初升高数学暑假衔接（人教版）第26讲 正弦函数、余弦函数的性质（教师版）

第26讲正弦函数、余弦函数的性质1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义，会求和的周期；2．掌握、的奇偶性及对称性，会判断简单函数的奇偶性；3．掌握、的单调性，并能利用单调性比较三角函数值的大小；4．会求函数和的单调区间；、5．掌握、的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值。一、周期函数1、周期函数的定义：函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.【注意】定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.3、周期函数的周期公式（1）一般地，函数的最小正周期（2）若函数的周期是，则函数的周期为,二、正弦函数、余弦函数的性质图象定义域值域[-1,1][-1,1]最值周期性奇偶性奇偶单调性在上单调递增在上单调递减在上单调递增在上单调递减对称性对称轴方程：对称中心，对称轴方程：对称中心，三、三角函数单调区间的求法求形如或的函数的单调区间，要先把化为正数；（1）当时，把整体放入或的单调增（减）区间内，求得的的范围即函数的增（减）区间；（2）当时，把整体放入或的单调增（减）区间内，求得的的范围即函数的减（增）区间。四、三角函数的值域求法一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sint的最值(值域)．（2）形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sinx，将函数y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．（3）对于形如y＝asinx(或y＝acosx)的函数的最值还要注意对a的讨论．考点一：求三角函数的最小正周期例1．函数的最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，则，即函数的最小正周期为，故选：C.【变式训练1】函数的最小正周期为________.【答案】/【解析】函数的最小正周期.故答案为：.【变式训练2】（多选）下列函数中，是周期函数的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】对于A，，的最小正周期为；对于B，，的最小正周期为；对于C，，的最小正周期为；对于D，∵，∴函数图象关于轴对称，不具有奇偶性，故错误.故选：ABC考点二：三角函数周期的应用例2．设为实数，函数的最小正周期为，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，则，故选:.【变式训练1】设，则__________.【答案】【解析】，，，，，，的周期为4，且，所以.故答案为：【变式训练2】已知，则____________.【答案】【解析】函数的最小正周期为，当时，，，，，，，所以，，，因此，.故答案为：.考点三：正、余弦函数的奇偶性问题例3．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）函数为奇函数；（2）函数为非奇非偶函数；（3）函数既是奇函数又是偶函数【解析】（1）函数的定义域为R,故，故函数为奇函数（2）函数定义域为,不关于原点中心对称，故函数为非奇非偶函数（3）由，得函数定义域为，关于原点中心对称，此时，则有，且故函数既是奇函数又是偶函数【变式训练1】已知函数为偶函数，则的取值可以为（）A．B．C．D．0【答案】A【解析】因函数为偶函数，则，显然时，，即A满足，B，C，D都不满足.故选：A【变式训练2】若函数是奇函数，则的值可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若函数是奇函数，则，得故选：C考点四：正余弦函数的对称性例4．函数的一条对称轴是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，可得，令，可得.所以函数的一条对称轴是.故选:B.【变式训练1】设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为的最小正周期为，所以，所以，令，，解得，所以的对称轴为直线，当时，，其它各项均不符合，所以是函数的对称轴，故选：A．【变式训练2】已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为_____.【答案】【解析】因为函数的图象关于点中心对称，所以，所以，则当时，的最小值为.故答案为：考点五：正、余弦函数的单调性例5．函数的单调减区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令,所以，当，由于，故D正确，ABC均错误，故选：D【变式训练1】函数，的增区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，得.令，解得.所以函数的单调增区间为.因为，所以令，则得函数，的单调增区间为.故选：C.【变式训练2】已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求的单调递减区间．【答案】（1）；（2）【解析】（1），；（2）∵函数的单调递减区间为，令，，解得：，，∴函数的单调递减区间为．考点六：比较三角函数的大小例6．不求值比较大小（1）______；（2）______.【答案】<>【解析】由于，又函数在上单调递增，所以，即；由于函数在上单调递减，故.故答案为：<；>.【变式训练1】下列不等式中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，∴由余弦函数的单调性，得，即，因此A不正确；∵，，∴由正弦函数的单调性，得，即，因此B不正确；∵，，∴由正弦函数的单调性，得，即，因此C正确；∵，∴由正弦函数的单调性，得，因此D不正确.故选：C．【变式训练2】不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）与;（2）与．【答案】（1）；（2）【解析】（1），，，在区间上单调递增，所以.（2），，，在区间上单调递减，所以.考点七：求正、余弦函数的最值例7．函数最大值为（）A．2B．5C．8D．7【答案】B【解析】∵，∴，∴，即．∴函数最大值为5．故选：B．【变式训练1】函数，的值域是______.【答案】【解析】因为，所以，所以，即函数的值域为.故答案为：.【变式训练2】求函数的最大值和最小值，并求取得最大值和最小值的的集合．【答案】时函数取得最小值；时函数取得最大值.【解析】因为，所以，则，，即，所以，，令，解得，所以时函数取得最小值；令，解得，所以时函数取得最大值.1．函数的最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的最小正周期是：.故选：C.2．若，是函数两个相邻的最值点，则等于（）A．2B．C．1D．【答案】A【解析】因为，是函数两个相邻的最值点，所以，，故选：A3．已知函数，若函数是偶函数，则的最小正值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，又函数是偶函数，所以，所以当时，取得最小正值.故选：A.4．下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以周期为，不符合题意；对于，，，所以周期不是，不合题意；对于，周期为，但是在区间单调递减，不合题意；对于，周期为，当时，，在区间单调递增，符合题意.故选：B.5．函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【答案】B【解析】函数最小正周期为，故C、D错误；由，故函数为偶函数，A错误.故选：B6．，，的大小顺序是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦函数的单调性可知：在上单调递增，又易知，所以.故选：B7．下列选项中错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，在上单调递增，所以，故A正确；因为，所以比1距离正弦函数的对称轴近，所以，故B正确；因为，而，函数在上单调递增，所以，故C正确；因为，而，由正弦函数的单调性可知，故D错误.故选：D8．函数的图象的对称轴方程是______（）．【答案】【解析】令，解得，即函数的图象的对称轴方程是，故答案为：9．若是奇函数，则_________.【答案】/【解析】由题设且，故，，又，故有.故答案为：10．已知,则_________________.【答案】【解析】由题意，求值，，，，，，，……可知的值具有周期性，则原式故答案为：11．已知函数．（1）求的对称中心和单调递增区间；（2）求在区间上的最值．【答案】（1）对称中心为，；单调增区间为，（2）最大值为，最小值为【解析】（1）令，，则，．所以的对称中心为，由，解得，所以的单调增区间为，（2）令，由知，所以要求在区间上的最值，即求在上的最值，当时，，当时，，所以，．12．已知函数的最小值为．（1）求的值；（2）求的单调递减区间；（3）求在上的值域．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1），，解得：.（2）由（1）得：，令，解得：，∴的单调递减区间为.（3）当时，，，，即在上的值域为.1．下列函数中周期为，且为偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A：为周期为的偶函数，故A错误；对于B：为周期为的奇函数，故B错误；对于C：为周期为的偶函数，故C正确；对于D：为周期为的偶函数，故D错误；故选：C2．函数的值域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的定义域为R，，因此，所以函数的值域为.故选：A3．对于函数，下列选项中正确的（）A．在上是递增的B．的图象关于原点对称C．的最小正周期为D．的最大值为2【答案】B【解析】因为函数在上是递减的，所以在是递减的，故A错误；易知函数的定义域为R，因为，所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，故B正确；的最小正周期为，故C错误；因为函数的定义域为R，所以的最大值为1，故D错误．故选：B4．函数y＝sin2xsinx+1（x∈R）的值域是（）A．[，3]B．[1，2]C．[1，3]D．[，3]【答案】A【解析】令sinx＝t，则y＝t2t+1＝（t）2+，t∈[1，1]，由二次函数性质，当t＝时，y取得最小值，当t＝1时，y取得最大值3，∴y∈[，3]．故选：A．5．（多选）下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】因为，且函数在上单调递增，则，故选项A错误；因为，且函数在上单调递减，则，即，故选项B正确；因为，且函数在上单调递减，则，故选项C错误；因为，且函数在上单调递减，则，故选项D正确；故选：BD6．函数的最小正周期是______.【答案】1【解析】的最小正周期是.故答案为：17．已知函数，则______．【答案】1【解析】，函数周期是4，.故答案为：18．函数y＝sinx在[0,2π]上的单调递减区间为________，最大值为________.【答案】1【解析】因函数y＝sinx在，上单调递减，则y＝sinx在[0,2π]上的单调递减区间为；当时，y＝sin