人教A版必修第二册722复数的乘除运算学案

7.2.2复数的乘、除运算

新课程标准新学法解读

1.学习复数的乘法运算，应类比多

1.把握复数代数形式的乘、除运算项式的乘法运算，这里留意把i2

法那么.写成一1.

2.把握复数代数形式的四那么运2.学习除法运算时留意分母“实

算法那么.数化"，即将分子分母同乘以分母

的共辄复数.

课前篇咱主梳理稳固根底

［笔记教材］

学问点1复数的乘、除运算

1.复数的乘法

(1)复数的乘法法那么

设z\=a+b\,Z2=c+di(“，b,c,d£R)是任意两个复数，那么

它们的积(a+bi)(c+di)=ac^-bci+ad\+hdi2—(ac—bd)+(ad+hc)i.

(2)复数乘法的运算律

复数的乘法满意交换律、结合律以及乘法对加法的安排律，即对

任意Z1,Z2,Z3£C,有

交换律Z}Z2=Z2Z\

结合律（Z1Z2）Z3=Z1（Z2Z3）

乘法对加法的安排律Z1（Z2+Z3）=Z1Z2+Z1Z3

2.复数的除法

设z\—a-\-b\,Z2=c+di(。，h,c,d£R)是任意两个复数，那么

它们的商(a+bi)*c+di)=筌华+警赛(c+diWO).

由此可见，两个复数相除(除数不为0),所得的商是一个确定的

复数.在进行复数的除法运算时，通常先把伍+历)+(c+di)写成喏的

形式，再把分子与分母都乘分母的共辗复数C-di,化简后就得到上

面的结果.

3.常用复数运算结论

....111-i1+i.1-i

(l)(l±i)-=±2i；(1+i)(l—i)=2；;=—4；］十尸?;〔_j=i；j_|_j

=­i.

1s1、八一一

(2)t己那么co2=-2-2®c02=①'co=①\②

|°|=|研=1；③1+。+。2=0.

(3)i4w=l,i4"+i=i,i4"+2=-l,i4"+3=-i(〃£N).

学问点2复数范围内方程的解

在复数范围内，实系数一元二次方程ta2+A%+c=0(aW0)的求根

公式为：

⑴当时，一。呼啊

(2)当/<0时，尸一风一行一碎

［重点理解］

1.对复数乘法的三点说明

(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式的乘法运算很类

似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚局部开⑴换成一1).

(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍旧成立，乘法

公式也适用.

(3)常用结论

①(a±bi)2=a2±2abi~b2(a,b£R)；

②(a+bi)(“一历)=。2+62(Q,R)；

③(1土i>=±2i.

2.对复数除法的两点说明

(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共枕复数c—di,化简后即

得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母

“有理化〃很类似.

（2）代数式：留意最终结果要将实部、虚局部开.

特殊提示：复数的除法类似于根式的分母有理化.

［自我排查］

—1+i

1.复数z=E--1在复平面内所对应的点在（）

A.第一象限B.其次象限

C.第三象限D.第四象限

答案：B

-1+i

斛析：,•z=~।.-1=i-1,

，复数z在复平面内所对应的点为（一1,1）,在其次象限，应选

B.

1—i、

2.i为虚数单位，那么［再，=（）

A.-1B.1C.-iD.i

答案：A

1-i）—2i

解析：［匚2=亍-=-1,应选A-

3.普7=1—〃i,其中m，〃是实数，i是虚数单位，那么m十〃i

=（）

A.l+2iB.l-2i

C.2+iD.2-i

答案：C

解析：由含=1一疝，

2mm.

yi=1—m,

那么与=1JL—y=­n,

故m=2,〃=1.应选C.

4.i是虚数单位,复数z满意(1+i)z=2,那么z的实部为

答案：1

2

解析：由于(l+i)z=2,所以z="j=l—i,所以其实部为1.

课堂篇•重点难点研习突破

研习1复数的乘'除运算

［典例1］计算或解答以下各题:

(1)(1)2.昌+娜;

(2)(5-29^50-(7-3^51)；

⑶考+［哥。7

z2—3z+6

(4)z=l+i,求二的模.

[解]⑴原式=-2i[]—；+坐i1(—;+当)]

=­2il=-2i.

⑵(5—29巾i)?(7—3^i)

5—2胞(5—2%国。+3啊

=7-3小i-(7-3^51)(7+3^50

(35+29X15)+(15小一29X7同

49+(3后

470-188^51

=5-2y/5i.

94

)1005

-}2010=?+'2i2-----

⑶若-ij--2i(2i)1005

=i(l+i)+p^)05=—1+i—i=-1.

z2-3z+6(1+i)2-3(1+i)+63-i

⑷z+12+i2+i=1—

z2—3z+6

所以:的模为啦.

z+1

［巧归纳］(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法

那么进行，留意要把i2化为一1,最终把结果化简；复数的除法先写

成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘分母的共

朝复数，假设分母是纯虚数，那么只需同时乘i即可).

(2)对于复数的运算，除了应用四那么运算法那么之外，对于一

些简洁的算式要知道其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化，

到达快速、简捷、出错少的效果.

［练习1J计算:

(1)(2+日」+i、

22

⑵层+会停+品(1+i)；

(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i")(4-3i)；

(1+评(l—i)7(3—4i)(2+2i)3

()1-i1+i4+3i

解：⑴原式等+制一器f

_(2i)11

=(2+i)―211

=2+i+i=2+2i.

(2)原式=(一乎一；i+京+率2)(i+i)

$+A用(1+i)

十号+#+i)

SV3.,1.1

=-2-2I+?-2

_1+^311—^/3.

一2十2】•

(3)原式=2(4—i)(3—i)+(7—i)(4—3i)

=2(12-3i-4i+i2)+(28-4i-21i+3i2)

=2(ll-7i)+25(l-i)

=47-39i.

(4)原式=[(l+i)2p.罟+[(1—。用.冷8(3~4i)(l+i)2(l+i)

(3-4i)i

,,,8.2i(l+i)

=(2iAi+(-2i)3.(—i)——z

=8+8-16-16i=-16i.

研习2共辗复数的求解与应用

［典例2］设a,8互为共辗复数，且(a+b)2—3〃历=4—6i,求a

和。.

[解]设a=x+y\,b=x—yi(x,y£R),那么(a+O)?—3a历=(%

+yi+%—yi)2—3(%+yi)(%—yi)i

=4%2-BiQ2+y2)=4—6i.

x2=l,%=±1,

所以＜解得，

_A:2+)^=2,尸土1,

a=l+i,ct=\-i,a=—l+i,

所以或《或

b=l-ib=l+iz?=—1—1

<a——1-i,

也=-l+i.

［巧归纳］共轨复数的求解与应用

(1)假设复数z的代数形式，那么依据共扼复数的定义可以写出

7,再进行复数的四那么运算.必要时，需通过复数的运算先确定出

复数Z的代数形式，再依据共朝复数的定义求3.

(2)共粗复数应用的另一种常见题型是：关于z和T的方程，而复

数z的代数形式未知，求z,解此类题的常规思路为设z=a+历(a,b

GR),那么一历，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，

转化为方程(组)求解.

［练习2］复数2=支喑坟且|z|=4,z对应的点在第一象限,

假设复数0,Z,高对应的点是正三角形的三个顶点，求实数4,〃的

值.

5(l+i)2-(l+i),

解：z=---丁二---(a+hi)

=2宙(。+〃)=一2。一2万.

由|z|=4,得足+〃=4,①

由于复数0,z,，对应的点构成正三角形，

z——2a~\~2hi,

所以|z—z\=\z\.

把z=-2a—2历，》=-24+2万代入化简得|加=1.②

又由于z对应的点在第一象限，

所以a<0,b<0.

］。=一/，

由①②得；

［Z?=—1.

故所求值为Q=—3，b=~l.

研习3复数的方程问题

［典例3］在复数范围内解方程|zF+(z+3)i=|^(i为虚数单

位).

［解］原方程化简为|z/+(z+z)i=1—i.

ixz=x+yi(x,y£R),

代入上述方程，得炉+)，2+2七=1一1

1

%2+y2=],

所以区=.1,解得

y一±2•

所以原方程的解是z=一；土当.

［巧归纳］解关于复数方程的问题，一般可先设出方程的根的代

数形式，代入方程化简后，利用复数相等的充要条件转化为实数问题

解决.此类问题的解答过程表达了化归思想的运用.

［练习3］设方程/—2x+%=0的两个根分别为a,且|a—用

=2虚，求实数上的值.

解：4=4—4匕当心0,

即时，方程两根为实数，由根与系数的关系可得，a+£=2,

a/3=k,

那么|a—£|=N(a+£)2—4磔=^4—42=2,1—%=2媳,解得k=

—1;

当/<0,即a>1时，a,£为共甄复数，

a—1—li,£=1—\jk—li>

那么心一加=|2#=1“=2/二1=2也，解得左=3.

综上可知，实数％的值为-1或3.

课后篇•根底达标延长阅读

1.设复数Z满意关系z+|z|=2+i,那么z=()

Aq+iB.—j+iC.-1-iD.|-i

答案：A

解析：设z=a+bi(a,b£R),那么舟+己+打屋+加=2+1,由复

数相等的充要条件，得8=1,。+勺(22+公=2,将b=1代入

=2,得后FT=2—Q,两边同时平方，得。2+1=4—4。+次，解得

33,

a=4，.•.z=a+i，应选A.

2.在复平面内，复数母+(1+小ip对应的点位于()

A.第一象限B.其次象限

C.第三象限D.第四象限

答案：B

解析：Aj+(1+Si)2=—1+(；+2小｝,在复平面内对应的点

的坐标为1一,，义+2小］,该点位于其次象限.应选B.

3.(多项选择)(2020•江苏泰州中学高二(下)其次次月考)i为虚数

单位，复数2=岩，那么以下命题为真命题的是()

A.z的共物复数为三4一7段i

B.z的虚部为日

C.|z|=3

D.z在复平面内对应的点在第一象限

答案：AD

在力加3+2i(3+2i)(2+i)4+7i4,_7i.-_4_7i

解析：z-2_j—5-5-5+5，故z—55，故

6b

A正确；z的虚部为:，故B错误；|z|="1549=隼中3,故C错

误；z在复平面内对应的点为修，雪，在第一象限，故D正确.应选

AD.

4.假设zi=a+2i,Z2=3—4i,且日为纯虚数，那么实数。=

Z2

答案：|

解析：由题意，1=3=不［34-8+(6+4a)i］,由于£是纯虚

Q

数，故3。-8=0,且6+4QW0,解得Q=J

5.复数z=3+bi(b£R),且(l+3i>z为纯虚数.

⑴求复数z；

(2)假设/=条，求复数次的模|孙.

解：(1)由题意得，(l+3i>(3+0i)=(3—3b)+(9+b)i.

由于(l+3i>z为纯虚数，

所以3-36=0,且9+670,

所以b=l,所以z=3+i.

e3+i(3+i)-(2-i)7~i71.

(2汝=1=(2+i).(2-i广亍=5,

所以用,吩+(—%亚

课后自读方案

［误区警示］对复数的概念理解不透致误

［例如］设复数z=a+历(a,b£R)的共胡