初升高数学暑假衔接（人教版）第07讲 基本不等式（教师版）

第07讲基本不等式1．了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念；2．理解基本不等式的代数证法和几何证法；严谨规范表达不等式证明过程；3．熟练地掌握基本不等式及其不变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最大（小）值，证明简单的不等式；4．会应用基本不等式模型解决一些简单的实际问题。一、基本不等式的概念1、两个不等式（1）重要不等式：,（当且仅当时取号）.常见变形公式：、（2）基本不等式：,（当且仅当时取到等号）.常见变形公式：；【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、由公式和引申出的常用结论①（同号）；②（异号）；③或二、基本不等式的证明1、法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）2、法二：代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.三、基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.四、利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.2、积定和最小，和定积最大（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为eq\f(s2,4).（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2eq\r(p).考点一：对基本不等式的理解例1．不等式中，等号成立的条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立，故选：.【变式训练】（多选）已知a，，且，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】对于A，因为，故当时，不等式不成立，故A不正确；对于B，因为，所以恒成立，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，因为，所以，当时满足，但，此时，故D不正确.故选：BC.考点二：利用基本不等式比较大小例2．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】、为互不相等的正实数，则，所以，，时，，所以．故选：A．【变式训练】若，，，则，，2ab，中最大的一个是______．【答案】/【解析】，，，则，，，综上所述：最大的一个是.故答案为：考点三：利用基本不等式求和的最小值例3．若，则的最值情况是（）A．有最大值B．有最小值6C．有最大值D．有最小值2【答案】B【解析】若，则，当且仅当即等号成立，所以若时，有最小值为6，无最大值.故选：B.【变式训练】若，且，求的最小值．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．考点四：利用基本不等式求积的最大值例4．已知，则当取最大值时，的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得，则，当且仅当，即时取等号，所以时，取得最大值.故选：B.【变式训练】若，，且，则的最大值为（）A．5B．6C．8D．9【答案】D【解析】因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为9.故选:D.考点五：利用基本不等式证明不等式例5．已知，，且，求证：.【答案】证明见解析【解析】因为，，，所以，当且仅当，即时等号成立.故原题得证.【变式训练】已知，，，求证：.【答案】证明见解析【解析】∵，，，∴，当且仅当，即时，等号成立，同理：，，当且仅当，时，等号成立，以上三式相加得：，当且当且仅当时，等号成立，所以.考点六：利用基本不等式解决实际问题例6．用长度为20米的篱笆围成一矩形场地，则矩形的最大面积为__________．【答案】【解析】设矩形场地的长为米，则矩形的宽为米，且，所以矩形的面积为平方米，因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以矩形的最大面积为平方米.故答案为：平方米.【变式训练】如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．（1）若，求x的取值范围；（2）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．【答案】（1）；（2），【解析】（1）由矩形周长为，可知，设，则∵，∴．在中，，即，得，由题意，，即，解得，由得，，∴，即x的取值范围是．（2）因为，．化简得．∵，∴，当且仅当，即时，，.1．不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（）A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x<2y【答案】B【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即.故选：B.2．下列不等式中等号可以取到的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.故选：C.3．若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为正实数、满足，则，可得，当且仅当时，即当时，等号成立.故选：A.4．已知正实数，则“”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】根据基本不等式可得，即，可得，所以充分性不成立；若，可令满足，此时；即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D5．的最小值等于（）A．3B．C．2D．无最小值【答案】A【解析】因为，则，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值等于.故选：A6．已知a、b为正实数，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为a、b为正实数，所以，当且仅当时，等号成立，，所以，当且仅当时，等号成立，综上：.故选：B7．（多选）下列命题中正确的是（）A．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立B．若a≠0，则a＋≥2＝4C．若a，b∈R，则ab≤D．若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64【答案】CD【解析】对于A，当，时，才能成立，A错误；对于B，当时才能使用基本不等式求最小值，B错误；对于C，因为，所以，即，C正确；对于D，，，所以，D正确.故选：CD.8．（多选）已知正数满足，则下列选项正确的是（）A．的最小值是2B．的最大值是1C．的最小值是4D．的最大值是2【答案】AB【解析】因为正数满足，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2，故A正确；因为正数满足，所以，当且仅当时，等号成立，等号成立，所以的最大值是1，故B正确；由，得，当且仅当时，等号成立，等号成立，所以的最小值是,故C错误；，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故D错误；故选：AB.9．（多选）若，且，则在四个数中正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由于，则，又，所以，又，即.故选：ABD10．已知.（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的最小值.【答案】（1）16；（2）【解析】（1）当时，，即，即，所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为16.（2）当时，，即，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.11．（1）已知，，，求证：；（2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1），当且仅当时等号成立，所以.（2），当且仅当时等号成立，因为a，b，c为不全相等的正实数，所以.12．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．（1）求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；（2）高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？【答案】（1）；（2）6万元【解析】（1）．因为，所以（2）因为．又因为，所以，所以（当且仅当时取“”）所以即当万元时，取最大值30万元．1．若，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，则，又，所以.故选：B.2．已知，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，当且仅当，即时取等号.所以的最大值为.故选：C3．已知，则的最小值是（）A．3B．4C．5D．2【答案】B【解析】由于，故，所以，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，故选：B4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（）A．20B．25C．28D．30【答案】D【解析】设一年的总运费与总存储费用之和为，显然，则，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：D5．已知，且.则下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】当时，，所以BD选项错误.A，，当且仅当时，等号成立，A正确.C，，，当且仅当时，等号成立，C正确.故选：AC6．（多选）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（）A．的最小值为3B．的最大值为1C．的最小值为2D．的最小值为2【答案】ABD【解析】因为正实数m、n，所以，当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；由，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.故选：ABD7．已知，则与的大小关系是____________【答案】.【解析】∵，∴，，∴，当且仅当，即时取等号，故答案为：.8．已知，，，则的最大值为______．【答案】/2.25【解析】因为，，，所以，所以，当且仅当时取“=”故答案为：.9．已知正数，满足，则的最小值为___________．【答案】【解析】因为正数，满足，则，当且仅当时等号成立.所以的最小值为，故答案为：10．证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1），当且仅当时，即时，等号成立.（2），当且仅当时取等号，此时，显然的值不存在，所以等号不成立，所以.11．利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：【答案】证明见解析【解析】都是正数，（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号），即.12．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最