新高考2025届高考数学二轮复习专题突破精练第4讲函数最值的灵活运用教师版

第4讲函数最值的敏捷运用一．选择题（共13小题）1．（2024秋•北仑区校级期中）设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，．那么函数的值域是A．，1， B．，0， C．， D．，【解答】解：，，，又，，当时，，，，，，当时，，当时，，，，，．故函数的值域，．故选：．2．（2024•齐齐哈尔三模）当时，，则的取值范围是A．， B．， C．， D．【解答】解：由题意可得：当时，结合可得：，不满意题意；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，满意题意时有：，即：．求解不等式可得实数的取值范围是：．故选：．3．（2024•西湖区校级模拟）已知，设函数和的零点分别为，和，，则的最小值是A． B． C．1 D．2【解答】解：函数的图象如图：设，，，可得，，又设，可得，，，由，由，可得，在递减，可得，，即有，，，，可得，，即有所求最小值为1．故选：．4．（2024春•桃城区校级月考）已知函数若对随意的恒成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：作出函数的图象，以及函数的图象，由的图象关于直线对称，对随意的恒成立，即为的图象在的图象的下方，由图象可得时，的图象在的图象的下方，故选：．5．（2024•临沂一模）高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，．已知，则函数的值域为A． B．， C．，， D．，0，【解答】解：，，，，，或0，的值域为，．故选：．6．（2024秋•蚌山区校级期中）函数值域为A． B．， C． D．，【解答】解：设，，则，，原函数的值域为：．故选：．7．（2024•湖北模拟）已知，则的值域是A．， B．， C．， D．，【解答】解：①当时，，，，，；②当时，，，的值域为，．故选：．8．（2024秋•松山区校级月考）函数的值域为，则实数的取值范围是A．，， B．，， C． D．，【解答】解：的值域为，函数的值域真包含，△，解得或，实数的取值范围是：，，．故选：．9．（2024秋•金水区校级期中）定义运算为：，如，则函数且的值域为A．， B．， C．， D．，【解答】解：时，，此时；时，，此时，的值域为，．故选：．10．（2024秋•沈阳期末）已知函数的值域为，那么实数的取值范围是A．， B．， C． D．，【解答】解：当时，，的值域为，，解得，．故选：．11．（2024秋•浙江月考）设为不超过的最大整数，定义集合，，的元素个数为有限集合，，，的“容量”，记为（A），则使函数，，的值域满意（A）的正整数的值为A．1000 B．1024 C．2024 D．2024【解答】解：当，时，，则，，所以，函数在区间，上的值域为，，，，从而，，，，，，所以，（A），解得，故选：．12．（2024春•张家口月考）设，用表示不超过的最大整数，已知函数，，则函数的值域为A． B．， C．， D．【解答】解：因为，所以，则，则函数的值域，．故选：．13．（2024春•翠屏区校级期中）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是A．， B． C． D．，【解答】解：函数的值域为，，当时，，即．令，则，故在上，，单调递增；在上，，单调递减，故当时，取得极大值为，，故选：．二．多选题（共2小题）14．（2024秋•仓山区校级期中）高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．下列命题是真命题的是A．， B．，， C．函数的值域为， D．若，使得，，，，同时成立，则正整数的最大值是5【解答】解：对于是整数，若，是整数，所以，冲突，故错误；对于，，，，，，，所以，，所以，故正确；对于：由定义，所以，所以函数的值域为，，故正确；对于：若，使得，，，同时成立，则，，，，．，因为，若，则不存在满意，，所以只有时，存在，满意题意．故选：．15．（2024秋•江苏期末）若在区间，上有恒成立，则称为在区间，上的下界，且下界的最大值称为在区间，上的下确界，简记为．已知是上的奇函数，且，当，时，有．若，，不等式恒成立，下列结论中正确的是A．直线是函数图象的一条对称轴 B．若，则的最大值为4 C．当，时， D．若，则，是不等式恒成立的充分不必要条件【解答】解：因为是上的奇函数，所以，当，时，有，所以，时，有，因为，所以，所以的周期为16，且，所以关于对称，图像如图所示：对于：可知是函数的对称中心，直线不是对称轴，故错误；对于：若时，，，，即，故正确；对于：当，时，函数经过，，设解析式为，所以，解得，即，当，时，函数经过，，设解析式为，所以，解得，即，所以当，时，，因为的周期为16，当，时，，故正确；对于：若，即恒成立，当时，，故存在冲突，当时，也存在冲突，因此，，上考虑，此时，所以，即在，上的最小值大于等于，在，上，的范围为，，所以，解得，，因为，，，所以，是，的充分不必要条件，故正确．故选：．三．填空题（共14小题）16．（2024秋•芦淞区校级期中）若用和表示的最大值和最小值，已知函数，则1．【解答】解：因为，，所以，当且仅当时，函数，由此可得函数在上为减函数，在上为增函数，又因为（1），（3），所以，所以，故答案为：1．17．（2024秋•丽水期中）定义，设函数，，则（1）4；的最大值为．【解答】解：由得，或；解得，，据题意得，，（1），或时，，则；时，，的最大值为5．故答案为：4，5．18．（2024•普陀区二模）设是直线上的动点，若，则的最大值为．【解答】解：，设，则，，，，，则，，，设，在，上恒成立，，在，上单调递增，在，上单调递减，又在，上单调递减，当时，的最大值为，的最大值为，故答案为：．19．（2024秋•福建期中）若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为4．【解答】解：由题意，设，则是上的奇函数．的最大值和最小值互为相反数，和为0，那么的最大值，最小值，，则，解得，故答案为：4．20．（2024秋•和平区校级期中）函数的最大值为．【解答】解：由，得．函数的定义域为，，函数在，上为增函数，函数在，上为增函数，函数在，上为增函数，当时，函数有最大值为．故答案为：．21．（2024秋•杨浦区校级月考）已知函数的定义域为，对任何实数，，都有，且函数的最大值为，最小值为，则值为6．【解答】解：的定义域为，对任何实数，，都有，令得，，令得，，，是上的奇函数，且函数是上的奇函数，是上的奇函数，依据奇函数最大值和最小值互为相反数得，，．故答案为：6．22．（2024秋•铜陵期末）函数在，上的最大值为2024．【解答】解：因为函数，和函数在，上均为减函数，所以函数数在，上为减函数，所以当时，函数有最大值为．故答案为：2024．23．（2024秋•镇江期中）高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域是，．【解答】解：，，则，可得，，当，时，，当，时，，函数的值域是，．故答案为：，．24．（2024秋•屯溪区校级月考）若函数的值域为，则实数的取值范围是，，．【解答】解：函数的值域为，，且，当时，，故只需即可，解不等式可得，综上可得的取值范围为：且．故答案为：，，．25．（2017秋•十堰期末）已知函数．其中表示不超过的最大整数，例如，．（1）函数是非奇非偶函数（奇偶性）；（2）函数的值域是．【解答】解：（1），（1）函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）由题意得当，时，函数是减函数，，得；当时，函数是增函数，（1），得；当时，．综上得函数的值域为．故答案为：（1）非奇非偶（2）26．若函数的值域是，，则函数的值域为，．【解答】解：因为函数的值域是，，所以函数的值域为，，则的值域为，，所以函数的值域为，．故答案为：，．27．（2024春•南山区校级期中）规定：若函数在定义域，上的值域是，，则称该函数为“微微笑”函数．已知函数且为“微微笑”函数，则的取值范围是．【解答】解：由题意可得，函数在定义域，上的值域为，，故方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，所以有两个不相等的实数根，令，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，函数取得最大值（e），又当时，，（1），所以，又因为有两个不相等的实数根，所以，解得，则的取值范围是．故答案为：．28．（2024秋•西城区校级月考）定义函数f（x）＝[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.3]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，[2]＝2．当x∈[0，n）（n∈N*）时，f（x）的值域为An．（1）＝10．（2）集合A10中元素的个数为46．【解答】解：（1）则＝；（2）由题意可知，，则x，所以x[x]]在各个区间中的元素个数为1，1，2，3，4，•••，n﹣1，设集合An中元素的个数为an，则，故集合A10中元素的个数为．故答案为：（1）10；（2）46．29．（2024秋•高安市校级期中）函数定义域为，若满意①在内是单调函数；②存在，使在，上的值域为，，，那么就称为“域倍函数”，若函数，是“域2倍函数”，则的取值范围为，．【解答】解：依据函数，是增函数，由“域倍函数”定义有，，即方程有两个不同实根，即方程有两个不同实根．令，则有两个不同正实根，，解得，故答案为：，．四．解答题（共2小题）30．（2016•浙江）已知，函数，，其中．（Ⅰ）求使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）求的最小值（a）；求在，上的最大值（a）．【解答】解：（Ⅰ）由可知，，由，故时，；当时，，则等式成立