高中数学空间几何体的表面积和体积知识点专项复习

高中数学空间几何体的表面积和体积知识点专项复习

要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积

棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积

之和.计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和.棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形

状如下表：

底面侧面

名称

棱柱平面多边形平行四边形面积=底•高

面积=9底高

棱锥平面多边形三角形

2

面积=1•（上底+下底）•高

棱台平面多边形梯形

2

要点诠释：

求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面

体的表面积.

要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积

圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们

的侧面展开为平面图形，再去求其面积.

1.圆柱的表面积

（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r,母线长/,

那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=27rr,宽等于圆柱侧面的母线长/（也是高），由此可得S圆柱

®IJ=Cl=2nrl.

(2)圆柱的表面积：S圆柱表=2万产+2万〃=2^r(r+/).

2.圆锥的表面积

(1)圆锥的侧面积：如下图(1)所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径

为r,母线长为那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=m,半径等于圆锥侧面的母线长为/,

由此可得它的侧面积是s圆锥侧=gci=兀”.

(2)圆锥的表面积：S圆锥表=兀1+兀".

3.圆台的表面积

(1)圆台的侧面积：如上图(2)所示，圆台的侧面展开图是一个扇环.如果圆台的上、下底

面半径分别为r'、r,母线长为/,那么这个扇形的面积为兀(r'+r)/,即圆台的侧面积为S圆台贮兀(r'

+r”.

(2)圆台的表面积：5圆台表="(尸2+/+尸/+〃).

要点诠释：

求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要

搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系.

4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示.

S・6・=*+r),

要点三、柱体、锥体、台体的体积

1.柱体的体积公式

棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积s和高h的乘积，即V棱柱=Sh.

圆柱的体积：底面半径是r,高是h的圆柱的体积是V圆柱uShFi^h.

综上，柱体的体积公式为V=Sh.

2.锥体的体积公式

棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是s,高是h,那么它的体积v■棱锥.

圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S,高是h,那么它的体积以雌=；5/2;如果底面积半径是

r,用兀r2表示S,则%।锥二；兀户h.

综上，锥体的体积公式为

3.台体的体积公式

棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S'、S,高是h,那么它的体积是

%台=；〃(5+7^+5').

圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r'、r,高是h,那么它的体积是

%台=+S')=g切/(产+，•尸+r'2).

综上，台体的体积公式为V=；〃(S+后+S').

4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示.

要点四、球的表面积和体积

1.球的表面积

(1)球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积.

(2)球的表面积

设球的半径为R,则球的表面积公式S球=4nR2.

即球面面积等于它的大圆面积的四倍.

2.球的体积

设球的半径为R,它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.

4,

球的体积公式为咻=§万

要点五、侧面积与体积的计算

1.多面体的侧面积与体积的计算

在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组

合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形(正多边形、三

角形、梯形等)，以求得其表面积与体积.要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一

些性质的灵活运用.

(1)棱锥平行于底的截面的性质:

在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系:

迎^=显生=显鲤1=对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比.

s大锥底s大锥金s大锥侧

要点诠释：

这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程.在求台体的侧

面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式.

（2）有关棱柱直截面的补充知识.

在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面

平行的截面.棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：

S棱柱1M=C直截/（其中C直截、/分别为棱柱的直截面周长与侧棱长），

v棱柱=s直截I（其中S直截、/分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）.

2.旋转体的侧面积和体积的计算

（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及

侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键.

（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多

面体的有关问题的关键.

【典型例题】

类型一、简单几何体的表面积

2

例1.如右图，有两个相同的直三棱柱，高为一，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a（。＞0）.用

a

它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个

四棱柱，则。的取值范围是.

【答案】0<a<

【解析】底面积为6a2,侧面面积分别为6、8、10,拼成四棱柱时，有三种情况：

5,=(8+6)x2+4x6〃=24/+28

S2=24/+2(10+8)=24a2+36,

S3=24,尸+2(10+6)=24a2+32,

拼成三棱柱时也有三种情况：

表面积为2x6/+2(10+8+6)=12优+48,24^+36,24/+32

由题意得244+28<124?+48,解得0<a<半.

【总结升华】(1)直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、

下两个底面的面积之和.

(2)求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法.所谓定义法就是利用侧面

积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解.

举一反三：

【变式1】一个圆柱的底面面积是S,侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为()

A.4〃SB.2TTSC.7TSD.宜^万S

【答案】A

【解析】由圆柱的底面面积是s,求出圆柱的半径为r=-，进一步求出侧面积为4%S.

例2.在底面半径为R,高为h的圆锥内有-内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高,

并求此时侧面积的最大值.

【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。

h1

【答案】高为；侧面积的最大值为

22

rh—x

【解析】如右图，设圆柱的高为x,其底面半径为r,则式=一厂，

Rh

R(h-x)

h

圆柱的侧面积

=2m=空•x(h-x)=--忖

hh

2

h2TIR.h.兀hR

——1n=2—

h24h22

当x=5■时，s侧最大值=・

即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为2,此时侧面积的最大值为！"/?/?.

22

【总结升华】与旋转体有关的问题，常作轴截面，利用相似比得出变量之间的关系，进一步转

化成代数问题解决.

举一反三：

【变式1］圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和底面半径也相等，求圆柱的

表面积和圆锥的表面积之比.

【答案】V2-1

【解析】如右图为其轴截面图，设圆柱、圆锥的底面半径分别是r、R,圆锥的母线长为/.

.rR-rr1

则有q=,即6二3，

RRR2

R

R=2r,I=y[2R

.S圆柱表=2万.+2万，=4-二=4.=]=五_]

,・S圆锥表一万R•&R+万R?―(0+1)〃R2—(0+1)4/―0+1一

【总结升华】这是一个圆锥和圆柱的组合体.旋转体一般要画出其轴截面来分析，利用相似三

角形求各元素之间的关系，再利用相应表面积公式计算.

例3.粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图，它的两底面边长分别是80mm和440mm,高是

200mm.计算制造这一下料斗所需铁板的面积.

【思路点拨】问题的实质是求正四棱台的侧面积，欲求侧面积，需先求出斜高.可在有关的直

角梯形中求出斜高.

【答案】2.8x105

【解析】如图所示，0、Oi是两底面的中心，则OOi是正棱台的高.设EEiOF月

是斜高，过日作EF〃00i交OE于F,则EFLOE,在直角梯形00正正中，1/

22

EE,=y]EtF+EF4'

=-耳〈)2

=J2OO2+(^^-)2x269(mm).

•••边数n=4,两底面边长a=440mm,a'=80mm,斜高h'-269mm,

••S正棱分侧=5(c'+c)・〃'=5〃(a'+a),"

=1x4x(80+440)x269«2.8xl05(mm2).

答:制造这一下料斗约需铁板2.8x10$mn?.

【总结升华】(1)解决与正棱台有关的计算问题，关键是利用有关直角梯形，即上图中的梯

形OEEQi、梯形OAAQi、梯形AEEA.

(2)求棱台的侧面积，只需利用公式求解即可，这就需要求出上、下底面半径以及母线长.

举一反三：

【变式1】圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开扇环的圆心角是180。,

那么圆台的表面积是多少？(结果中保留兀)

【答案】1100兀

【变式2】邻边长为a,b的平行四边形，且a>b,分别以a,b两边所在直线为轴旋转这个平

行四边形，所得几何体的表面积分别为Si,S2,则有()

A.Si<S2B.S|>S2C.Si=S2D.Si>S2

【答案】A

类型二、简单几何体的体积

例4.已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，

侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体

积.

【答案】46cm1900cm3

【解析】如右图所示，在三棱台ABC—A7B'C'中，O'、O分别为上、下底面的中心，D、

D'分别是BC、B'C'的中点，则DD'是梯形BCC'B'的高，

所以S厕=3xgx(20+30)xOZr=75£)£)'.

又A'B'=20cm,AB=30cm,则上、下底面面积之和为

由S耐=S上+S下,得75Z)£)'=325百,

所以OD=U6(cm),

3

。。邛x2。苧m),

=—x30=5V3(cm),

6

所以

h=O'O=^D'D1-(OD-O'D'S1=

由棱台的体积公式，可得棱台的体积为

h____

V=/+S卜.+丙再)

^x(^x202+^x302+^x20x30=1900(cm3).

【总结升华】注意构造简单几何体中的特殊三角形与特殊梯形，它们的数量关系往往是连接已

知与未知的桥梁，要注意利用.

举一反三：

【变式11棱台的两个底面面积分别是245cm?和80cm2；截得这个棱台的棱锥的高为35cm,

求这个棱台的体积。

【答案】2325

【变式2](1)各棱长都为1的正四棱锥的体积V=

(2)如右图，正方体ABCD—AiBiCQi的棱长为2,动点E,F在棱A|B|上，动点P,Q分别

在棱AD,CD上.若EF=1,A|E=x,DQ=y,DP=z（x,y,z大于零），则四面体PEFQ的体积（）

A.与x,y,z都有关

B.与x有关，与y,z无关

C.与y有关，与x,z无关

D.与z有关，与x,y无关

V2

【答案】（1）--（2）D

12

【解析】从图中可以分析出，AEFQ的面积永远不变，为面AiBCD面积的而当P点变化时，它到

面AiBCD的距离是变化的，即y的大小，影响P到面AiBCD的距离，因此会导致四面体体积的

变化.故选D.

例5.（2017年重庆高考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

【答案】B左视图

【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1,高为2

的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1,高也为1；构成

I]3

的一个组合体，故其体积为万X/x2+wx%xl2xl=y.

66

故选：B.

【总结升华】给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体

的结构特征，再利用公式求解.此类题目是新课标高考的热点，应引起重视.

举一反三:

【变式1】某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A.8--B.8--C.8—2"D.—

333

【答案】A

【解析】由三视图可知，其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥

2乃

所得,所以其体积是正方体的体积减去圆锥的体积之差，即8-.

俯视图

类型三、球的表面积与体积

例6.（2017上海静安区二模）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—N8CQ所（底面

正六边形ABCDEF的中心为球心）.求：正六棱锥P—ABCDEF的体积和侧面积.

【思路点拨】正六棱锥尸一的底面的外接圆是球的一个大圆，求出正六边形的边长，

求出侧面斜高，即可求出正六棱锥的体积、侧面积.

【答案】

P

【解析】设底面中心为4B中点为M,连结PO、OM、PM、AO,

则尸O_LOM,OMLAF,PMA.AF,多

•,1F

"：OA=OP=2,/.OM=y/3,

S底=6x—x2x5/3=6^3.

AV=1X6V3X2=4A/3.

3

•••PM="T5=V7.

S侧=6x」x2xV7=6b.

2

【总结升华】考查空间想象能力，计算能力，能够得到底面积是大圆，求出斜高，本题即可解

决，强化几何体的研究，是解好立体几何问题的关键.

举一反三：

【变式I】已知底面边长为1,侧棱长为行的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的

体积为()

【答案】D

例7.已知正四棱锥的底面边长为巴侧棱长为血

(1)求它的外接球的体积.

(2)求它的内切球的表面积.

【答案】(1)与g万/(2)族

【解析】如右图，作PE垂直底面ABCD于E,则E在AC上.

(1)设外接球的半径为R,球心为0,连接0A、0C,则OA=OC=OP,

.•.0为APAC的外心，即APAC的外接圆半径就是球的半径.

/AB=BC=a,AC-y/2a.

==.•.△PAC为正三角形.

72

R---------------二—Cl

cosZOAEcos3003

球327

(2)设内切球的半径为r,作PELBC于F,连接EF.

22

则有PF=y/PB-BF=J(VLZ)2_(])2=弓a.

S.=-BC-PF=-ax—a=—a2,

“PsBcC2224

S棱锥全=4sAppc+%=(近+1)矿•

又PE=《PF2-EF6

2

=为底〃」入迈”迈/

3底326

..「3加锥34

6V42-A/6a,S球=4乃/=±^乃。2

s棱锥全(4+1)。~12

【总结升华】多面体之间或多面体与球之间的切接关系，是一种空间简单几何体之间的位置关

系.处理这类问题时，一般可以采用两种转化方法：一是转化为平面图形之间的内切或外接关系;

二是利用分割的方式进行转化，使运算和推理变得简单，这里体现的转化思想是立体几何中非常重

要的思想方法.

举一反三:

【变式1】表面积为324万的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.

【答案】576

【解析】设球半径为R,正四棱柱底面边长为a,则作轴截面如图,

A4,=14,AC—6a,

f

又■:4兀R?=324〃,•*.R=9yAC=2R—18,

AC=JAC'2-CC，2=8及，，a=8,

S表=2x8x8+4*8*14=576.

【总结升华】解决球与其他几何体的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特

征，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个

截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能地体现这些元素之间

的关系），达到空间问题平面化的目的.

【变式2】求体积为丫的正方体的外接球的表面积和体积.

【答案】%

【解析】如图所示，显示正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方体任一面的球的截

面，则其截面为圆内一正方形（正方形的各顶点均在圆内，而不是在圆上）.因此，这样的截面无

法反映球的半径与正方体的棱长的关系，注意到球心必在正方体的一个对角面上，因此，以正方体

的一个对角面作截面即可.

如图，以正方体的对角面ACG4作球的截面，则球心。为AG的中点，设正方体的棱长为X,

则x3=v,：.x=W,而AG=缶，,AG=7M2+ACI2=瓜=6折

:.R=&V

2

S球=47/?2=3林%/=g万R3=5万丫

【总结升华】正方体外接球的轴截面不是圆内一正方形，而是圆内一矩形，因此在解决棱柱内切

球和外接球的有关问题时，必须谨慎地作其轴截面，切忌想当然地作图.

解决球与其他几何体的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特征，弄清相关

元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何

体的各种元素，尽可能地体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的.

【变式3】正三棱锥的高均为1,底面边长为2指，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积

和球的表面积.

【答案】972+673(4()-16向7

【解析】过侧棱PA与球心。作截面PAE交侧面P8C于PE,由于AABC为正三角形，故AE既是AABC

底边上的高，又是8c边上的中线，作正三棱锥的高产。，则过球心。，且。为AABC的中心.

(1)二•正三角形ABC边长为2的

DE=--AE^—•——•2\/6=V2

332

故PE-+2=^3

・・S全=5健+S底

=3---2V6-V3+--2V6-3A/2

22

=9夜+66

(2)以球心为顶点，棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小棱锥，设球半径为则

%+1<2+丫3+%=’八S全='RSAABC

33

故r=(S^ABC-〃)/S全=V6-2

球=44〃2=4^(V6—2)2=(40—16指)乃.

【巩固练习】

1.侧棱长和底面边长都为1的正三棱锥的体积是（）

A.巫B.克C.姮D.正

2412244

2.如果圆锥的轴截面是正三角形，那么它的侧面积是底面积的（）

A.4倍B.3倍C.近倍D.2倍

3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,圆台的侧

面积为84〃，则圆台较小底面的半径为（）

A.7B.6C.5D.3

4.棱台上、下底面面积之比为1：9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积

之比是（）

A.1:7B.2:7C.7:19D.5:16

6.如右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

99

A.—1+12B.—九■+18

22

俯裾图.，

C.9乃+42D.36乃+18

7.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上，

则该球的表面积为（）

A.TierB.a1C.—7ra2D.57ra2

33

8.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点，AB=百，

NASC=NBSC=30。，则棱锥S-ABC的体积为（）.

A.373B.273C,V3D.1

9.圆台的较小底面半径为1,母线长为2,一条母线和底面的一条半径有交

点且成60°，则圆台的侧面积为.

10.若圆锥的表面积为a平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆

锥的底面的直径为.

11.（2017年江苏高考）现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥

和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均

保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径

为.

12.（2017上海普陀区一模）若在北纬45。的纬度圈上有4、B两地，经度

差为90。，则4、8两地的球面距离与地球半径的比值为.

13.（2017上海黄浦区一模）三棱柱B'C的底面为直角三角形，两条直角边/C和8c

的长分别为4和3,侧棱41'的长为10.

（1）若侧棱4r垂直于底面，求该三棱柱的表面积;

(2)若侧棱/N'与底面所成的角为60。，求该三棱柱的体积.

14.将圆心角为120。，面积为3%的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积

和体积.

15.如图所示，-个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请

你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略「)卜

不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？vy-j-

\a

【答案与解析】

1.【答案】B

【解析】正三棱锥的底面面积为手，高为则体积为J.

"•JJ*■***JL//

2.【答案】D

【解析】设圆锥的底面半径为「，则母线长/=2r,S底=+,s侧=4/=2+，

S侧=2s底.

3.【答案】A

【解析】S恻面积=%(r+3r)/=84%,r=7

4.【答案】C

【解析】中截面的面积为4个单位，於怨|=焉

V24+6+919

5.【答案】D

【解析】

由三视图得，在正方体NBC。-4B1GQ1中，截

去四面体A—AxBxDy,如图所示，设正方体棱长

为a,则匕一八四=9*3=；/,故剩余几何体体积

32o

为,所以截去部分体积与剩余部分体

66

积的比值为2故选D.

6.【答案】B

【解析】该几何体是有一个球和一个圆柱组合而成的，故体积是两体积之

和.

7.【答案】B

【解析】如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面

的中心《、2的连线的中点。处，连接。内、。0、OB,其

中。8即为球的半径H,由题意知：0、B=3义与=£a,所以

半径K所以球的表面积是5=4虫2=苧，故选B.

8.【答案】C

【解析】由题意可知ASAC和ASBC是两个全等的直角三角形，过直角顶点

A,B分别作斜边上的高线，由于4SC=NBSC=30。，求得A”=6"=6,

所以等边AABH的面积为S1MH=曰x（扬2=孚