足S，，=-S"T-";则％。?产.

6.已知S"为正项等比数列｛4｝的前〃项和，若44=9,2邑=%+%,则%=.

7.若等比数列｛%｝的前〃项和为S”=e32”-1,则常数〃的值等于.

8.已知正项等比数列｛“"｝的前〃项和为S","/向=2*,则S,=.

9.在数列｛4｝中，4=2,（〃+1）4,“=2解,，则/=.

10.已知等差数列｛"J的前〃项和为S”，《，的，。4成等比数列，且邑=6,则%=

11.等比数列｛""｝的前〃项和为S",数列｛“"｝为单调递增数列，且数列⑸｝为单调递减

数列，写出满足上述条件的一个数列｛叫的通项公式.

12.已知公比为q的等比数列卜"｝的前n项和为S”，公差为d的等差数列圾｝的前n项

“+I、幺

和为,，且S"+T"=2"++〃-2,则7的值为.

13.已知等比数列｛4｝的前n项和为S”，且加=机一2"",则a,a2-an的最大值为.

14.数列｛叫中，"Li々=1,%=3,且｛%+♦｝为等比数列（〃€”）,则数列的前

2021项和星以=.（只需写出表达式）

15.设S,为正数列｛“"｝的前〃项和，S"+产K，，+E,q>l,对任意的"21,neN均有

唱&4a",贝胆的取值为.

参考答案与试题解析

1.【答案】3:

［解析］分析：由8,2=。,用（2，+4田）得25,,="川=5向_5“，从而可得数列⑸｝是等比

数列，求得通项Sn后，结合和与项的关系可得.

详解：解：数列｛%｝的前〃项和为3,若4=18S：=4,M（2S“+4+J,

整理得8S:-2""+i,S“-〃“+：=0,

,&（45„+an+l）（2S„-a„+l）=0）

由于

所以4s“+%>0,

故2S〃=a“+i=S“+i-S"，①，

整理得S”M=35"，

故数列｛§"｝是以1为首项，3为公比的等比数列，

故S“=3'i（首项符合通项），

$=$_39=3

所以："io九-$93-32

3

故答案为：2.

【点睛】

关键点点睛：本题考查数列的通项""与和S"的关系，解题关键是是得出2S“=向后，把

勺”化为S用-S,,,从而得出数列母』的递推关系，得其为等比数列，易于求解.在〃“与

的相互转化中注意相互性，主要看怎样转化得解题.

2.【答案】212

1O

【解析】分析：由的=-1,%+”"=.’利用“4/”法求解，

详解：设等比数列｛“"｝的公比为4,

1

〃a+a=-

因为生一I344,

q二—

解得2,

则4=2.

所以｛%｝的前.5项和为

21

故答案为：16

,3

3.【答案】j

【解析】分析：首先求出等比数列的其前八项和记为S",最后再求极限即可.

详解：因为等比数列｛""｝的首项为2,公比为一§,

2d3

所以前“项和记为3

3

limS=lim—(1-

n)4

3

故答案为：2

4.【答案】3

【解析】分析：设｛%｝的公比为“，由，=2,出=.，解得和4,

由数列｛“，4”｝是等比数列，用公式法求和，解不等式求出n.

23-13_1_1

详解：已知｛%｝为等比数列，设其公比为%由%=见•/得，q~4,q-8,解得“一5,

又出=2.工4=4.

1

4-

所以数列｛%4向｝也是等比数列，其首项为4%=8,公比为I.

32/,…(1丫、1

aa+aa+---+aa=-(1-4)<--^―

At22'-3nn+l3k)2,从而有14)64

，"43.故"max=3.

故答案为：3.

【点睛】

等差(比)数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质.

5.【答案】-999

【解析】分析：利用题干中的递推关系找出a.与n的关系，进而计算出结果.

详解:由题知,S，，+S，i=-"2,则加+5,=-("+1)2

两式做差得…”=(-"+8(孙%-1

整理得。“+1+("+1)=-(4+〃).

所以｛“"+〃｝是以4+1=1022为首项，-1为公比的等比数列.

%⑼+2021=1O22X(-1)2(GO=1022

故答案为一999

【点睛】

方法点睛：在处理数列的通项与前n项和的相关问题时，一定要抓住题干中给出的递推

关系，利用递推关系将抽象的数列问题转化为我们熟悉的等差数列.等比数列问题，从

而运用我们所学的等差.等比数列的知识取解决问题.

6.【答案】12

【解析】分析：由正项等比数列特点可确定4>°,由等比数列性质.等比数列

24

通项公式可化简已知等式求得的和如，由%可得结果.

详解：｛“"｝为正项等比数列，且公比4>°；

.aa=。；=9二.%=3

2A9'，

.4+%_/+%_(卬+%”2_2_

.,一——q—乙.

2s2=。3+。452。1+。24+生「.％=〃3夕=3x4=12

故答案为：12.

7.【答案】1

【解析】分析：由等比数列前n项和的表达式的结构特征比对即可得解.

S=4(1-4")4,__

详解：因S”=aW-l,等比数列｛%｝的公比"1,则有"l-qq-l4-1,

令q-l,从而等比｛""｝数列的前〃项和满足S"=AW'-A,把S，，=a'9”-1与之比对得

«=1

故答案为：1

【点睛】

思路点睛：等比数列前n项和公式应用，在等比数列的公比q未知时，要用前其n项和

公式，必须按。=1与9X1讨论.

8.【答案】2"+,-2

【解析】分析：根据等比数列的性质，结合等比数列前〃项和公式进行求解即可.

详解：设正项等比数列｛叫的公比为4>0,4>°,

因为""""+'=2,所以4+1。"+2=2,

2n+3

aa?

因此中2-,

_2(1-2")।

而q%=8=%R=8=4=2,所以1-2,

故答案为：2n+,-2

9.【答案】—

n

【解析】分析：根据题中条件，得到｛"%｝是等比数列，求出其通项公式，进而可得

_r_

详解：依题意可得数列｛〃％｝是首项为2,公比为2的等比数列，则〃4=2"，所以一丁.

2"

故答案为：«.

10.【答案】2或5

【解析】分析：由已知,3=6得%=2,再由4,七,%成等比数列得”可得答案.

详解：$3=3，=6,...出=2,4,%,%成等比数列，则%2=(%—")(4+2J),

即2?=(2-d)(2+2d),解得〃=。或〃=1,故％=2或5.

故答案为：2或5.

H.【答案】4=-最(答案不唯一)

【解析】分析：根据题意可判断出数列的公比4<°,然后举例代入求解即可

详解：由题意，数列｛“"｝为单调递增的等比数列，数列｛S，，｝为单调递减数列，所以可得

公比°<4<1,且4<°,例如=5,此时可得""=一吩为单调递增的等比数列,

为单调递减的数列，符合题意.

故答案为：“尸一^^答案不唯一)

12.【答案】1

【解析】分析：将5”工分别用前”项和表示，然后根据等式的特征，可得性，再

解方程即可.

详解：令等比数列的首项为“,等差数列的首项为“，

所以

+22

Sii+Tn=^^-+—d+(bl--)n=^-q"+—d+(bl--')n+-^-=2"'+n-2=2-2"+n-2

\-q22\-q22\-q

­=1

因此4.

故答案为：L

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是运用等比数列及等差数列的前〃项和公式，然后建立方程

组.

13.【答案】1024

【解析】分析：根据递推关系求得数列｛“"｝的通项公式，从而求得“色…%的表达式，

判断数列单调性，求得最大值.

详解：由题知，S“.尸吁21岳/=,”-24=吁16,

则%=5用-5.=〃L2j-(〃L25-")=-2j=-25，〃22

则q=-2"=吁16nm=0,满足｛a,,｝为等比数列.

”(4+5-”)“(9一4)

〃必2…。〃=(-2")•(-23)(-25-n)=(-l)M-24+3++5-〃=(_])〃.22=(-1/.2-2-

x(9-x)

V=-------n(9-n)

由一元二次函数.2易知，数列在"=4或5时，丁取最大值，

又(-I)』>0,(-1)5=7<0,

4x(9-4)

则的…《在”=4时取最大值(T)4N2=1。24

故答案为：1024

【点睛】

关键点点睛：等比数列累乘时涉及等差数列求和，利用得到的一元二次函数形式判断单

调性，找到数列取最大值的n值.

14.【答案】土或三」

33

【解析】分析：令"="，，+《川，根据｛%+%+J为等比数列，求出通项公式2=2",由

+

§2021=4+。2+。3+。4+…+。2020+。2021=4^2+d+…+202G利用等比数列的求和公式计算

即可得解.

详解：4=1,%=1,%=3,也+4加｝为等比数列,

令b〃-+〃“+],则4=q+%=2,力2=%+%=4

q上=2

二公比4

•.也=瓦『=2"=4+4+]

..S2021=a｝4-a2+q+々4+…+。202()+々2021+“2+”+…+^2020

=1+23+-22吟+91*二竺匚

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