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文档简介
.3双曲线及其性质考点一双曲线的定义和标准方程1.(2017课标Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(A.13B.12C.23答案D本题考查双曲线的几何性质.易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.∵PF⊥x轴,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),∴|AP|=1,AP⊥PF,∴S△APF=12×3×1=32.2.(2017天津,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(OA.x24-y212=1B.xC.x23-y2=1D.x2-答案D不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1,3),所以ba=3,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为x2-y23方法总结求双曲线方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,依据题意构造关于a,b的方程组,从而求得a,b,写出双曲线的方程;(2)定义法:依据题意建立动点所满意的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满意的轨迹方程.3.(2016天津理,6,5分)已知双曲线x24-y2b2=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为A.x24-3y24=1C.x24-y24=1D.答案D不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意得x由①③得x02=所以y02=b24×由②④⑤可得b2=12.所以双曲线的方程为x24-y2思路分析抓住矩形的一个顶点的坐标,利用该顶点既在圆上又在渐近线上,再结合矩形的面积建立方程组求解.评析本题考查了圆和双曲线的方程与性质,考查了运算求解实力和方程的思想方法.4.(2015安徽理,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()A.x2-y24=1B.x24-y2=1C.y24-x2=1答案C由于焦点在y轴上,故解除A、B.由于渐近线方程为y=±2x,故解除D.故选C.5.(2014天津理,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线lA.x25-y220=1B.x220-y25=1C.3x答案A由题意得ba=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为x256.(2014江西文,9,5分)过双曲线C:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),A.x24-y212=1B.x27-y29=1C.x2答案A由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=bax,因此可设点A的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a=c2=2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为x24-评析本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学生的运算求解实力和逻辑推理实力.7.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)答案A∵原方程表示双曲线,且焦距为4,∴m2或m2由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.方法优化由题意可知(m2+n)(3m2-n)>0,所以-m2<n<3m2,从而m2+n>0,且3m2-n>0,所以m2+n+3m2-n=22,解得m2=1,所以n∈(-1,3).8.(2015课标Ⅰ文,16,5分)已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,66).当△APF周长最小时,该三角形的面积为答案126解析由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即当A、P、F'三点共线时,△APF的周长最小.设P点坐标为(x0,y0),y0>0,由x0-3+y066=1,x02-y028=1得所以当△APF的周长最小时,该三角形的面积S=12×6×66-12×6×26=129.(2015课标Ⅱ文,15,5分)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为答案x24-y解析依据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,3),所以42-4×(3)2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为x24-y考点二双曲线的几何性质1.(2024课标Ⅰ文,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(A.72B.3C.52答案B由题易知a=1,b=3,∴c=2,又∵|OP|=2,∴△PF1F2为直角三角形,易知||PF1|-|PF2||=2,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16,∴|PF1|·|PF2|=16-42=6,∴S△PF1F2=12.(2024课标Ⅰ文,10,5分)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,A.2sin40°B.2cos40°C.1sin50°答案D本题主要考查双曲线的性质,同角三角函数的基本关系式及诱导公式;考查考生的运算求解实力和逻辑思维实力;考查的核心素养是数学运算.由双曲线C:x2a2-y2b由题意知-ba又tan130°=-tan50°,∴ba∴双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=1+tan250°方法总结求双曲线x2a2-y(1)定义法:e=2c2a=ca;(2)公式法:e=1+b2a2=1+tan2θ(θ为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:利用题中条件得出关于a,b,c的方程,利用b2=c2-a2转化为关于a,c的方程3.(2024北京文,5,5分)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是5,则A.6B.4C.2D.1答案D本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生运算求解的实力以及方程的思想,考查的核心素养为数学运算.由题意得e=ca=5,又a2+b2=c2,∴b2a2=∵b2=1,∴a2=14.∵a>0,∴a=1易错警示把双曲线的离心率错认为e=1-b4.(2024浙江,2,4分)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是(A.(-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),(0,2)答案B本小题考查双曲线的标准方程和几何性质.∵a2=3,b2=1,∴c=a2+b2=2.又∵焦点在x易错警示求双曲线焦点坐标的易错点(1)焦点在x轴上还是y轴上,简单推断错误;(2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式简单混淆.5.(2015课标Ⅰ理,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则A.-33,C.-223答案A若MF1·MF2=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=3为半径的圆上,则x02+y02=3,x022-y02=1,解得y02=13.可知:M6.(2015课标Ⅱ理,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()A.5B.2C.3D.2答案D设双曲线E的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象限内,则易得M(2a,3a),又M点在双曲线E上,于是(2a)2a2-7.(2015湖南文,6,5分)若双曲线x2a2-y2b2=1A.73B.54C.43答案D双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线方程为y=±bax,则点(3,-4)在直线y=-bax上,即-4=-3ba,所以4a=3b,即ba8.(2015重庆文,9,5分)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥AA.±12B.±22C.±1答案C不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别为c,b2a,c,-b2a所以A1B=c+a,因为A1B⊥A2C,所以A1B·即(c+a)(c-a)-b2a·即c2-a2-b4a2=0,所以b2故b2a2=1,即ba=1,又双曲线的渐近线的斜率为±ba9.(2014课标Ⅰ理,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B.3C.3mD.3m答案A由题意知,双曲线的标准方程为x23m-y23=1,其中a2=3m,b2=3,故c=a2+b2=3m+3,不妨设F为双曲线的右焦点,故F(3m+3,0).其中一条渐近线的方程为y=1评析本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础学问,考查考生对学问的敏捷运用实力和运算求解实力.10.(2014课标Ⅰ文,4,5分)已知双曲线x2a2-y23=1(a>0)的离心率为A.2B.62C.52答案D由双曲线方程知b2=3,从而c2=a2+3,又e=2,因此c2a2=a2+3a211.(2013课标Ⅰ理,4,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52A.y=±14xB.y=±13xC.y=±12答案C∵ba=e2-1=54-1=112.(2011课标全国理,7,5分)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.3答案B不妨设双曲线C为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),并设l过F2(c,0)且垂直于x∴2b2a=2×2a,b2∴离心率e=ca=1+b2a213.(2016课标Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=13A.2B.32C.3答案A本题考查双曲线的几何性质;考查了学生的运算求解实力;考查了数学运算的核心素养.解法一:由MF1⊥x轴,可得M-c,b2a由sin∠MF2F1=13,可得cos∠MF2F1=1-1又tan∠MF2F1=|MF1||F1F2|=∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2-22ac=0⇒e2-22e-1=0,又∵e>1,∴e=2.故选解法二:由MF1⊥x轴,得M-c,b2a,∴|MF1|=b2a,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+b2a,又sin∠MF2F1=|MF1||MF2|14.(2024课标Ⅲ文,14,5分)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2答案3解析∵双曲线C:x2a2-y2b∴ba=2,∴双曲线C的离心率为ca=1+b15.(2024上海,2,4分)双曲线x24-y2=1的渐近线方程为答案y=±12解析本题主要考查双曲线的渐近线方程.解法一:由双曲线x24-y2=1知a2=4,b∴a=2,b=1,∴该双曲线的渐近线方程为y=±12解法二:令双曲线x24-y2=1中的“1”为“0”,即可得到双曲线的渐近线方程,即x24-y2=0,∴16.(2024江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)答案2解析本题考查双曲线的性质.双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为|bc|b2+(-a)2=32c,∴b=32c,∴b2=34c2,又b17.(2017课标Ⅲ文,14,5分)双曲线x2a2-y29=1(a>0)的一条渐近线方程为y=3答案5解析由题意可得3a=3所以a=5.18.(2017北京理,9,5分)若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=答案2解析本题考查双曲线的性质.由题意知,a2=1,b2=m.∵e=ca=1+b2a219.(2016山东理,13,5分)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个
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