2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第7节二项分布超几何分布与正态分布教师用书

第七节二项分布、超几何分布与正态分布考试要求：1．驾驭二项分布和超几何分布的概念．2．了解正态分布的含义．一、教材概念·结论·性质重现1．n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．n重伯努利试验具有如下共同特征：(1)同一个伯努利试验重复做n次．(2)各次试验的结果相互独立．(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事务A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事务A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X听从二项分布，记作X～B(n，二项分布与两点分布的联系由二项分布的定义可以发觉，两点分布是一种特别的二项分布，即n＝1时的二项分布．2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－3．超几何分布的期望E(X)＝nMN＝np(p为N超几何分布的特征(1)考察对象分两类．(2)已知各类对象的个数．(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体数X的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．4．正态分布(1)正态曲线函数f(x)＝1σ2πe-x-μ22σ2，x∈R，其中μ(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．③曲线在x＝μ处达到峰值1σ④曲线与x轴围成的面积为1．⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的改变而沿x轴平移，如图(1)所示．⑥当μ取定值时，正态曲线的形态由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图(2)所示．(3)正态分布的定义及表示若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝1σ2πe-x-μ22σ2，x∈R，则称随机变量X正态总体在三个特别区间内取值的概率值．①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827．②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．若X听从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1及3σ原则解题．二、基本技能·思想·活动阅历1．推断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事务A发生的次数的(2)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X听从超几何分布． (×)(3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X听从超几何分布． (√)(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一个球．若是白球，则取出来，若是黑球，则放回盒中，直到把白球全部取出来．设取到黑球的次数为X，则X听从超几何分布． (×)(5)二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项式(a＋b)n绽开式的通项，其中a＝p，b＝1－p． (×)(6)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差． (√)2．有一批谷类种子，假如每1粒种子发芽的概率为12A．38B．14C．1A解析：3粒种子中发芽的粒数听从二项分布X～B3，12，所以恰有2粒发芽的概率为C3．某班有48名同学，一次考试后的数学成果听从正态分布，平均分为80，标准差为10，则理论上在80分到90分的人数是()A．32B．16C．8D．20B解析：因为数学成果近似地听从正态分布N(80，102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.6827．依据正态曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是124．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽取n件产品，抽到的次品数的数学期望是()A．nB．(n－1)MNC．nMND．(nC解：设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽取n件产品，抽到的次品数X听从超几何分布即X～H(n，M，N)，所以抽到的次品数的数学期望值E(X)＝nMN5．已知随机变量ξ～B5，14，则P45512解析：随机变量ξ～B5，14，则P(ξ＝3)＝C53·6．已知随机变量X～N(1，62)，若P(X>0)＝0.8，则P(X≥2)＝________．0.2解析：随机变量X听从正态分布N(1，62)，所以正态曲线关于x＝1对称，所以P(x≥2)＝P(x≤0)＝1－P(x>0)＝0.2．考点1二项分布——基础性某公司聘请员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家看法不一样时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为12，复审能通过的概率为310(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．解：设“两位专家都同意通过”为事务A，“只有一位专家同意通过”为事务B，“通过复审”为事务C．(1)设“某应聘人员被录用”为事务D，则D＝A∪BC．因为P(A)＝12×12＝P(B)＝2×12×1P(C)＝310所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝25所以某应聘人员被录用的概率为25(2)依据题意，X＝0，1，2，3，4，且X～B4，Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0，1，2，3，4)．因为P(A0)＝C40×P(A1)＝C41×25P(A2)＝C42×P(A3)＝C43×25P(A4)＝C44×所以X的分布列为X01234P812162169616二项分布概率公式可以简化求概率的过程，但须要留意检查该概率模型是否满意公式P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事务A发生的概率是一个常数p．(2)n次试验不仅是在完全相同的状况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的．(3)该公式表示n次试验中事务A恰好发生了从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸得白球个数为X．若E(X)＝95，则m＝________，P(X254125解析：甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为X，则X～B3因为E(X)＝95，所以E(X)＝3×3m+3＝95所以P(X＝2)＝C32×35考点2超几何分布——应用性在心理学探讨中，常采纳对比试验的方法评价不同心理示意对人的影响，详细方法如下：将参与试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理示意，另一组接受乙种心理示意，通过对比这两组志愿者接受心理示意后的结果来评价两种心理示意的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理示意，另5人接受乙种心理示意．(1)求接受甲种心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理示意的女志愿者人数，求X的分布列．解：(1)记接受甲种心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的事务为M，则P(M)＝C84C(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝C65CP(X＝1)＝C64CP(X＝2)＝C63CP(X＝3)＝C62CP(X＝4)＝C61C因此X的分布列为X01234P151051(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征：①考查对象分两类．②已知各类对象的个数．③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．1．(多选题)在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球、4个白球，现从中任取4个小球．设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是()A．P(X＝1)＝8B．随机变量X听从二项分布C．随机变量X听从超几何分布D．E(X)＝8ACD解析：由题意知随机变量X听从超几何分布，故B错误，C正确．X的取值分别为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝C64C104＝114，P(P(X＝2)＝C42C62C104＝37P(X＝4)＝C44C所以E(X)＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×2．某中学德育处为了调查学生对“国安法”的关注状况，在全校组织了“国家平安知多少”的学问问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成果(百分制)如下：52，63，67，68，72，76，76，76，82，88，93，94．(1)写出该样本的中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成果在70分以上的人数；(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记ξ表示测试成果在80分以上的人数，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)由已知数据可得中位数为76，样本中70分以上的所占比例为812＝2故可估计该校测试成果在70分以上的约为3000×23(2)由题意可得ξ的可能取值为0，1，2，3，4．P(ξ＝0)＝C40C44C84＝170，P(ξ＝1)＝C41C43C84＝1670＝835，P(ξ＝2)＝C42C4所以ξ的分布列为ξ01234P181881E(ξ)＝0×170＋1×835＋2×1835＋3×8考点3正态分布——应用性(1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X听从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________．0.14解析：因为X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14．(2)(2024·重庆校级模拟)重庆合川桃片远近著名，某个品种的合川桃片是小袋装的，其质量听从正态分布N(100，0.01)(单位：g)．现抽取500袋样本，X表示抽取的桃片质量在(100，100.2]的袋数，则X约为______．(结果四舍五入保留整数)附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545．239解析：因为质量听从正态分布N(100，0.01)，所以μ＝100，σ＝0.1．因为P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，且μ＝100，σ＝0.1，所以P(99.8≤X≤100.2)≈0.9545，所以P(100＜X≤100.2)≈0.95452则抽取的桃片质量在(100，100.2)的袋数X听从二项分布，即X～B(500，0.47725)，则E(X)＝500×0.47725≈239．(2024·湖南模拟)扶贫期间，扶贫工作组从A地到B地修建了马路，脱贫后，为了了解A地到B地马路的交通通行状况，工作组调查了从A地到B地行经该马路的各种类别的机动车共4000辆，汇总行车速度后作出如图所示的频率分布直方图．(1)试依据频率分布直方图，求样本中的这4000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)．(2)由频率分布直方图可大致认为，该马路上机动车的行车速度Z听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取调查样本中4000辆机动车的平均车速和车速的方差s2(s2＝204.75)．①请估计该马路上10000辆机动车中车速高于84.8km/h的车辆数(精确到个位)；②现从经过该马路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于84.8km/h的车辆数为X，求X的数学期望．附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973，取204.75＝14.3．解：(1)由题意可知，x＝(45＋95)×0.1＋(55＋85)×0.15＋65×0.2＋75×0.3＝70.5．故样本中的这4000辆机动车的平均车速为70.5km/h．(2)由题意，Z听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝x＝70.5，σ2＝s2＝204.75，则σ＝14.3．①因为P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)＝P(56.2≤Z≤84.8)≈0.6827，所以P(Z>84.8)≈12所以车速高于84.8km/h的车辆数的估计值为0.15865×10000＝1586.5≈1587．②行车速度低于84.8km/h的概率为1－0.15865＝0.84135，又X～B(10，0.84135)，所以E(X)＝10×0.84135＝8.4135．课时质量评价(六十二)A组全考点巩固练1．某种病毒的潜藏期X(单位：日)近似听从正态分布N(7，σ2)．若P(X≤3)＝0.128，则可以估计潜藏期大于或等于11天的概率为()A．0.372B．0.256C．0.128D．0.744C解析：因为μ＝7，所以P(X≥11)＝P(X≤3)＝0.128．2．已知随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝1.2，D(ξ)＝0.96，则实数n的值为()A．4B．6C．8D．24B解析：由题意可得，E(ξ)＝np＝1.2①，D(ξ)＝np(1－p)＝0.96②，由①②可得，1－p＝0.8，所以p＝0.2，n＝6．3．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中随意选3个村，下列事务中概率等于67A．至少有1个深度贫困村B．有1个或2个深度贫困村C．有2个或3个深度贫困村D．恰有2个深度贫困村B解析：用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X听从超几何分布，所以P(X＝k)＝C3kC43-kC7P(X＝1)＝C42C31C73＝1835P(X＝3)＝C40C33C73＝135，所以P即有1个或2个深度贫困村的概率为674．某试验每次成功的概率为p(0<p<1)．现重复进行10次该试验，则恰好有7次试验未成功的概率为(A)A．C103p31-p7C．p3(1－p)7 D．p7(1－p)35．已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：千克)听从正态分布N(90，64)．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间[82，106]内的产品估计有()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．A．8186件 B．6826件C．4772件 D．2718件A解析：依题意，产品的质量X(单位：千克)听从正态分布N(90，64)，得μ＝90，σ＝8，所以P(82≤X≤106)＝0.9545－0.9545-6．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)．若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)＝()A．38B．1314C．4D解析：因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为48＝12．从中取3次，X为取得次品的次数，则X～BP(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝C32×122×7．(2024·青岛模拟)在某次模拟中，全年级的数学成果近似听从正态分布N(93.1，49)．据此估计：在全年级同学中随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的数学成果超过93.1分的概率是________．38解析：由题意，可得每名学生的数学成果ξ～N所以P(ξ＞93.1)＝12，则全级随机抽取的4名同学中恰有2名的成果超过93.1的概率p＝C428．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校沟通访问．(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．解：(1)设事务A为“选派的3人中恰有2人会法语”，则P(A)＝C52C(2)依题意知X的取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝C43C73＝435，P(P(X＝2)＝C41C32C73＝1235所以X的分布列为X0123P418121B组新高考培优练9．(2024·济宁模拟)甲、乙两位同学进行羽毛球竞赛，约定五局三胜制(无平局)，已知甲每局获胜的概率都为25A．1625B．81125C．72D解：依据题意，甲获胜包括三种状况：①第三局甲成功，其概率p1＝25②第三局乙成功，第四局甲成功，其概率p2＝1-25×2③第三、四局乙成功，第五局甲成功，其概率p3＝1-252×则甲获胜的概率p＝p1＋p2＋p3＝9812510．(多选题)下列结论正确的是()A．若随机变量X听从两点分布，P(X＝1)＝12，则D(X)＝B．若随机变量Y的方差D(Y)＝2，则D(3Y＋2)＝8C．若随机变量ξ听从二项分布B4，12，则P(D．若随机变量η听从正态分布N(5，σ2)，P(η<2)＝0.1，则P(2≤η≤8)＝0.8CD解析：对A，若随机变量X听从两点分布，P(X＝1)＝12，则D(X)＝12×1-12＝14，故A错误；对B，若随机变量Y的方差D(Y)＝2，则D(3Y＋2)＝9D(Y)＝18，故错误；对C，若随机变量ξ听从二项分布B4，12，则P(ξ＝3)＝C43123·1-121＝14，故正确；对D，若随机变量η听从正态分布N(5，σ2)，11．(多选题)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X＝a2＋a3＋a4＋aA．X听从二项分布B．P(X＝1)＝8C．X的均值E(X)＝8D．X的方差D(X)＝4ABC解析：由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0，1且每个数位上的数字互不影响，故X的可能取值有0，1，2，3，4，且X的取值表示1出现的次数，由二项分布的定义可得X～B4，23，故A正确．故P(X＝1)＝C41231133＝881，故B正确；因为X～B4，23，所以E(X12．有9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子的发芽概率为0.5．若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不须要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑须要补种．假定每个坑至多补种一次，须要补种的坑数为2的概率等于________．21512解析：由题意，单个坑须要补种的概率p＝0.53＝用ξ表示须要补种的坑数，则ξ～B3，18，所以须要补种的坑数为2的概率P(ξ＝2)＝C3213．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已深化人心，这将推动新能源汽车产业的发展．某市购置新能源汽车的车主中女性车主所占的比例为25，现从该市购置新能源汽车的车主中随机选取216625解析：女性车主所占的比例为2则女性车主恰有2人的概率是C52·252·14．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：(1)取出的3个球中红球的个数X的分布列；(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．解：(1)由题意知，随机变量X的全部可能取值为0，1，2，3，且X听从参数为N＝10，M＝3，n＝3的超几何分布，因此P(X＝k)＝C3kC所以P(X＝0)＝C30C73P(X＝1)＝C31C72P(X＝2)＝C32C71P(X＝3)＝C33C所以X的分布列为X0123P72171(2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事务A，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事务A1，“恰好取出2个红球”为事务A2，“恰好取出3个红球”为事务A3，由于事务A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3，而P(A1)＝C31CP(A2)＝P(X＝