2024-2025学年高三数学新高考一轮复习专题10.3圆的方程含解析

Page110.3圆的方程课标要求考情分析核心素养1.驾驭确定圆的几何要素．2.驾驭圆的标准方程与一般方程．该专题一般不单独命题，但与其它学问结合考查数学运算直观想象逻辑推理1.圆的标准方程(1)方程x-a2+y-b2=r2r>0,表示圆心为a,b,半径为r的圆的标准方程.

(2)2.圆的一般方程方程x2+y(1)当D2+E2-4F>0时,方程表示以-D2,-E2为圆心,以D2+1.直径式方程:以Ax1,y1,Bx2,y21.【P80T14】在等腰梯形ABCD中,AD // BC,A(-3,1)，B(-2,-6)，C(6,-2),则△ACD外接圆的标准方程是(

)A.x2B.x-122D.(x-12.【P63T4】已知定点B(3,0)，点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，则线段ABA.(x-1)2+y ​2=1 B.(x-2考点一圆的标准方程与一般方程【方法储备】1.求圆的方程时，应依据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：（1）几何法，通过探讨圆的性质进而求出圆的基本量，常用到的三特性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③相切两圆的连心线经过切点；（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解，若由已知条件易求得圆心坐标、半径或须要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；假如已知条件与圆心坐标、半径无干脆关系，常选用一般方程．2.确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：3.解决圆问题时，可将一般方程转化为标准方程，快速确定圆心与半径.【典例精讲】例1.(2024·全国乙卷理科)过四点(0,0)，(4,0)，(-1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为

．【名师点睛】圆过其中三点共有四种状况，解题关键是三点中的两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的距离为半径，每种状况逐一求解即可．【靶向训练】练1-1(2024·山东省模拟)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为

．练1-2(2024·吉林省吉林市模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是A.(x-2)2+(y考点二关于点、直线对称的圆的方程【方法储备】1.有关圆的对称：圆的大小不变，即不变，只变更圆的位置，只要利用有关点的对称问题的方法确定圆心的位置即可.【典例精讲】例2.(2024·河南省郑州市模拟)圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0A.( x+3 )2+( y-2)2=1【名师点睛】利用点关于直线对称,点与对称点连线的斜率与直线的斜率之积为-1,点与对称点的中点在对称轴上,【靶向训练】练2-1(2024·江苏省南京市模拟)圆C：x2+y2-2x-2y+1=0关于直线l：x-y=2对称的圆的方程为

．练2-2(2024·江苏省苏州市期中)圆C:x-32+y+62=81关于点A-1,2考点三与圆有关的轨迹问题【方法储备】1.与圆有关的轨迹问题的常用解法：【典例精讲】例3.(2024·山东省菏泽市模拟)已知两条直线l1：2x-3y+2=0，l2：3x-2y+3=0，有一动圆(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，A.(y-1)2-x 2=65【名师点睛】主要考查圆有关的轨迹问题以及点到直线的距离公式.分析题意，设动圆圆心P为(x,y)，半径为r，则P到l1的距离d1=|2x-3y+2|13，P到l2的距离d2=|3x-2y+3|13;再结合已知l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24，依据勾股定理和垂径定理可得2r【靶向训练】练3-1(2024·广东省茂名市联考)已知圆C:x-12+y-12=1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且AM=2，则点A.y2=4x B.x2+练3-2(2024·重庆市联考)已知点P在圆C：x2+y2+2x-4y+1=0上运动，点Q(3,0)，线段PQ(1)求曲线Γ的方程；(2)过点N(2,3)是否存在直线l与曲线Γ有且只有一个交点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．核心素养系列直观想象、逻辑推理——阿波罗尼斯圆【方法储备】已知平面上两定点A、B，则全部满意PAPB=λ（λ≠1）的点P的轨迹是一个以定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径例4.(2024·湖南省益阳市期末)阿波罗尼斯是古希腊闻名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的探讨，主要探讨成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的探讨成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比|MQ||MP|=λ(λ>0,λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1，其中，定点Q为x轴上一点，定点P的坐标为(-13,0)，A.10 B.11 C.15 D.17【名师点睛】以闻名的阿波罗尼斯圆为背景，提升数学逻辑思维、解题策略等数学核心素养，在视察中提取信息，分析问题。【靶向训练】练4-1(2024·浙江省模拟)波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0，且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，现有△ABC，AC=4，sinC=2sinA，则当△练4-2(2024·山东省菏泽市模拟.多选)古希腊闻名数学家阿波罗尼斯发觉：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(4,0)，点 P 满意|PA||PB|=12.设点P的轨迹为A.轨迹C的方程为x+42+y2=9

B.在x轴上存在异于A,B的两点D,E使得|PD||PE|=12

C.当A,B,P三点不共线时，射线PO是

易错点1．忽视圆的方程须要满意的条件例5.(2024·天津市市模拟)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，则实数k的取值范围是答案解析【教材改编】1.【解析】易知△ACD的外接圆即为等腰梯形ABCD的外接圆，故圆心E在线段BC的中垂线l上，

因为kBC=-2+66+2=12，所以kl=-2可得直线l的方程为y=-2x，

设圆心坐标为G(a,-2a)，则GA=GB，即(a+3)2+(-2a-1)2=(a+2)2+(-2a+6)2，解得a=1，2.【解析】设点M的坐标为(x,y)，点A(m,n)，则(m+1)2+n2=4．

∵M是线段AB上的中点，∴(x-m,y-n)=(3-x,-y)，∴m=2x-3，n=2y，

∵(m+1)2【考点探究】例1.【解析】设点A(0,0)，B(4,0)，C(-1,1)，D(4,2)．

(1)若圆过A、B、C三圆圆心在直线x=2，设圆心坐标为(2,a)，

则4+a2=9+(a-1)2⇒a=3，r=4+a2=13，所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13;

(2)若圆过A、B、D三点，同(1)设圆心坐标为(2,a)，

则4+a2=4+(a-2)2⇒a=1，r=4+a2=5，所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5;

(3)若圆过A、C、D三点，则线段AC练1-1.【解析】法一：设圆C方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，

圆心(a,b)到直线x-y-1=0的距离d=a-b-12=r，

①

又圆C过点A(4,1)，B(2,1)，∴(4-a)2+(1-b)2=r2，②

(2-a)2+(1-b)2=r2，③

由①②③，得a=3，∴AB中垂线方程为x=3．

又∵圆C与直线x-y-1=0，相切于点B(2,1)，

所以圆心在过点B且与x-y-1=0垂直的直线y-1=-(x-2)即x+y-3=0上．

由x=3x+y-3=0得圆心C(3,0)，∴r=CA=3-42+练1-2.【解析】设圆心坐标为(a,b)(a>0,b>0)，

由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=|4a-3b|5=r=1，化简得|4a-3b|=5①，

又圆与x轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1(舍去)，

把b=1代入①得4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-12(舍去)，∴圆心坐标为(2,1)，例2.【解析】圆x2+y2-2x-1=0化为标准方程为x-12+y2=2，圆心为1,0，半径为2，

设圆心1,0关于直线2x-y+3=0的对称点为a,b，则ba-1·2=-12·1+a2-b2练2-1.【解析】∵圆C：x2+y2-2x-2y+1=0转化为标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1，

所以其圆心为：(1,1)，r=1

设(1,1)关于直线x-y-2=0对称点为：(a,b)

则有a+12-练2-2.【解析】圆C:x-32+y+62=81的圆心为C(3,-6)，半径为9

圆心C(3,-6)关于点A(-1,  2)中心对称点的坐标为C'(-5,10)，

又半径为例3.【解析】设动圆圆心P为(x,y)，半径为r，则P到l1的距离d1=|2x-3y+2|13，P到l2的距离d2=|3x-2y+3|13，

∵l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24，∴2r2-d12=26，练3-1.【解析】如图设Ax,y，圆心为C1,1．则MC⊥MA，且MC=1，

又因为AM=2，所以AC=|AM|2+|MC|2=5，

即AC2练3-2.【解析】(1)设M(x,y)，则P(2x-3,2y)，

∵P在圆C上，∴(2x-3)2+4y2+2(2x-3)-8y+1=0，

整理得：(x-1)2+(y-1)2=1，∴曲线Γ的方程为(x-1)2+(y-1)2=1则直线l与曲线Γ相切，

当l斜率不存在时，l：x=2符合条件;

当l斜率存在时，设直线l方程为y=k(x-2)+3，则|-k+3-1|1+k2=1，解得k=34，

∴满意条件的直线l存在，直线l【素养提升】例4.【解析】由题意可得圆x2+y2=1是关于P，Q的阿波罗尼斯圆，且λ=3，则|MQ||MP|=3，

设点Q的坐标为(m,n)，M点坐标(x,y)，则(x-m)2+(y-n)2(x+13)2+y2=3，

整理得，x2+y2+6+2m8x+练4-1.【解析】法1：在△ABC中，sinC=2sinA，由正弦定理得ca=2．设AC边上的高为h>0．

由余弦定理可得cosB=a2+4a2-162×a×2a

=54-4a2，

由面积公式可得S△ABC=12×a×2a×sinB=12×4×h.即S△ABC=a2sinB=2h，

因为sin2B+cos2B=1，即有54-4a22+2ha22=1，整理可得：4h2=-916a4+10a2-16，

由二次函数性质得当a2=809时，4h2取最大值，同时△ABC的面积最大，此时h=故答案为

83练4-2.【解析】设点Px,y，则PA即x+42+y2=16，故A错误；

假设在x轴上存在异于A，B的两定点D