高中数学：修改丽水中学寒假上课

数学思维课程

第一次函数

函数是全部数学中最重要的概念，也是是高中数学中的教学重点，学生对其理

解的好坏直接影响到后续数学内容的学习，要加深对函数的理解，既要从抽象、逻

辑上理解清楚，又要直观化、表面化函数概念，最后形成程序化处理函数的策略

【苏】别尔曼特一一函数的概念的定义：若对于一个变量的每一个数值，都对应着

另一个变量的一个确定的数值，则后一个变量叫做前一个变量的函数

,也就是说两个变量之间有函数关系

一、基本的函数

函数问题处理的两种形态

1.己知定义域和对应关系得到值域

例1已知f(x)=L+3x+2,xw[l,2],求值域

2.已知值域和对应关系得到定义域

例2已知/(x)=•*_+r+2,x&[a,b],若ye[2V^,6],求匕一。最小值

二、方程与函数的关系

2.y—3axy+—0

a??,aa

3.yJ4-3axy+3axy+axJ=1

三、函数应用

1.方程问题上

1)已知方程—+(3—q)x+2=0在[1,2]有解，求。的范围

2）已知方程》2+（3一4）%+2=0且a<6,求x的范围

2..三角函数问题上

1）已知函数/（x）=2sin（2x-?）在［0,§的值域

2）已知函数/*）=2sin（5-（）,（。>0）在［0,自有最小值-2,求。范围

二、复合函数：常有如下的情形，丁表示为f的函数y=/（f）,而f又是一个变量x的

函数/=g（x）,这样通过变量/——叫做中间变量一一的关系，y表示为x的函数.因

为X值对应着唯一个r值，而这些f值中的每一个值又对应一个确定的y值，那么X就

对应着一个y值，也就是说y表示为x的函数，这函数可表达成丁=/8（幻）

碰到函数的对应关系不是基本函数类型，无法直接作出图象的，就进入分解环节

内外分解（复合函数）的形象：将一个带进口与出口的小黑匣子，放入一个带进口

与出口的大黑匣子内对于从进口进入小黑匣子的任何X在出口有唯一的t出来，对

于从进口进入黑匣子的任何t在出口有唯一的y出来,其中t作为中介，既受小黑匣

子的制约，又受大黑匣子的制约，如图5所示

形象应用

例1求函数y=——的值域

-x2-2x+2

an二-^一^■最大项

〃+12

思考函数/。）=5抽（嬷+°）在q,乃）（0>0）单调递减，求①的范围

练习：函数y=2sin<yx在［-工，2］（<y>0）单调递增，求切的范围

34

已知函数/•(x)=sin(5-巧,xeR(口>0)的图象［0,马上恰有四个对称中心，则。的

42

取值范围________

三、函数的奇偶性

如何求一个函数的对称轴

y-/(x)的对称轴为x=aof(a+x)=f(a-x)=/(—%)—f(2a+x)

Oy=/(x+a)为偶函数，有对称轴x=。

例求函数/。)=(x+2/+2>+2的对称轴

如何求一个函数的对称中心

y=f(x)的对称中心为(a,b)=f(a+x)+f(a-x)=2b=f(-x)+/(2a+x)=2b

=y=/(x+a)—b为奇函数，有对称中心(0,0)

例1求f(x)=a(x+l)3+c(x+l)+2的对称中心

例2求/*)='+**它+匕2

元+1x+2x+3

例3已知函数/(x)=，一er+1,解不等式/(2x)+/(l—x)>2

对应关系的相等：

相似结构的概念

例4数列｛4,｝满足,=1,%=3,an+2=(n+3)an+l-(n+2)an,求明

四、函数的单调性

1.已知x,y>0,Jx+2—Jy+2=«—,判断x与y的大小

2.处理左右相似的不等式

已知x,y>0,Jl+f-Ji+y2>x-y,判断x与y的大小

3.解不等式(6x+5)(1+7(6X+5)2+4)+x(l+Vx2+4)>0

4.已知A4BC的三边分别为a,O,c,/=丁，(乃是圆周率)，判断A46c的形状

5已知了(幻是定义在R上的单调函数，且/(/(x)-lnx)=e+l,求/(x)

五、多元函数：

文字表达：两个变量的每一对所考虑的数值对应着另一个变量的一个数值，则第三

个变量叫做前两个变量的函数

符号表达：z=/(x,y),(x,y)e£)

图像表达：

对于函数2=/(x,y)来说，对应于自变量的某一对确定数值的函数值叫作该函数的特

定值，设尤=a,y=。时，函数z等于c,可写成下面等式c=/(a,b),

如果让自变量之一例如x,保持常数x="，而另一个变量y仍算作是可变的，那么

z=f(x,y)就变成一个变量)的函数z=f(a,y)

同样如果让自变量之一例如x,保持常数y=〃，而另一个变量x仍算作是可变的，

那么z=f(x,y)就变成一个变量x的函数z=f(x,b)

所以对于两元函数，如何处理成一元函数是关键

2容易研究的多变量函数

2

1.齐次分式：f(x,y)=Xy+y

x+盯+y

2.单调性稳定的多元函数

3.=,优+4

4.f(x,a)=ax+bx+a

5.关于的对称式

第二次等式与不等式的核心处理

一、方程的作用

1.利用方程直接消元

例1若是正数，且满足必=。+力+3,则a/?的取值范围为

2.利用方程对应的参数式消元

例2已知函数/(x)=x2+(/+户-l)x+ai)+〃-1是偶函数，则此函数与y轴交点

的纵坐标的最大值.

3.利用方程简化代数式结构

二、利用不等式消元

例3.a,dc为A4BC的三边，求证：2(/+庐)>02

三、利用基本不等式

例4.a,b,c>0,求证:a+b-2y[ab<a+b+c-3^1abc

例5a,b,c>0,yla2+b2+^Ib2+c2+-\lc2+a~>+b+c)

第三次不等式数学思维课程

一、两元一次代数式之间的关系

函数/(x)=网-利-耳〃,6eR,若对任意实数，总存在殉,％0e[0,4],使得不等

式|/(AQ)\>m,求，”的取值范围

二、两元一次、两元二次及分式的不等式

例1.已知x>”0,求生匕+且最小值

工+yx-y

例2.已知实数满足/—/=],则3/+2盯+3/取值范围

例3.已知实数满足孙+2x+3y=1,求.

例4,已知实数x,y满足/+,2+个=],则x+y最大值

21

例5.已知正数2x+y+—+—=1,求2x+y范围

xy

17

例6.已知实数满足孙+2x+3y=1,求—+—范围

xy

22

例7.x>y>0,xy=l,-——二最小值

x-y

二、对称型不等式

例8已知正实数x,y,满足，+,=2,探究/（乂力=町-±。2+/）的最大值

xy7

例8实数x,y,z满足孙+yz=l,尤2+y2+z2=5,求孙z最小值

例9已知x,y,z都是正整数，x+y+z=3,丁++[3=3,求f+yZ+z?

例10设非负实数a,0,c满足ab+匕c+ca=a+/?+c>0,则++最小值

第四次数列数学思维课程

数列的概念：文字表达：按照一定顺序排列的一列数

符号表达：一般表示:用通项：（特殊的函数）

用递推法:

注：函数定义分析；下标的问题

图象表达：

数列中的消元

二、函数观点下的处理模式探讨

例1数列｛%｝满足：可=1，%]=%2±3%+2,分析数列｛%｝的性质

2an

例2(1984年高考)设。>2,给定数列{/},其中q=a,an+x=一9一

2(许-1)

(1)求证：an>2,且况<1(〃=1,2,3.........)

(2)求证：如果043,那么%M2+J(〃=l,2,3,……)

例3（2008卓越联盟）数列｛%｝满足：a,=2,an+l=J2a“+3；（1）求证：an<all+i<3；

⑵设数列｛4｝的前〃项和为S“，求证：5“23〃-却-（千）

2

例4数歹也｝满足：,八."空产,证明：数列"｝的单调递增

例5（2016年浙江省赛第13题）设数列｛%｝满足|d-2册|=2,寓|42,”=1,2,3,……,证

明：如果的为有理数，则从某项后｛/｝为周期数列

例6已知数列｛即｝满足斯>0且％=2册+1.证明：%+]<1%（〃GN*）；

1-"2

例7已知数列"的各项均为非负数，其前〃项和为S“，且对任意都由

a„<"+2-,对任意〃eN*都由S“41,求证：（）44"-册+|4—-—

+l2n（n+\）

例8（1984年高考数列题第三小题）设a>2,给定数列｛4｝,其中为=a,

1a

2lg—

an+i=——（"=1,2,3,...）»求证：如果”>3,那么当"2—^时，必有a,,+]<3

MF14

三、对数列结论的逆推

1）对结论进行和式分解

n项和式分解：at-an=a1-a2+a2-a3+...+an_t-an

例9当〃eN*时，求证：1+」+3+.-+3>2（标门-1）

V2V3y/n

2)对结论进行积式分解

例1。工工2…-—

2462n，2〃+1

例U数列&｝、R的定义是。口，…,%=山产》弋

求证：a2mi<5.

四、数列问题中恒等式的作用

a)用来实验

例12设数列也｝满足%+|+(-1)"%=2〃-1,则数列｛/｝前60项和为

b)用来消元

例13设数列｛4｝的前〃项积为，，且7；=2-24(〃eN*)

(1)求证：数列是等差数列；

T：

(2)设a=(1-«„)(1-an+i)，求数列物,｝的前〃项和Sn

c)用来改变次数

2

例14数列｛%｝满足q=2,an+l-a,,+6an+6

（1）求

⑵设“六一号I,求证口前〃项和恒磊+

浙江名校新高考研究联盟2017届第三次考试

+

数列｛%｝中，q=1,an+x=an+—（neN）

许

求证：,2〃-1<an<j3〃-2

d）改变代数式的结构

例14

5）将结论反推到条件

例15已知>0,且2=ln（l+4）+,a：,求证：对一切ne2V*,都有

2an

一二7<成立

a

n+2bn

五、数列求和之裂项求和

常见裂项公式：

11111

(1)

n(n+1)nn+1n(n+k)knn+k

1

—）（｛叫的公差为d）;

an+\

（2）-L_1I—=_L（卮—疯）.（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式

”,+小d

相消求和）;

(3)____1___1—1；

n｛n-1)(/1+1)2n(n+1)(/?+1)(〃+2)

(4)4-----------二—(-----------)

(2n-l)(2n+l)22〃一12〃+1

(2〃)2,,111、

a=-----------=1H—(z------------)

(2〃一1)(2〃+1)22〃-12〃+1

上吆_/=网里UJ_=」_______」则5=1__L_

〃(〃+1)2"〃(〃+1)2"n-2n-'(〃+1)2"'"(〃+1)2"

(6)--------------=tan(/7+1)°-tann；

cos«°cos(n+1)°

("+1)!n\(n+1)!

六、数列放缩问题的系统解决

利用通项公式放缩(结果放缩)

1)参照前面，对结论进行〃项和式分解或〃项积式分解

2)如果目标项为常数，

若数列通项里含指数部分，一般考虑将通项放缩为一个等比数列，此常数为等比a)

数列前n项公式里的一部分C=4

i-q

-2

例16己知数列｛《,｝的前〃项和5„满足S“=2(〃GN*)

⑴证明：",-(-1)"｝为等比数列，并求出数列的通项公式

19

(2)设数歹1HL卜的前N项和为T“，证明：7；＜t(〃eN*)

3)放缩为裂项求和的三种形态

a)---=^-(―-----)(｛%｝的公差为d);

aa

n-n+ida„all+l

例17正数数列｛%｝的前〃项的和S“，满足2后=%+1,试求:

(1)数列｛%｝的通项公式；

(2)设a=」一，数列物,｝的前〃项的和为纥,求证:Bn<-

2

(根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相

消求和);

c严"+|一如“=11

A17

n+

例18设数列｛叫的前〃项的和，Sn=-an--x2'+~,〃=1,2,3,

(I)求首项,与通项％;(II)设(=土，»=1,2,3,……证明:£?；<-.

S"；=12

4）其他特别的放缩

a）并项放缩

例19已知。“=3"-（一1）",7；=—+—+—+……+—,求证:T„<-

a\a2“3an3

点评

b）倒序放缩

例20求证：i<_L+_L+...+_L.

n+1n+23〃+1

c）分类放缩

例21求证：1+，+1+...+—!—>9

2320-12

利用递推公式放缩（过程放缩）

例22在数列｛4｝中，已知4=2,对于任意的p,qeZ+,都有a?+%=。小成立

（1）求数列｛4｝的通项公式

（2）若数列｛4｝满足4=1,求证：；+!+[+……+3之师一1

2bnb｛b24b,

点评利用递推公式进行放缩要注意利用等式消元和改变次数

例23数列0｝定义如下：且a”+i=———,〃=1,2,3,……，求证：对于

2an-an+1

每一个正整数n,都有+〃2+。3+....+<1

例24已知数列｛4｝各项均为正数，其中〃％2+%=〃

(1)求证：a“+i>。〃且0<<1

(2)bn=------——，求证：勿+。2+。3+...........+bn<an

(n+i)an

第四次解析几何数学思维课程

一、曲线的定义

1.直线方程

2.圆的方程

3.椭圆方程

1.椭圆的定义与方程

文字表达：一个动点M到两个定点斗，%的距离之和为定值2a（2a＞忻昌）

符号表达：M用+|四周=2a(2a>|肖局)((2a=|再闯),(2a<|公同)

J(x-c)2+.2+[(x+c)2+)2=2a(2a>2c)

22

—7+==1(a>0>0)

a2b2

图像表达:

焦点在x轴上焦点在y轴上

二、圆锥曲线中的运算

一、圆锥曲线运算问题

1.圆锥曲线中的三大研究对象：点、直线和二次曲线

2.圆锥曲线中处理的方程的来源：

①点与点之间（距离公式）：d=，（占-%2）2+（力-y2）2

②直线与直线（平行、垂直、相交、夹角）：

③二次曲线与二次曲线（相交）：

④点与直线（距离）：点直线上Ax+By+C=O,点到直线距离d—

⑤点与二次曲线：点在曲线上Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

⑥直线与二次曲线：

3.圆锥曲线中的代数式的性质概念

对称性:对于两元函数丁=尸（町,工2），若产（虫,左2）=产（%为1），则称y=/（勺,*2）关

2F（X|,%2）=22+（%1+%2）,

于阳,》对称，例如X/+X2+可工对称式都能用

X]+*2，为％2表达

齐次性：对于两元函数y=/（町,工2），若尸（/^，的）*"77。2，/），则称丁=/（修，*2）

为齐人次函数，例如F（X],X2）=x/+尤2?+a》2为>=尸（阳,*2）关于町，X2的齐二次

函数

二、圆锥曲线中的消元演练

引1：

22

修+为-1

43

22

-----1------1,求1+1

4322

+X2+y2

»=kxx

-1

>2=~TX2

K

点评：加减运算，不必通分；

相似方程与相似方程得运算可同理可得

给你一个比值，可以求齐次式

运算要对比条件与结论的差异，用最简洁的方式统一

引2：

+(2上加—4)X[++2-0

<Mx?2+(2A"z-4)%2+m2=0,求左与，"的关系式

+(%$+rn)(kx2+m)=0

点评：两个一元二次方程相似，可考虑使用韦达定理

碰到对称式，可考虑利用韦达定理消元

有效的运算是建立在恰当的设、简洁的列方程的条件下的

设的环节要考虑是否以点构图还是以直线构图

列方程环节

三、真题演练(圆锥曲线中的设、歹h消元)

1.一个动点型

例1已知双曲线C：彳-产=1的左右顶点为A3,双曲线上有一动点M,求直线

的斜率之积

变：牵一发动全身

例2已知双曲线C:§-y2=1的左右顶点为48,双曲线上有一动点M,求直线

分别与直线.|的交点为GO,求CO的纵坐标的乘积

.两个动点型

1.无关型动点

22

例3问题1：已知椭圆?+2-=1两点。为坐标原点，求AOAB的面积最大

值

用二次曲线的参数形式

2.相关型动点

22

例4问题2：已知椭圆二+二=1两点A,8,。为坐标原点且。A_L08,求证:

43

]]

为定值

必2Q却2

3.对称型动点

例5问题3:已知直线丁=心+机与抛物线/=4x交于两点A,8,。为坐标原点且

Q4LQB,求证：直线A3过定点

三、实战演练

例6练习：直线/与抛物线尸=以相交于两点，与圆(%-5)2+4=户0>o)相

切于点M,且"为线段A8的中点，若这样得直线/恰有4条，则厂的取值范围是

()

A(2,4)8(1,3)C.(l,4)D.(2,3)

③椭圆中的面积问题

22

已知椭圆二+匕=1的右焦点作一条直线与椭圆交于A,8两点，。为坐标原点，求

54

AABC面积的最大值

④弦长问题：

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而

不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点

A(X],yJ,BL4)时，贝U|AB卜Jl+k?,一々tJl+k?+尤2上一4匹勺

=