四川省绵阳市2024-2025学年高二数学上学期期中试题文含解析

Page14四川省绵阳市2024-2025学年高二数学上学期期中考试（文）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.留意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.2.选择题运用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.第I卷（选择题）一､选择题1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.【详解】依题意，直线的斜率为，对应的倾斜角为.故选：D【点睛】本小题主要考查直线倾斜角，属于基础题.2.已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝（）A.2 B.－2 C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用直线垂直公式计算得到答案.【详解】因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.故选：【点睛】本题考查了依据直线垂直计算参数，属于简洁题.3.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1)【答案】D【解析】【分析】要利用条件椭圆焦点在轴上，应将椭圆的方程化为标准方程，由椭圆的焦点在轴上，可得，进而可解得实数的取值范围．【详解】因为方程，即表示焦点在轴上的椭圆，所以，即，所以实数的取值范围是．故选：D．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，要推断椭圆焦点的位置，应将椭圆的方程化为标准方程．对于椭圆，①表示焦点在x轴上的椭圆；②表示焦点在y轴上的椭圆．；③表示椭圆．4.已知直线的斜率为，在轴上的截距为另一条直线的斜率的倒数，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知直线的斜率可得直线在轴上的截距，依据直线斜截式方程可得结果.【详解】直线的斜率为，直线在轴上的截距为，直线的方程为.故选：A.5.已知直线，经过椭圆的上顶点和右焦点，则椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直线与坐标轴的交点，得，由求得后可得椭圆方程．【详解】直线与坐标轴交点为，，直线经过椭圆的上顶点和右焦点，所以，，所以.所以椭圆方程为：.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，依据椭圆的几何性质求出后得椭圆方程是最基本的方法．6.抛物线的焦点到直线的距离（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由抛物线可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由抛物线可得焦点坐标为，依据点到直线的距离公式，可得，即抛物线的焦点到直线的距离为.故选：B.7.已知抛物线的焦点为，，是上一点，，则（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】依据抛物线的几何性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离即可.【详解】由抛物线方程，得p=1，准线方程为，点A到焦点F的距离等于到准线的距离，即，解得；故选：A.8.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可得，即，由此即可求出离心率.【详解】直线的斜率为，由题意，得，所以，所以，所以双曲线的离心率.故选：D.9.若点是抛物线上一点，且点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，则的中点到轴距离等于（）A.1 B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离建立等量关系，求出点横坐标，再求出的中点横坐标，则的中点到轴距离可求.【详解】解：抛物线的准线方程为，，由抛物线的定义，得点到焦点的距离等于点到准线的距离，则，解得所以的中点的横坐标为，所以的中点到轴距离等于.故选：B.10.若圆心坐标为的圆被直线截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据题意，设圆的半径为，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】依据题意，设圆的半径为，圆心坐标为，到直线的距离，该圆被直线截得的弦长为，则有，则圆的方程为，变形可得，故选：A.11.已知圆与圆有3条公切线，则（）A. B.或 C. D.或【答案】B【解析】【分析】由两圆有3条公切线，可知两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，求解即可.【详解】由题意，圆与圆外切，所以，即，解得或.【点睛】本题考查了两圆外切的性质，考查了计算实力，属于基础题.12.已知抛物线的准线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于P、Q两点，则（是椭圆的右焦点）的周长为（）A. B.24 C. D.16【答案】D【解析】【分析】由抛物线的准线过椭圆的左焦点求出，得椭圆的长轴长，而的周长等于两倍的长轴长．【详解】由题意抛物线准线为，，∴，解得．∴，，∴的周长为．故选：D．【点睛】本题考查抛物线准线方程，考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，解题关键是求出值．第II卷（非选择题）二､填空题13.空间直角坐标系中，设A（﹣1，2，﹣3），B（﹣1，0，2），点M和点A关于y轴对称，则|BM|＝____．【答案】3【解析】【分析】利用对称性先求出点，再利用两点间距离公式能求出的值．【详解】解：空间直角坐标系中，设，2，，，0，，点和点关于轴对称，，2，，．故答案为3．【点睛】本题考查空间中点点对称及两点间距离的求法，是基础题．14.不论k为何实数，直线通过一个定点，这个定点的坐标是______.【答案】(2,3)【解析】【详解】将直线方程变形为，它表示过两直线和的交点的直线系，解方程组，得上述直线恒过定点，故答案为.【方法点睛】本题主要考查待定直线过定点问题.属于中档题.探究曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，依据求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以依据直线的各种形式的标准方程找出定点).②从特别状况入手，先探求定点，再证明与变量无关.15.如图，已知为椭圆的左焦点，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为椭圆上的一点，当，为椭圆的中心）时，则椭圆的离心率为___________.【答案】【解析】【分析】依据所给的条件，用三角函数或向量表达两直线平行即可.【详解】依题意，，，，，∵，，即，，；故答案为：.16.某桥的桥洞呈抛物线形(如图)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为___________米（精确到0.1米）【答案】【解析】【分析】首先依据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程，依据抛物线上的点确定方程，再通过求出点的坐标，即可得到答案.【详解】如图建立空间直角坐标系：设抛物线为，由题知：抛物线过，.所以，解得.即抛物线方程为.当时，.所以桥洞顶部距水面高度约为米.故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线的应用，同时考查了待定系数法求方程，属于中档题.三､解答题17.已知抛物线的焦点为.（1）求.（2）斜率为1的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.【答案】（1）4；（2）16.【解析】【分析】（1）由题可得，即可求出；（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可求出.【详解】（1），则由抛物线性质得，∴，∴，即的标准方程是.（2）由题意得，抛物线的焦点为，∴的方程为，，，，，，∴.综上所述，线段长度为16.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.18.已知圆的圆心在轴上，且经过点，.（1）求线段的垂直平分线方程；（2）求圆的标准方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得的中点为，结合，求得，进而求得线段的垂直平分线的方程；（2）设圆的标准方程为，依据圆的性质得到圆心在直线上，得到，进而求得圆的半径，即可求得圆的方程.【小问1详解】解：由点，，可得的中点为，且，由圆的性质得，所以，可得，所以线段的垂直平分线的方程是，即.【小问2详解】解：设圆的标准方程为，其中，半径为，由圆的性质，可得圆心在直线上，所以，即圆心，又由，所以圆的标准方程为.19.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的圆心坐标为，其中且，轴､轴被圆截得的弦分别为，.（1）求证：的面积为定值，并求出这个定值；（2）设直线与圆交于，两点，若，求圆的标准方程.【答案】（1）证明见解析，定值为4（2）【解析】【分析】(1)由题意可知圆C必定是经过原点的，算出点A和B的坐标即可；(2)考虑圆C过原点的几何关系，推断所得解的合理性，即可算出圆的方程.【小问1详解】依题意作图如下：由题可知为中点，因为点的坐标为，由题意可知圆C必定经过原点，即圆的方程为：，所以，所以，所以的面积为定值，该定值为4；【小问2详解】因为，是等腰三角形，圆C是其外接圆，所以线段的中垂线经过点与点，直线的方程，所以，所以或1，当时，点的坐标为，圆的半径，所以圆心到直线的距离为：，即直线与圆相离，故不符合题意，舍去；当时，点的坐标为，圆的半径，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，故符合题意，此时圆的标准方程为；综上，的面积为4，圆的标准方程为.20.已知直线的方程为，直线的方程为.（1）设直线与的交点为，求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；（2）设直线的方程为，若直线与，不能构成三角形，求实数的取值的集合.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）通过联立和的方程求得点的坐标，对直线是否过原点进行分类探讨，由此求得直线的方程.（2）对于、位置关系进行分类探讨，由此求得的值.【小问1详解】由，解得，所以点的坐标为.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，可设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为.当直线在两坐标轴上的截距均为零时，可设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.【小问2详解】当直线与直线平行时不能构成三角形，此时，解得；当直线与直线平行时不能构成三角形，此时，解得；当直线过直线与的交点时不能构成三角形，此时，解得.综上，或或2，故实数的取值的集合为.21.设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【答案】(1)y=x–1,(2)或．【解析】【详解】分析：(1)依据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再依据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最终写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或．点睛：确定圆的方程方法(1)干脆法：依据圆几何性质，干脆求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．22.已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据椭圆的简洁几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，依据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再依据△为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再依据点到直线距离公式求高，即可计算出面积．【详解】（1）由已知得，，解得，又，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，由得，①设