初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习3.2.2 奇偶性（学生版）

3.2.2奇偶性【知识梳理】知识点一函数奇偶性的定义前提条件：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称知识点二用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．知识点三奇偶性与单调性若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．【基础自测】1．下列函数中奇函数的个数为()①f(x)＝x3； ②f(x)＝x5；③f(x)＝x＋eq\f(1,x)； ④f(x)＝eq\f(1,x2).A．1B．2C．3D．42．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≥0，,gx，x<0，))且f(x)为偶函数，则g(－2)等于()A．6B．－6C．2D．－23．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.4．函数f(x)为偶函数，若x>0时，f(x)＝x，则x<0时，f(x)＝________.5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范围是________．【例题详解】一、判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1).(4)；(5)；(6)；(7).(8)（多选）已知是定义在R上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数中为偶函数的有（

）A． B．C． D．跟踪训练1判断下列函数的奇偶性(1)；(2)；(3)；(4)；(5).(6)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数二、由奇偶性求解析式命题角度1求对称区间上的解析式例2(1)已知是奇函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．(2)已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．求当时，的解析式．(3)已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．跟踪训练2(1)若函数为R上的奇函数，当时，，则当时，______．(2)若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，若，则实数的取值范围是_______.(3)已知是定义在上的偶函数，当时，.(=1\*romani)求在上的解析式；(=2\*romanii)解不等式.命题角度2构造方程组求解析式例3若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则_______．跟踪训练3设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式．三、由奇偶性求参数例4(1)若函数，（a，）为奇函数，则的值为（）A． B． C．1 D．4(2)若函数为奇函数，则___________.(3)已知是定义在上的偶函数，则________.跟踪训练4(1)已知定义域为的奇函数，则_______.(2)若函数是偶函数，则正数a的值为________．四、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例5(1)若偶函数在上是增函数，则（

）A． B．C． D．(2)定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．(3)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b)； ②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)； ④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．跟踪训练5(1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)(2)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为()A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定五、由函数奇偶性解不等式例6(1)已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（

）A． B．C．或 D．(2)设是定义在上的偶函数，且在单调递增，则的解集为（

）A． B． C． D．(3)已知是上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______．跟踪训练6(1)已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．(2)已知是定义在上的奇函数，且对任意且，都有，若，则不等式的解集为________.(3)已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为__________.六、函数奇偶性的应用例7已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；(2)证明函数f(x)在R上的单调性；(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.跟踪训练7已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.（1）求证：f(x)是奇函数；（2）求证：f(x)在R上是减函数；（3）求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．【课堂巩固】1．下列图象中，不可能是的图象的是（

）A． B．C． D．2．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．3．若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C．1 D．24．已知是偶函数，当时，，若，则（

）A． B． C．或3 D．或5．若定义在上的函数为奇函数，且在上单调递增，，则的解集为（

）A． B．C． D．6．若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．7．若为奇函数，则实数______.8．函数是偶函数，当时，，则________.9．已知是偶函数，当时，，则当时，的解析式为______，不等式的解集是______．10．已知函数,则不等式的解集为______．11．定义在R上的奇函数和偶函数满足，当时，恒成立，则实数k的取值范围______．12．已知函数是定义在上的奇函数，且.求的值.13．已知定义在R上的偶函数，当时，．(1)求函数在R上的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．【课时作业】1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（

）A． B．C． D．2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是（

）A． B． C． D．3．是定义在上的偶函数，那么的最小值是（

）A． B． C． D．4．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．5．已知函数是上的偶函数，当时，则不等式的解集是（

）A．B．C． D．6．已知函数的定义域为，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（

）A．1 B．3 C． D．7．定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．8．函数是偶函数的充分必要条件是（

）．A． B．C．且 D．，且9．已知定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使的的取值范围是（

）A． B． C． D．10．已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（

）A． B． C． D．11．（多选）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（

）A． B．C． D．12．（多选）已知函数是偶函数，在区间上单调递增，下列结论正确的有（

）A． B．C．若，则或 D．若，则13．已知函数是奇函数，则____________；14．已知函数是偶函数，则的值域是__________.15．设函数是定义在R上的偶函数，记，且函数在区间上是增函数，则不等式的解集为_____16．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________；若函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数．则不等式的解集为_________．17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，.（1）求函数