高中数学选修44坐标系与参数方程完整教案

选修4-4教案

教案1平面直角坐标系（1课时）

教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）

教案3极坐标系的的概念（1课时）

教案4极坐标及直角坐标的互化（1课时）

教案5圆的极坐标方程（2课时）

教案6直线的极坐标方程（2课时）

教案7球坐标系及柱坐标系（2课时）

教案8参数方程的概念（1课时）

教案9圆的参数方程及应（2课时）

教案10圆锥曲线的参数方程（1课时）

教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时）

教案12直线的参数方程（2课时）

教案13参数方程及一般方程互化（2课时）

教案14圆的渐开线及摆线（1课时）

课题：1、平面直角坐标系

教学目的：

学问及技能：回忆在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法

实力及及方法：体会坐标系的作用

情感、看法及价值观：通过视察、探究、发觉的创立性过程，培育创新意识。

教学重点：体会直角坐标系的作用

教学难点：可以建立适当的直角坐标系，解决数学问题

授课类型：新授课

教学形式：互动五步教学法

教具：多媒体、实物投影仪

1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法

2坐标系的作用

1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法

2坐标系的作用

情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按安排完成科学考察任务后，平

安、精确的返回地球，从火箭升空的时刻开场，须要随时测定飞船在空中的位

置机器运动的轨迹。

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变更的背景图案是由看

台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景

图案，须要缺点不同的画布所在的位置。

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？

问题2：如何创立坐标系？

刻画一个几何图形的位置，须要设定一个参照系

1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定

2、平面直角坐标系

在平面上，当取定两条相互垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条

直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对

(x,y)确定

3、空间直角坐标系

在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，

并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P

都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定

1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满意：

随意一点都有确定的坐标及其对应；反之，根据一个点的坐标就能确定这个点的位置

2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标

例1选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。

*变式训练

如何通过它们到点0的间隔以及它们相对于点0的方位来刻画，即用”间隔和方

向”确定点的位置？

例2已知B村位于A村的正西方1公里处，原安排经过B村沿着北偏东60°的方向设一

条地下管线m.但在A村的西北方向400米出,发觉一古代文物遗址W.根据初步勘探的结

果,文物管理部门将遗址W四周100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m的安排须要

修改吗？

*变式训练

1.一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距

800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程

2.在面积为1的APMN中，tanZPMN=-,tanAMNP=-2,建立适当的坐标系，

2

求以M,N为焦点并过点P的椭圆方程

例3已知Q(a,b)，分别按下列条件求出P的坐标

(1)P是点Q关于点M(m,n)的对称点

(2)P是点Q关于直线l：x-y+4=0的对称点(Q不在直线1上)

*变式训练

用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。

思索：

通过平面变换可以把曲线攵里匚+”』=1变为中心在原点的单位圆，恳求出该复合

94

变换？

小结：本节课学习了以下内容：

1.如何建立直角坐标系；

2.建标法的根本步骤；

3.什么时候须要建标。

书面作业：

必做题：课本P14页1,2,3,4

教学反思：建标法，学生学习有印象，但没有主动建标的意识，说明学生数学学习缺乏

系统性，须要加强训练。

课题：2、平面直角坐标系中的伸缩变换

教学目的：

学问及技能：平面直角坐标系中的坐标变换

过程及方法：体会坐标变换的作用

情感、看法及价值观：通过视察、探究、发觉的创立性过程，培育创新意识

教学重点：理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换

教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题

授课类型：新授课

教学方法：互动五步教学法

平面直角坐标系中的坐标变换

平面直角坐标系中的坐标变换

问题探究1：怎样由正弦曲线”组内得到曲线丁=疝2"

思索：“保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的本质是什么？

问题探究2：怎样由正弦曲线丁=加工得到曲线y=3sinx?

思索：“保持横坐标不变纵坐标缩为原来的3倍”的本质是什么？

问题探究3：怎样由正弦曲线丁=5皿1得到曲线y=3sin2x?

定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中随意一点，在变换

的作用下，点P(x,y)对应P(x，,y)称。为平面直角坐标系中的伸缩变换

注(1沈>0,4>0

(2)把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；

(3)在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同始终角坐标系下进展伸缩变换。

V-0V*

例1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。

y=3y

(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=1

例2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换后，曲线c变为曲线—+992=9,

.>=y

求曲线c的方程并画出图象。

1>已知/(x)=sinx/Cx)=sin@;(3>0)力⑺的图象可以看作把力(无)的图象在其所

在的坐标系中的横坐标压缩到原来的工倍(纵坐标不变)而得到的，则口为()

3

A.-B.2C.3D.-

23

Y'—SY

2、在同始终角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2/+8了2=1,则

y=3y

曲线C的方程为（）

2Q

A.25x2+36/=1B.9x2+100y2=1C.10x2+24y2=1D.-x2+^y2

x'=—x

3、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换2后的图形。

了=?

（1）5x+2y=0;

（2）x2+y2=1o

学问归纳：设点P（x,y）是平面直角坐标系中的随意一点，在变换

=的作用下，点p（x,y）对应到点尸（凡川，称夕为平面直角坐标系

[V="y,（M>0）,

中的坐标伸缩变换

书面作业：

x=­x

必做题：1、抛物线>2=4x经过伸缩变换4后得到

2、把圆d+>2=16变成椭圆/+仁=1的伸缩变换为_________________

16

3,在同一坐标系中将直线3x+2y=1变成直线2x+y=2的伸缩变换为

',=1

4,把曲线y=3sin2x的图象经过伸缩变换*一2”得到的图象所对应的方程为

.y'=4y

x'=2x

5、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换,1后，曲线C变为《2-16了2一4"=0,

卜=5〉

则曲线c的方程______________________

教学反思：伸缩变换

课题：3极坐标系的的概念

教学目的：理解极坐标的概念

教学重点：理解极坐标的意义

教学难点：可以在极坐标系中用极坐标确定点位置

授课类型：新授课

教学形式：互动五步教学法

.教具：多媒体、实物投影仪

1坐标的概念

2极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区分.

1坐标的概念

2极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区分.

情境1：军舰巡逻在海面上，发觉前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引

爆？

情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

(1)他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位

置惟一确定吗？

(2)假如有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描

绘？

问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创立怎

样的坐标系呢？

问题2：如何刻画这些点的位置?

这一思索，能让学生结合自己熟识的背景，体会在某些状况下用间隔及角度来刻

画点的位置的便利性，为引入极坐标供应思维根底.

从情镜2中探究出：在生活中人们常常用方向和间隔来表示一点的位置。这种用

方向和间隔表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的根本思想。

1、极坐标系的建立:

在平面上取一个定点0,自点0引一条射线0X,同时确定一个单位长度和计算角度

的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系。

(其中0称为极点，射线0X称为极轴。)

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上随意一点M,用p表示线段OM的长度，

用6表示从OX到OM的角度，p叫做点M的极径，0

叫做点M的极角，有序数对(p,0)就叫做M的极坐标。

特殊强调：由极径的意义可知p»0;当极角。的取值范围

是［0,2乃)时，平面上的点(除去极点)就及极坐标(p,0)建立

一一对应的关系•们约定,极点的极坐标是极径p=0,极角是随意角.

3、负极径的规定

在极坐标系中，极径p允许取负值，极角0也可以去随意的正角或负角

当p<0时，点M(p,0)位于极角终边的反向延长线上，且OM=„

M(p,0)也可以表示为(p,6+2Z%)或(-0,。+(2左+1)乃)(kez)

4、数学应用

例1写出下图中各点的极坐标(见教材14页)

A(4,0)B(2)C()

D()E()F()

G()

①平面上一点的极坐标是否唯一？

②若不唯一，那有多少种表示方法？

③坐标不唯一是由谁引起的？

③不同的极坐标是否可以写出统一表达式

约定：极点的极坐标是夕=0,。可以取随意角。

例2在极坐标系中，(1)已知两点P(5,—

44

求线段PQ的长度;

(2)已知M的极坐标为(p,0)且9=(，PGR，说明满意上述条件的点M的位置。

1知Q(p,0),分别按下列条件求出点P的极坐标。

(1)P是点Q关于极点0的对称点；

(2)P是点Q关于直线。=工的对称点；

2

(3)P是点Q关于极轴的对称点。

2极坐标系中，及点(-8,9)关于极点对称的点的一个坐标是()

6

3极坐标系中，假如等边AA3C的两个顶点是A(2,&),8(2,3,求第三个顶点C的坐标。

44

4小结：

本节课学习了以下内容：1.如何建立极坐标系。2.极坐标系的根本要素是：极点、

极轴、极角和度单位。3.极坐标中的点及坐标的对应关系。

书面作业：

必做题：导练相应练习

选做题：

预习提纲

课后反思：本节学习内容对学生来说是全新的，因此学生学习的爱好很浓，课堂气氛很

好。局部学生还未能转换思维，感到有点吃力。后续教学还要加强根底训练。

课题：4极坐标及直角坐标的互化

教学目的：

学问目的：驾驭极坐标和直角坐标的互化关系式

实力目的：会实现极坐标和直角坐标之间的互化

德育目的：通过视察、探究、发觉的创立性过程，培育创新意识。

教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解

教学难点：互化关系式的驾驭

授课类型：新授课

教学形式：启发、诱导发觉教学.

教具：多媒体、实物投影仪

极坐标和直角坐标的互化关系式

极坐标和直角坐标的互化关系式

情境1：若点作平移变动时，则点的位置采纳直角坐标系描绘比拟便利；

情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采纳极坐标系描绘比拟便利

问题1：如何进展极坐标及直角坐标的互化？

问题2：平面内的一个点的直角坐标是(1,6)，这个点如何用极坐标表示？

学生回忆

理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义

正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解

直角坐标系的原点0为极点，x轴的正半轴为极轴，

且在两坐标系中取一样的长度单位。平面内随意一点P的

指教坐标及极坐标分别为(x,y)和(2,6),则由三角函数的

定义可以得到如下两组公式：

说明1上述公式即为极坐标及直角坐标的互化公式

2通常状况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取P20,0W9W2兀。

3互化公式的三个前提条件

1.极点及直角坐标系的原点重合；

2.极轴及直角坐标系的x轴的正半轴重合；

3.两种坐标系的单位长度一样.

例1.(1)把点M的极坐标(8,3)化成直角坐标

(2)把点P的直角坐标(遥,-/)化成极坐标

变式训练

在极坐标系中，已知42,9)，3(2,-工),求A,B两点的间隔

66

例2.若以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系.

(1)已知A的极坐标(4,号)，求它的直角坐标，

(2)已知点B和点C的直角坐标为(2,-2)和(0,-15)

求它们的极坐标.(0>0,0<6<2")

变式训练

把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定p>0,0W。V2不)

例3.在极坐标系中，已知两点A(6,-),B(6,—).

63

求A,B中点的极坐标.

变式训练

在极坐标系中，已知三点M(2,_X),N(2,0),P(2g：).推断M,N,P三点是否在一条直线

36

上.

本节课学习了以下内容：

1.极坐标及直角坐标互换的前提条件；

2.互换的公式；

3.互换的根本方法。

书面作四：

必做题：导练相应练习

选做题：

预习提纲

课后反思：在老师的引导下，学生能主动应对互化的缘由、方法，也能较好地仿照操作，

但让学生独立自主完成新的问题的解答，明显有困难，须要老师的点拨引导。这点可实

行的措施是：小组探讨，共同找寻解决问题的方法，很有效。但教学时间缺乏。

课题：5圆的极坐标方程

教学目的：

1、驾驭极坐标方程的意义

2、能在极坐标中给出简洁图形的极坐标方程

教学重点、极坐标方程的意义

教学难点：极坐标方程的意义

教学方法：启发诱导，讲练结合。

教具：多媒体、实物投影仪.

1、直角坐标系和极坐标系中怎样描绘点的位置？

2、曲线的方程和方程的曲线(直角坐标系中)定义

3、求曲线方程的步骤

4、极坐标及直角坐标的互化关系式：

1、直角坐标系和极坐标系中怎样描绘点的位置？

2、曲线的方程和方程的曲线(直角坐标系中)定义

3、求曲线方程的步骤

4、极坐标及直角坐标的互化关系式：

问题情境

1、直角坐标系建立可以描绘点的位置极坐标也有同样作用？

2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程

极坐标系的建立是否可以求曲线方程？

1、引例.如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为

(a,O)(a〉O),你能用一个等式表示圆上随意一点，/

的极坐标(p,。)满意的条件？/少/,

解：设M(p,O)是圆上0、A以外的随意一点，连接'\x

则有：OM=OAcos®,即：P=2acos0-----n--------IT-*

2、提问：曲线上的点的坐标都满意这个方程吗？\r(八、

可以验证点0(0,无⑵、A(2a,0)满意①式.

等式①就是圆上随意一点的极坐标满意的条件.、----/

反之，合适等式①的点都在这个圆上.

3、定义：一般地，假如一条曲线上随意一点都有一个极坐标合适方程八。,6)=0的点

在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个

极坐标方程的曲线。

例1、已知圆。的半径为r,建立怎样的坐标系，

可以使圆的极坐标方程更简洁？现

①建系；f\\

②设点；M(P,e)(----，--*

③列式；OM=r,即：p=r\/'

④证明或说明.

变式练习：求下列圆的极坐标方程

(1)中心在CQ0),半径为a；

(2)中心在(a,加2),半径为a；

(3)中心在©(。。〃)，半径为a

答案：(l)p=2acos0(2)p=2asin0(3)/?=2acos(。-%)

例2.(1)化在直角坐标方程-8)=0为极坐标方程，

(2)化极坐标方程P=6cos(。-?)为直角坐标方程。

1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(C)

2.极坐标方程分别是P=cos0和p=sin0的两个圆的圆心距是多少？旺

2

1.曲线的极坐标方程的概念.

2.求曲线的极坐标方程的一般步骤.

书面作业：

宓做题：教材七1,2

选做题：1.在极坐标系中，已知圆C的圆心C(3,乙)，半径厂=3,

6

(1)求圆C的极坐标方程。

(2)若。点在圆C上运动，P在。。的延长线上，且O0:OP=3:2,求动点P的

轨迹方程。

教学反思：理解还不很到位，加强理解

课题：6直线的极坐标方程

教学目的：

学问及技能：驾驭直线的极坐标方程

过程及方法：会求直线的极坐标方程及及直角坐标之间的互化

情感、看法及价值观：通过视察、探究、发觉的创立性过程，培育创新意识。

教学重点：理解直线的极坐标方程，直角坐标方程及极坐标方程的互化

教学难点：直线的极坐标方程的驾驭

授课类型：新授课

教学形式：启发、诱导发觉教学.

教学过程：

一、探究新知：

阅读教材P13-P14

探究1、直线/经过极点，从极轴到直线/的角是?，如何用极坐标方程歹洛’!

＞思索：用极坐标表示直线时方程是否唯一？/

探究2、如何表示过点4a,0)(。＞0),且垂直于极轴的直线/的啜［.程，化为直角坐

标方程是什么？过点A(a,0)(a〉0),平行于极轴的直线/的多2个.尼?-----------►x

二、学问应用：/'

例1、已知点P的极坐标为(2,乃)，直线/过点P且及极轴所成的角为求直线/的极

坐标方程。

例2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程

、冗7T

(1)6?=—(pe/?)(2)Q(2cos8+5sin6)—4=0(3)psin(6?-y)=4

例3、推断直线夕sin(6+?)=工-及圆Q=2cos8-4sin。的位置关系。

三、稳固及提升：

P15第1,2,3,4题

四、学问归纳：

1、直线的极坐标方程

2、直线的极坐标方程及直角坐标方程的互化

3、直线及圆的简洁综合问题

五、作业布置：

1、在直角坐标系中，过点（1,0）,及极轴垂直的直线的极坐标方程是（）

Apsin6=lBp=sin。C℃os8=IDp=cos0

2、及方程。=巴(220)表示同一曲线的是()

4

rrSTTSTT7C

A6=—(peE)B=—(p<0)C0=—(peR)D^=-(p<0)

4444

3、在极坐标系中，过点A（2,-马且及极轴平行的直线/的极坐标方程是____________

2

4,在极坐标系中，过圆0=4cos。的圆心，且垂直于极轴的直线方程是

5、在极坐标系中，过点A（2,把）且垂直于极轴的直线/的极坐标方程是___________

4

6、已知直线的极坐标方程为0sin（6+工）=也，求点A（2,卫）到这条直线的间隔。

424

7、在极坐标系中，由二条直线6=0,6=（,/7cosO+psin6=1围成图形的面积。

六、反思：

课题7球坐标系及柱坐标系

教学目的：

学问目的：理解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法

实力目的：理解柱坐标、球坐标及直角坐标之间的变换公式。

德育目的：通过视察、探究、发觉的创立性过程，培育创新意识。

教学重点：体会及空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区分和联络

教学难点：利用它们进展简洁的数学应用

授课类型：新授课

教学形式：启发、诱导发觉教学.

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的间隔、经度、纬

度。

问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？

学生回忆

在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法

极坐标的意义以及极坐标及直角坐标的互化原理

二、讲解新课：

1、球坐标系

设P是空间随意一点，在oxy平面的射影为Q,连接OP,记|OP|=r,OP及OZ

轴正向所夹的角为6,P在oxy平面的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转

过的最小正角为夕，点P的位置可以用有序数组（厂,仇。）表示，我们把建立上述对应关

系的坐标系叫球坐标系（或空间极坐标系）

有序数组（八夕⑼叫做点p的球坐标，其中r2o,owew兀,ow°v2万。

空间点P的直角坐标（x,y,z）及球坐标（「，仇⑼之间的变换关系为：

2、柱坐标系

设P是空间随意一点，在oxy平面的射影为Q,用（P,0）（P20,0W。<2n）表示

点在

平面。xy上的极坐标，点P的位置可用有序数组（P,0,Z）表示把建立上述对应关系的

坐标系叫做柱坐标系

有序数组（P,0,Z）叫点P的柱坐标，其中P20,0<2n,zeR

空间点P的直角坐标（x,y,z）及柱坐标（P,0,Z）之间的变换关系为：

3、数学应用

例1建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点.

变式训练

建立适当的柱坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点.

例2.将点M的球坐标（8,乙，苗）化为直角坐标.

36

变式训练

1.将点M的直角坐标（-1,-1,五）化为球坐标.

2.将点M的柱坐标（4,8）化为直角坐标.

3.在直角坐标系中点（a,a,a）（a>0）的球坐标是什么？

例3.球坐标满意方程r=3的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程.

变式训练

标满意方程p=2的点所构成的图形是什么？

例4.已知点M的柱坐标为（后二,3）,点N的球坐标为（2:二）,求线段MN的长度.

442

思索：

在球坐标系中，集合M=<（r,e,°）2<rW6,0W，W],0V夕<2万>表示的图形的体

积为多少？

三、稳固及练习

四、小结：本节课学习了以下内容：

1.球坐标系的作用及规则；

2.柱坐标系的作用及规则。

五、课后作业：教材P15页12,13,14,15,16

六、课后反思：本节内容及平面直角坐标和极坐标结合起来，学生简洁理解。但以后少

用，可能会遗忘很快。须要定期调回学生的记忆。

第二章参数方程

【课标要求】

1、理解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方

程及其简洁应用。

3、会进展曲线的参数方程及一般方程的互化。

8参数方程的概念

一、教学目的：

1.通过分析抛物运动中时间及运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方

程，体会参数的意义。

2.分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

三、教学方法：启发诱导，探究归纳

四、教学过程

（一）.参数方程的概念

1.问题提出：铅球运发动投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为Vo,及地面成a

角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？y

2.分析探究理解：Iv=vo

（1）、斜抛运动：，乙1一

（2）、抽象概括：参数方程的概念。说明：（“凶备来说，参数的容更范围是有限制的。

（2）参数是联络变量x,y的桥梁，-实际意义，也可玉实际意义。

（3）平抛运动：yt

v=100in/s

（4）思索沟通：把引例中求出的铅球运动的轨迹50。尸,

的参数方程消去参数t后，再将所得方程及原方程进展4拟，忘濠数寺程的作用。

（二）、应用举例：H—*

例1、已知曲线。的参数方程是S为参数）（1）推断点（。，1），

M,（5,4）及曲线C的位置关系；（2）已知点加3（6,a）在曲线。上，求a的值。

分析：只要把参数方程中的t消去化成关于x,y的方程问题易于解决。学生练习。

反思归纳：给定参数方程要探讨问题可化为关于x,y的方程问题求解。

兀

例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为前

rad/s,试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。

解析：如图，运动开场时质点位于A点处，此时t=0,设动点M（x,y）对应时刻t,由图

x=2cos。兀f%=2cos看r〉

可知｛y=2sind°60',得参数方程为iy=2sin希Z°

反思归纳：求曲线的参数方程的一般步骤。

（三）、课堂练习：

（四）、小结：1.本节学习的数学学问；2、本节学习的数学方法。学生自我反思、老

师引导，抓住重点学问和方法共同小结归纳、进一步深化理解。

（五）、作业：

补充：设飞机以匀速v=150m/s作程度飞行，若在飞行高度h=588m处投弹（设投弹

的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）。（1）求炸弹分开飞机后的轨迹方程；（2）

试问飞机在离目的多远（程度间隔）处投弹才能命中目的。简解：（1）

五、教学反思:

9圆的参数方程及应用

一、教学目的：

学问及技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几

何性质求最值（数形结合）

过程及方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程

情感、看法及价值观：通过视察、探究、发觉的创立性过程，培育创新意识。

二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程

教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.

三、教学方法：启发、诱导发觉教学.

四、教学过程：_

\~/Mo

（-）＞圆的参数方程探求

1、根据图形求出圆的参数方程，老师准对问题讲评。

;（。为参数）这就是圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。

y=rsin^

说明：（1）参数0的几何意义是0M及x轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，

参数方程形式也有不同，但表示的曲线是一样的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注

明参数及参数的取值范围。

3、若如图取＜PAX=。，AP的斜率为K,如何建立圆的参数方程，同学们探讨沟通，自我

解决。

结论：参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。

4,反思归纳：求参数方程的方法步骤。

（二）、应用举例

例1、已知两条曲线的参数方程

：为参数）和：（，为参数）

Lcll.y=5sin（9a2Iy=3+rsin45

（1）、推断这两条曲线的形态；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，老师准对

问题讲评。

（三）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）

例2、1、已知点P（x,y）是圆/+y?-6x-4y+12=0上动点，求（1）Y+y?的最

值，

（2）x+y的最值，

（3）P到直线x+y-1=0的间隔d的最值。

v—3-4-CCS0

解：圆，+y2—6x—今+12=0即(x-3)2+(y-2)2=l,用参数方程表示为｛八

y-2+sin。

由于点P在圆上，所以可设P（3+cosO,2+sin。）,

(1)x2+y2=(3+COS6)2+(2+sin0)2=14+4sin6+6cos。=14+2y/13sin(6+0)

(其中tan(P=|)...x2+y2的最大值为14+2岳,最小值为14-2岳。

冗

(2)x+y=3+cos0+2+sin0=5+0sin(0+4)，x+y的最大值为5+6

最小值为5-y/2。

_|3+cos6>+2+sin6>-l|_4+&sm(6>+J

⑶d=75=7F

明显当sin（0+W）=±1时，d取最大值，最小值，分别为1+2&,1-2&.

2、过点（2,1）的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是；

为最短的直线方程是;

3、若实数X,y满意x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值为。

（三）、课堂练习：学生练习：1、2

（四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、

参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参

数方程求最值。要求大家驾驭方法和步骤。

（五）、作业：

1、方程丁+歹_4戊-2。+5/-4=0（t为参数）所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）

A.一个定点B.一个椭圆C.一条抛物线D.一条直线

2,已知1=2+（妫参数），则J（*_5）、（y+4）2的最大值是目。

[y=sin〃

8.曲线r+V=2y的一个参数方程为]*=（以参数）

[y=1+sm〃

五、教学反思：

10圆锥曲线的参数方程

一、教学目的:

学问及技能：理解圆锥曲线的参数方程及参数的意义

过程及方法：能选取适当的参数，求简洁曲线的参数方程

情感、看法及价值观：通过视察、探究、发觉的创立性过程，培育创新意识。

二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法

教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.

三、教学方法：启发、诱导发觉教学.

四、教学过程：

（一）、复习引入：

1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

（1）圆/+y2=/参数方程F「©OS,（Q为参数）

y=rsin。

（2）圆（x—Xo）2+（y\y（>）2=/参数方程为：，=Xo+，cos,（。为参数）

J=>0+rsm6

2.写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。

3.能仿照圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？

（二）、讲解新课：

1.椭圆的参数方程推导：椭圆W+£=l参数方程r=ac°s°（。为参数），参

数。的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线及X轴正半轴的夹角。

2.双曲线的参数方程的推导：双曲线£-*=1参数方程「=asec"（。为参数）

ab~[y=btan0

参数。几何意义为以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线及X轴正半轴的夹

角。

r-2Pt2

3.抛物线的参数方程：抛物线V=2&参数方程“一（t为参数），t为以抛物

y=2Pt

线上一点（X,Y）及其顶点连线斜率的倒数。

（1）、关于参数几点说明：

A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。

B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样

C.在实际问题中要确定参数的取值范围

（2）、参数方程的意义：

参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的

两个坐标间接地联络起来，参数方程及变通方程同等地描绘，理解曲线，参数方程事实

上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。

（3）、参数方程求法：（A）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为（x,y）；（B）

选取适当的参数；（C）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标及参

数的函数式；（D）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程

（4）、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的

关系比拟明显关系相对简洁。及运动有关的问题选取时间f做参数；及旋转的有关问题

选取角。做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。

4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆马+《=1参数方程=（。为

a2b2[y=〃sin。

22\X=bcOS0八、1公出L口\

参数）；椭圆会+:=13>Q〉O）的参数方程是JsmM为乡数，且.

b0>）—usin（/

（2）、以（x°,y0）为中心焦点的连线平行于x轴的椭圆的参数方程是

「x=Xo+acose公淑、[

｛尸V3n卅为多数）。⑶在利用探讨椭圆问题时，椭圆上的点的

坐标可记作（acos。，bsin。）。

（三”稳固训练

1

x=t+-

1、曲线的为参数）的一般方程为=4。

——---------

t

2、曲线]=cos：（9为参数）上的点到两坐标轴的间隔之和的最大值是（D）

[y=sine

A.-B.农C.1D.V2

22

3、已知椭圆（"=3c°s°J为参数）求（1）工时对应的点P的坐标

y=2sin。6

（2）直线OP的倾斜角

（四）、小结：本课要求大家理解圆锥曲线的参数方程及参数的意义，能选取适当的参

数，求简洁曲线的参数方程，通过推到椭圆及双曲线的参数方程，体会求曲线的参数方

程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和驾驭。

（五）、作业：

五、教学反思：

11圆锥曲线参数方程的应用

一、教学目的：

学问及技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题

过程及方法：选择适当的参数方程求最值。

情感、看法及价值观：通过视察、探究、发觉的创立性过程，培育创新意识。

二、重难点：教学重点：选择适当的参数方程求最值。

教学难点：正确运用参数式来求解最值问题

三、教学形式：讲练结合，探析归纳

四、教学过程：

（一）、复习引入：

通过参数。简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，

从而运用三角性质及变换公式扶植求解诸如最值，参数取值范围等问题。

（二）、讲解新课：

例1、双曲线{“：耳的"（二为参数）的两焦点坐标是。

Iy=6seca-----------

答案：（0,-4百），（0,473）o学生练习。

t-t

{x=e+s

y=（t为参数）的图形是双曲线右支。

学生练习，老师准对问题讲评。反思归纳：推断曲线形态的方法。

22

Yy

例3、设P是椭圆行+k=1在第一象限局部的弧AB上的一点，求使四边形OAPB

的面积最大的点P的坐标。

分析：本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求SAPOA+S"M,SOAP8的

最大值或者求点P到AB的最大间隔，或者求四边形OAPB的最大值。

71

学生练习，老师准对问题讲评。【。=W时四边形OAPB的最大值=6e，此时点P

为（372，2）o]

（三）、稳固训练

1、直线F='cos,（协参数）及圆F=4：2c°SQe为参数）相切，那么直线的倾斜角为（A）

[y=fsin夕[y=2sm（p

A.三或包B.工或包C.工或把D.-乙或-包

66443366

22

2、椭圆[+==1（。＞匕＞0）及x轴正向交于点A,若这个椭圆上存在点P,使0P

ah

±AP,（0为原点），求离心率e的范围。

3、抛物线V=4x的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接

三角形的周长。

4,设P为等轴双曲线--y2=i上的一点，/B为两个焦点，证明闺斗区”=|。斤

5、求直线F=l+'。为参数）及圆》2+y2=4的交点坐标。

解：把直线的参数方程代入圆的方程，得（l+t）2+（l-t）2=44^t=±l,分别代入直线

方程，得交点为（0,2）和（2,0）o

（三）、小结：本节课我们利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问

题，选择适当的参数方程正确运用参数式来求解最值问题，要求理解和驾驭求解方法。

（四）、作业:

练习：在抛物线尸=4以3〉0）的顶点，引两相互垂直的两条弦0A,0B,求顶

点0在AB上射影H的轨迹方程。

五、教学反思：

12直线的参数方程

一、教学目的：

学问及技能：理解直线参数方程的条件及参数的意义

过程及方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义

情感、看法及价值观：通过视察、探究、发觉的创立性过程，培育创新意识。

二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法

教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.

三、教学方法：启发、诱导发觉教学.

四、教学过程

（一）、复习引入：

1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

圆/+>2=户参数方程P=rose（。为参数）

y=rsin^

⑵圆（X7o）2+（y\yo）2"参数方程为：/+（。为参数）

J=%+rsin'

2.写出椭圆参数方程.

3.复习方向向量的概念.提出问题：已知直线的一个点和倾斜角，如何表示直线的参

数方程？

（二）、讲解新课：

1、问题的提出：一条直线L的倾斜角是30°，并且经过点P（2,3）,如何描绘直

【辨析直线的参数方程工设M（x,y）为直线上的随意一点，参数t的几何意义是指

从点P到点M的位移，可以用有向线段数量来表示。带符号.

（2）、经过两个定点Q（w，y），P（X2，yJ（其中X产片）的直线的参数方程为

X=^MX2

｛产春4为参数，，~1）。其中点心）为直线上的随意-点。这里

参数九的几何意义及参数方程（1）中的t明显不同，它所反映的是动点M分有向线段QP

的数量比赤。当九＞。时，M为内分点；当；且;I。—1时，M为外分点；当丸=。时,

点M及Q重合。

（三）、直线的参数方程应用，强化理解。

1、例题:

学生练习，老师准对问题讲评。反思归纳：1、求直线参数方程的方法；2、利用直线参

数方程求交点。

2、稳固导练：

补充：1、直线F='cos,（如参数）及圆[X=4+2COSQ夕为参数）相切，那么直线的倾斜角

[y=ts\nO[y=2sm°

为（A）

A.工或把B.巴或网C.工或竺D.-工或-包

66443366

X=]-2t

2、（2009广东理）（坐标系及参数方程选做题）若直线心’。为参数）及直线

[y=2+kt.

X=S，

l2：l（s为参数）垂直，则攵=________.

y=l-2s.

Y—1—2,“

解：直线4:'。为参数）化为一般方程是y-2=--（x-l）,

[y=2+kt.2

该直线的斜率为

2

直线（S为参数