新教材2025版高中数学第四章概率与统计4.2随机变量4.2.3二项分布与超几何分布学生用书新人教B版选择性必修第二册

4．2.3二项分布与超几何分布[课标解读]1.通过详细实例，了解伯努利试验，驾驭二项分布，并能解决简洁的实际问题.2.通过详细实例，了解超几何分布，并能解决简洁的实际问题.3.驾驭两个基本概率模型及其应用，进一步深化理解随机思想在解决实际问题中的作用．【教材要点】学问点一n次独立重复试验在相同的条件下，__________试验，各次试验的结果________，那么一般就称它们为n次独立重复试验．学问点二二项分布若将事务A发生的次数设为X，发生的概率为p，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事务A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝____________(k＝0，1，2，…，n)，于是得到X的分布列X01…k…nPCn0p0Cn1p1q…Cnkpkqn…Cnnpn由于表中的其次行恰好是二项式绽开式(q＋p)n＝Cn0p0qn＋Cn1p1qn－1＋…＋Cnkpkqn－k＋…＋Cnnpnq学问点三超几何分布设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件(M<N)，从全部物品中任取n件(n≤N)，则这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为________________(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X听从参数为N，M，n的超几何分布．【基础自测】1.独立重复试验满意的条件是________．(填序号)①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种状况；③每次试验中发生的概率是相等的；④每次试验发生的条件是相同的．2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．3．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则C3A．5件产品中有3件次品的概率B．5件产品中有2件次品的概率C．5件产品中有2件正品的概率D．5件产品中至少有2件次品的概率4．下列随机变量X不听从二项分布的是()A．投掷一枚匀称的骰子5次，X表示点数为6出现的次数B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从起先射击到击中目标所须要的射击次数C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球竞赛，X表示甲获胜的次数D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数题型1独立重复试验中的概率问题例1(1)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：①他三次都击中目标的概率是0.93；②他第三次击中目标的概率是0.9；③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1；④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.其中正确结论的序号是________．(把正确结论的序号都填上)(2)某气象站天气预报的精确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：①5次预报中恰有2次精确的概率；②5次预报中至少有2次精确的概率；③5次预报中恰有2次精确，且其中第3次预报精确的概率．方法归纳独立重复试验概率求法的三个步骤1．推断：依据n次独立重复试验的特征，推断所给试验是否为独立重复试验．2．分拆：推断所求事务是否须要分拆．3．计算：就每个事务依据n次独立重复试验的概率公式求解，最终利用互斥事务概率加法公式计算．跟踪训练1甲、乙两队进行排球竞赛，已知在一局竞赛中甲队胜的概率为23题型2二项分布例2一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事务是相互独立的，并且概率都是13求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列．状元随笔首先推断ξ是否听从二项分布，再求分布列．方法归纳1．本例属于二项分布，当X听从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与胜利概率p.2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，(2)推断一个随机变量是否听从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事务发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．跟踪训练2在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必需且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ题型3超几何分布的分布列例3在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．eq\a\vs4\al(状元随笔)eq\x(\a\al(写出X的,可能值))→eq\x(\a\al(求出每个X,对应的概率))→eq\x(\a\al(写出分,布列))方法归纳求超几何分布的分布列时，关键是分清其公式中M，N，n的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最终写出分布列．跟踪训练3袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．题型4独立重复试验与二项分布综合应用【思索探究】1．王明在做一道单选题时，从A，B，C，D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数听从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？[提示]做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它听从二项分布．两点分布就是一种特别的二项分布，即是n＝1的二项分布．2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数听从二项分布吗？为什么？[提示]听从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事务发生的次数，故他做对的“道数”听从二项分布．3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数听从二项分布吗？如何推断一随机变量是否听从二项分布？[提示]不听从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．推断一个随机变量是否听从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事务发生的次数，满意这两点的随机变量才听从二项分布，否则就不听从二项分布．例4甲、乙两队参与奥运学问竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事务，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事务，求P(AB).状元随笔(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ听从二项分布，其中n＝3，p＝23(2)AB表示事务A，B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．方法归纳对于概率问题的综合题，首先，要精确地确定事务的性质，把问题化归为古典概型、互斥事务、独立事务、独立重复试验四类事务中的某一种；其次，要推断事务是A＋B还是AB，确定事务至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事务公式；最终，选用相应的求古典概型、互斥事务、条件概率、独立事务、n次独立重复试验的概率公式求解．跟踪训练4已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒胜利发芽的概率都为13(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验胜利的次数为X，求X的分布列；(2)其次小组进行试验，直到胜利了4次为止，求在第4次胜利之前共有3次失败的概率．题型5二项分布与超几何分布的综合应用例5在一次购物抽奖活动中，假设抽奖箱中10张奖券，其中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中随意抽取1张，看完结果后放回抽奖箱，①若只允许抽奖一次，求中奖次数X的分布列；②若只允许抽奖二次，求中奖次数X的分布列．(2)顾客乙从10张奖券中随意抽取2张，求顾客乙中奖的概率．状元随笔(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～B(1，P).从10张奖券中有放回的抽取2张，每次有中奖和不中奖两种，故X～B(2，p)；(2)从10张奖券中随意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1,2)听从超几何分布．方法归纳区分超几何分布与二项分布问题的两个关键点1．推断一个随机变量是否听从超几何分布时，关键是从总数为N件的甲乙两类元素，其中甲类元素数目M件，从全部元素中一次任取n件，这n件中含甲类元素数目X听从超几何分布．2．推断一个随机变量是否听从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事务发生的次数，满意这两点的随机变量才听从二项分布，否则就不听从二项分布．本题有放回的抽奖就属于二项分布．跟踪训练5盒中装有形态、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机依次取出2个球，则有放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于________，不放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于________．教材反思4．2.3二项分布与超几何分布新知初探·自主学习[教材要点]学问点一重复地做n次相互独立学问点二Cnkpkqn－kX～B(n，学问点三P(X＝m)＝C[基础自测]1．解析：由n次独立重复试验的定义知①②③④正确．答案：①②③④2．解析：抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P＝C31答案：33．解析：依据超几何分布的定义可知C32表示从3件次品中任选2件答案：B4．解析：选项A：试验出现的结果只有两个，点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为16，每一次试验都是独立的，故随机变量X听从二项分布；选项B：虽然每一次试验的结果只有两个，且每一次试验都是相互独立的，且概率不发生改变，但随机变量X的取值不确定，故随机变量X不听从二项分布；选项C：甲、乙获胜的概率肯定，且和为1，进行5次竞赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X听从二项分布；选项D：由二项分布的定义可知，X～B(n答案：B课堂探究·素养提升例1解析：(1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④.(2)①记预报一次精确为事务A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次精确的概率为P＝C52×0.82×0.2因此5次预报中恰有2次精确的概率约为0.05.②“5次预报中至少有2次精确”的对立事务为“5次预报全部不精确或只有1次精确”，其概率为P＝C50×(0.2)5＋C5所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次精确的概率约为0.99.③说明第1，2，4，5次中恰有1次精确．所以概率为P＝C41×0.8×0.2所以恰有2次精确，且其中第3次预报精确的概率约为0.02.答案：(1)①②④(2)见解析跟踪训练1解析：“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最终一局．即P＝232+答案：20例2解析：ξ～B5，13，ξ的分布列为P(ξ＝C5k1故ξ的分布列为ξ012345P32808040101跟踪训练2解析：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B4，∴P(ξ＝k)＝C＝C4k1∴随机变量ξ的分布列为ξ01234P11311例3解析：X的可能取值是1，2，3.P(X＝1)＝C61·P(X＝2)＝C62·P(X＝3)＝C63·故X的分布列为X123P3155跟踪训练3解析：(1)从袋中任取4个球的状况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种状况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5，6，7，8.P(X＝5)＝C41CP(X＝6)＝C42CP(X＝7)＝C43CP(X＝8)＝C44C故所求分布列为：X5678P418121(2)依据随机变量X的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1235+1例4解析：(1)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且P(ξ＝0)＝C301P(ξ＝1)＝C312P(ξ＝2)＝C322P(ξ＝3)＝C332所以ξ的分布列为ξ0123P1248(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事务，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事务，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，又P(C)＝C322P(D)＝C332由互斥事务的概率公式得P(AB)＝P(C)＋P(D)＝1034+43跟踪训练4解析：(1)由题意，随机变量X可能取值为0，1，2，3，则X～B(3，13)．即P(X＝0)＝C30130(1－P(X＝1)＝C31131(1－1P(X＝2)＝C32132(1－1P(X＝3)＝C33133(1－1所以X的分布列为X0123P8421(2)其次小组第7次试验胜利，前面6次试验中有3次失败，3次胜利，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为P＝C63133(1－13)例5解析：(1)①抽奖一次，只有中奖和不中奖