2020高考综合模拟测试4（真题、模拟题优化重组）

2020高考综合模拟测试4

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.（2019•河北武邑中学二次调研）设i是虚数单位，若复数z=*,则3=（）

^,2-2'B-1+p

C.1—|iD.^+1i

2.（2019•浙江百校联考）已知集合A={x|2*21},2={x|y=ln（1—x）},则ACB等于（）

A.{x|x>0}B.{x|x<I}

C.{x|0Wx<l}D.{.r|O<x<l}

3.（2019・石家庄二模）某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说

法中正确的是（）

注：收入--------------支出..............

利润=收入-支出

A.支出最高值与支出最低值的比是8：1

B.4至6月份的平均收入为50万元

C.利润最高的月份是2月份

D.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同

4.（2019•赤峰市高三二模）已知正项等比数列{斯}的前"项和为S”，若ai=l,&=17S4,

则45=（）

A.8B.-8C.±16D.16

5.（2019•佛山二模）己知（1+X）G+/）"（〃GN*,〃<10）的展开式中没有常数项，则〃的最

大值是（）

A.6B.7C.8D.9

6.（2019•咸阳二模）已知G是△ABC的重心，若GC=xA8+）AC,x,y£R,则x+y=

（）

A.—1B.IC.1D.一：

7.（2019•浙江高考）祖胞是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幕势既同，则积

不容异”称为祖胞原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V收体=助，其中S是柱体的

底面积，/?是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：cn?）

是（）

A.158B.162C.182D.324

f^+x,x20,

8.（2019•佛山一中二模）若函数/（x）=,

{x^—ax,x<0

3GR）为偶函数，则下列结论正确的是（）

A..«4）»（2〃）40）B.X«）>A0）>A2«）

C.42«）/a）/0）D./（2a）次0）/a）

9.（2019•大庆三模）第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进

行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设

直角三角形的一个锐角为6,且tanJ=2,若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方

形区域的概率为（）

A.B$C.1D.|

10.（2019•广州二模）若曲线y=V-2A“2在点A处的切线方程为y=4x—6,且点A在

17

直线1=0（其中相>0,〃>0）上，则而+［的最小值为（）

A.4mB.3+26C.6+4^2D.8小

11.（2019•全国卷II）设F为双曲线C：^2-p=l（a>0,b>0）的右焦点，O为坐标原点,

以OF为直径的圆与圆1+）2=/交于p,。两点.若|PQ|=|Of],则C的离心率为（）

A.A/2B.A/3C.2D.小

12.（2019•深圳二模）如图，在四面体ABCD中，AB^CD=2,AC=BD=小,AD=BC

=小，E,尸分别是A£>,8c的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都

相交的平面a去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为

（）

A.A/6B坐C.1D.^

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

^>0,

y>0,

13.（2019•合肥一模）设达y满足约束条件<,八

x-y+i1>0,

、x+y—3<0,

则z=2x—y的取值范围为.

14.（2019•肇庆二模）已知数列｛斯｝为等比数列，。1=2,的=4,则由+应+点T---I"庶=

15.（2019・长春质检）已知△A8C中，内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,若〃2=从+

c2-bc,bc=4,则△ABC的面积为.

16.（2019・宣城二模）关于x的方程近一号=2在区间口，e]上有两个实根，则实数上的

X,[_C_

最小值是.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必

考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：60分.

17.（本小题满分12分）（2019•郑州第二次质量预测）己知数列｛内｝中，ai=l,an>0,前〃

项和为S”，若a,尸小^+小3（〃GN*,且〃》2）.

（1）求数列｛小｝的通项公式；

（2）记°"=加2"〃，求数列｛6｝的前"项和

18.（本小题满分12分）（2019•山东德州一模）如图,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,

AB>CD,E,尸为48的三等分点，且所=C£>,将和△BFC分别沿DE,CF折起到

A,B两点重合，记为点P.

（1）证明：平面PCF_L平面PEF；

（2）若PF=FC,求PZ）与平面PFC所成角的正弦值.

19.（本小题满分12分）（2019・南昌一模）市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定

A型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对8型节能灯使用寿命进行了调查统计，得

到如下频率分布直方图：

某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年，新店面需安装

该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业，经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯

照明效果相当，都适合安装，已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当

地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营

业期间灯坏了立即购买同型灯更换.(用频率估计概率)

(1)若该商家新店面全部安装了B型节能灯，求一年内5支节能灯在使用期间恰好更换

2支灯的概率；

(2)若该商家全部使用4型节能灯或B型节能灯，则为保证正常营业，应购买哪一种节

能灯更合算？

20.(本小题满分12分)(2019•重庆六区一模)如图，已知椭圆C：5+衣=1，其左、右焦

点为Q(—2,0)及巳(2,0),过点尸।的直线交椭圆C于A,8两点，线段AB的中点为G,AB

的中垂线与x轴和y轴分别交于。，E两点，且|AQ|,新码，构成等差数列.

(1)求椭圆C的方程；

(2)记△GQO的面积为Si，△(?££)(。为原点)的面积为S2,试问：是否存在直线AB,使

得&=S2?请说明理由.

21.(本小题满分12分)(2019・新乡模拟)已知函数_/(x)=x2—2x+2alnx,若函数人外在定

义域上有两个极值点X”及，且X1<X2.

（1）求实数a的取值范围；

3

（2）证明：./［xi）+y（X2）+ln2+2>0.

（二）选考题：10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分.

22.（本小题满分10分）［选修4—4：坐标系与参数方程］

（2019•辽宁抚顺一模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴

卜当

建立极坐标系，已知曲线Ci的极坐标方程为p=2sin仇直线/的参数方程为

产监+2

V.、

（r为参数）.

（1）求曲线G的参数方程和直线I的直角坐标方程；

（2）设力为曲线G上在第二象限内的点，且在点。处的切线与直线/平行，求点。的

直角坐标.

23.（本小题满分10分）［选修4—5：不等式选讲］

(2019・辽宁抚顺一模)已知函数,/(x)=|x+a|+x-(.

(1)当。=1时，解不等式yu)25；

(2)若共外2依一1|恒成立，求实数机的取值范围.

参考答案

1.答案：A

解析：由z=y^=(]：；)(2j)=^1^=,+；i,得z=；­；i.故选A.

2.答案：C

解析：集合A={x|2'21}={x|x，0},3={Mr<l},所以An8={x[0Wx<l},故选C.

3.答案：D

解析：由题图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是6：1,故

A错误；由题图可知，4至6月份的平均收入为;X(50+30+40)=40万元，故B错误；由

题图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C错误；由题图可知2至3月份的收入

的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故D正确.故选D.

4.答案：D

解析：设等比数列{如}的公比为?

当g=1时，S8=8QI,17§4=17X4。]=68。1,

因为4]W0,

所以S8=8〃l，S8Hl7s4；

0(1一夕8)1—^8

当q中1时,-[_q~]—g，

17671(1-t74)17(1-C/4)

1/34-1—1，

\~ql-q

一

故1—胃=17f(1解得q=-l或“=-2或q=2,因为等比数列｛&｝为正项等比数

列，故q=2,所以"5=”L24=16,故选D.

5.答案：B

解析：：已知(l+x)(x+，〉(〃eN*,〃<10)的展开式中没有常数项,

.•.(x+点>的展开式中没有负一次项和常数项.

3r

的展开式的通项公式为Tr+i=C^'-,

故”-3rW0,且3rW—1,

即〃#3r,且1,

.♦.〃W3,6,9,且“¥2,5,8,故〃的最大值为7,故选B.

6.答案：C

解析：由题意，画图，如图所示.

BC

I)

由重心的定义，可知

AG=^AD=^X^(AB+AC)=^(<AB+AC).

：.GC=AC-AG=AC-

；(4B+AC)=—

|AC.^.x+y=—.故选C.

7.答案：B

解析：如图，

该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6,底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一

个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3.则底面面积S=2等

4+6

X3+-y-X3=27,因此，该柱体的体积丫=27X6=162.故选B.

8.答案：C

解析：因为ZU)是偶函数，所以五一1)=/(1),即1+。=2,所以。=1,易知当x20时，

/U)是增函数，又知2a>〃>0,所以40),故选C.

9.答案：B

Ap

解析：设大正方形为ABCQ,小正方形为EFGH,如图，则tan0=,=2,

Dr

设小正方形的边长为“，则赤=2,即AQ2”,

二大正方形的边长为小。，

足।

则小正方形与大正方形的面积比为系=:故选B.

10.答案：C

解析：设A（s,。，、=/-2?+2的导数为y'=3f—4为可得切线的斜率为3?-4.s,

由切线方程为y=4x—6,可得3s2—4s=4,f=4s—6,

2

或-

s--V--236

解得s=2,t=2

由点A在直线1=0（其中加>0,n>0）±,

可得2m+2〃=1成立（s=一多/=一冬舍去），

当且仅当〃=班机时，取得最小值6+4，L故选C.

11.答案：A

解析：设双曲线C：，一g=13>0,/»0）的右焦点尸的坐标为（c,0）.由圆的对称性及条

件|PQ|=|OH可知I,PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQLOF.设垂足为连接OP,如

图，则|OP|="，|OM|=|MP［奇由10M2+|〃砰=|0砰得⑸+仔=°2,

故彳=巾,即e=也做选A.

12.答案：B

解析：将四面体A8CD补成长、宽、高分别为小，也，1的长方体（如图）.

由于EFla,故截面为平行四边形MNKL,

可得KL+KN=小,

设异面直线8c与A。所成的角为仇则sin9=sin/HFB=sin/LKN,

解得sin®=半，，Sn^MNKL=NK-KL-smNNKLW坐

当且仅当NK=KL时取等号.故选B.

13.答案：（一1,6）

解析：由约束条件

”>0,

）>0,

V,作出可行域如图，

X—y+l>0,

、x+y-3<0,

化目标函数z=2x—y为y=2r—z,

由图可知，当直线y=2x—z过点A时，，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为一1；

当直线y=2x-z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为6.

所以z=2x-y的取值范围为（一1,6）.

14.答案：1020

解析：；数列｛”“｝为等比数列，0=2,6=4,

,2a3c

・・=一

“ga\=2,

・・・若=34〃-1)2=4乂(/)”-1=4><2〃-1=2〃+|,

4(1—28)

/.届+及+质+…+点=一］_?=1020.

15.答案：小

从+。2-"2]

解析：因为在△ABC中，aL=b1+c1~bc,根据余弦定理，可知cosA=-----赤---=/,

所以A=$sinA=芈.又bc=4.

所以S^ABc=2hcsinA—2X4X^~V3-

.a2e+l

16.答案：一—

ARALH，InX_,cInx

解析：由近一一1=2得kx—2=—^~

设g(x)=£；

Inx

1—Inx

则g'W=j

则当xGI，e时，g'(尤)》0,即函数g(x)在［：,e］上为增函数，且g(e)=^=1,

直线y=Ax—2过定点(0,—2),

设过点(0,—2)与g(x)相切的切线为I,

若方程履一平=2在区间上，e］上有两个实根,

则直线y^kx-2在切线I与过点A(e,J的直线之间,

由图象知当直线过点A时直线的斜率最小，

2e+1

此时k的最小值为k=

17.解析:(1)在数列｛斯｝中，a〃=S〃fT(心2),①

=

*/any[Sn+yjSn-i>②

且an>0f

.•.①+②得低一书3=1(〃22),

...数歹I」｛低｝是以a=遍=1为首项，公差为1的等差数列，

二低=l+(〃-l)Xl=〃，：.S,,^n2.

当心2时，i7„=S„—S„-i=n2—(n—l)2=2n—1,

当”=1时，0=1,也满足上式，

，数列｛斯｝的通项公式为a”=2〃-1.

(2)由⑴,知斯=2〃-1,...以=(2"-1)*2犷1,

则7；,=1X2+3X23+5X254----F(2n-l)X22n-1,

4T；=1X23+3X25+5X27H----F(2n-3)X22n-|+(2n-l)X22n+1,

两式相减,得一3及=2+2(23+25+…+2犷1)一(2"—1)22+1

8(1—2?〃-2)

=2+2X(2H-1)22,,+1

1-4

=-¥+g-2〃)2"i,

,(6n~5)22n+1+10

♦•Tn-9•

18.解析：(1)证明：因为AB〃C£>,EF=CD,

所以四边形CQEF为平行四边形，

所以/4ED=/AFC；

又因为△AE。丝△BFC,所以N4E£)=NBFC,

从而ZAFC=NBFC=90。,

所以PE_LE£),PFVFC.

因为CF〃DE,所以PE_LFC,

又因为PECPF=P,PEu平面PEF,PFu平面PEF,

所以FC_L平面PEF.又因为FCu平面PFC,

所以平面PE尸，平面PFC.

(2)在平面PEF内作POLEF,垂足为。，取CO的中点为M.

由(1)可知，FC_L平面PER故FC_LPO,可得PO_L平面COE凡

所以PO_LOM,PO±OF,

又因为PF=PE,所以OE=O凡所以OM〃尸C,

所以。/_LOM,

所以OP,OF,OM两两垂直；

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

设尸F=FC=2,而△PEF为等边三角形，

所以尸(0,0,小)，F(1,0,0),C(1,2,0),D(-1,2,0),

所以苏=(1,0,一小)，元=(1,2,一小)，丽=(一1,2,一小);

设〃=(x,y,z)为平面P尸C的法向量，

nPF=0,x—小z=0，

由，即<

―>、x+2y—Sz=0,

l〃PC=0,

可取〃=(小，0,1).

设PD与平面PFC所成的角为仇

川•aI"屈I#

贝sin^—■,二一才，

\n\\PD\

所以PD与平面PFC所成角的正弦值为乎.

19.解析：(1)由频率分布直方图可知，

B型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为0.0010X200=0.2,

用频率估计概率，得B型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为今

所以一年内一支B型节能灯在使用期间需更换的概率为方

所以一年内5支节能灯在使用期间恰好更换2支灯的概率为急.

(2)共需要安装5支节能灯，

若选择A型节能灯，一年共需花费5X120+3600X5X20X0.75X10-3=870元;

若选择8型节能灯，由于8型节能灯一年内需更换的支数服从二项分布B(5,1

故一年内需更换灯的支数的期望为5X45=4支.

故一年共需花费(5+]x5)X25+3600X5X55X0.75X10-3=967.5元.

因为967.5>870,所以该商家应选择A型节能灯.

20.解析：⑴：|AQ|,尸尼|，IAF2I构成等差数列，

2a=|AFi|+lAFR=2囱尸2|=8,，a=4.

又,：c=2,，廿=12,

椭圆C的方程为会告=1.

(2)假设存在直线A8,使得Si=S2,显然直线A8不能与x,y轴垂直，设直线AB的方

程为y=A(x+2),

将其代入%+为=1,整理得(49+3)1+16Sx+16炉一48=0,

设A(xi，yi),8(X2，)也)，.‘凶+》2=3早4庐

.♦.点G的横坐标为丐'=志3,

乙DIQK-

.」一近一6k)

••气3+4守3+4村

6k

3+4一,_一23

VDGLAB,；・二弘-----X&=-1,解得知=3+在，

3+4—一初

即《瑞，。)，

,.•RtAGDFi和RtAODS相似，；.若S=52，

则|GD|=|