【不等式在中学数学中的运用探究7000字（论文）】

不等式在中学数学中的运用研究摘要在中学数学中，不等式处于重要地位，为解决许多重难点提供了便利。本文主要从柯西不等式入手进行探索研究。自2008年起，柯西不等式被纳入高中数学课本，从此，其正式走进高中课堂，联系着中学数学的方方面面。作为选修内容，通过学习柯西不等式可以使学生拓展知识结构，丰富解题方法，增强逻辑思维能力。其也是中学数学的一个难点。因此，本文首先给出柯西不等式的几种形式，并对各种形式给出详细证明。然后，通过典型题目论述各种形式在中学数学几大板块的应用，揭示其运用的广泛性。最后，搜集有关柯西不等式的各类竞赛题与考试题，总结应用柯西不等式不同形式解决问题的方法。关键词：中学数学；柯西不等式目录825摘要 I4653绪论 1156901研究背景 2259911.1课题意义 2130601.2研究方法 2284492中学中柯西不等式的几种常用形式及证明 3101112.1二维形式的柯西不等式及其证明 3268722.1.1柯西不等式的向量形式及其证明 448032.2一般形式的柯西不等式 52353柯西不等式与函数最值 844243.1与整式函数最值 8141763.2与分式函数最值 10185604柯西不等式与不等式的证明 11123124.1二维形式与不等式的证明 11309314.2一般形式与不等式的证明 11283594.3变式与不等式的证明 12287845柯西不等式的应用 1413085.1柯西不等式在等式中的应用 1498255.2柯西不等式在几何中的应用 15133825.3用柯西不等式解方程 15299265.4用柯西不等式求参数的取值范围 16313715.5柯西不等式与数学竞赛 16163215.5.1柯西不等式在数学竞赛中的意义 16101435.5.2一般形式的柯西不等式与竞赛数学 17234795.5.3柯西不等式的推广公式在竞赛数学中的运用 1714785.6利用柯西不等式推导点到直线的距离公式 18226015.7柯西不等式的应用技巧 19173105.7.1巧添因式 1967075.7.2巧凑系数 19187265.7.3巧改结构 19283896总结 212233参考文献： 22绪论不等关系贯穿中学数学，从九年义务教育的开始我们学习比较大小，到九年义务教育结束学习不等关系及不等式，乃至高中基本不等式等的学习。其中柯西不等式将复杂的问题简单化是它的“特色”，是解决一些问题的有利工具。然而由于柯西不等式形式多样，所以在运用时难免过于灵活。因此柯西不等式的证明是中学数学的重点，其运用是中学数学中的一个难点。正由于柯西不等式的形式多样、考题涉及面非常广、综合性、技巧性比较强、方法灵活，所以在学生做题时就会出现不知如何下手、不能对号入座的现象，本文在介绍柯西不等式证明方法的同时也会对一些题型进行分类，希望通过此方法能更好的掌握柯西不等式的运用。发现柯西不等式运用的巧妙之处与经典之处，进而培养学生对数学的兴趣，发展发散性思维，丰富知识结构。通常在高中数学中经常出现老师讲题能听懂，可自己独立完成时却怎么也想不出解题办法的情况，当然引起这种情况出现的因素有很多，与学生自身知识结构、自身思维方式、老师语言表达、老师教学流程以及题目本身难度等等皆有关系。作为教育工作者，在关心学生求解问题的同时，对解题过程详细分析，巩固、加深学生的知识结构，只有在非常熟练掌握知识的情况下才能做到对知识应用自如。其中通过数学学习对学生思维的提高有很大的作用。因此本文从考虑学生实际情况与解题困惑方面出发，由浅到深的介绍了有关柯西不等式的一系列问题，先让学生认识柯西不等式解题经典之处，让其产生兴趣，再让其认识柯西不等式的各种形式及证明并理解各种形式的不同之处，之后分块介绍其在中学中的应用，最后分析在高考、竞赛试题中的特点与应用。希望学生在整个学习过程中能够进一步了解柯西不等式，不再望而生畏。希望这篇文章能通过对柯西不等式运用的介绍能强化学生数学应用意识，增强自我独立探究问题、解决问题的能力。1研究背景1.1课题意义从跨入小学课堂，我们便开始了对不等关系的学习。大学之前我们的数学只有两类数量关系——相等关系与不等关系。高中作为中学与大学的衔接阶段，因此高中阶段学习的大量不等式显得尤为重要。而柯西不等式在函数、最值、几何等领域中应用颇多。作为高中不等式中的升华，其对于提高学生的整体素质是不可或缺的。为了突破重难点，更进一步向高等数学靠拢，对柯西不等式的学习研究一整套方案是很有必要的。1.2研究方法本文首先给出柯西不等式的几种形式，其次对其各种形式给出详细证明。然后，通过典型题目论述各种形式在中学数学几大板块的应用，揭示其运用的广泛性。最后，搜集有关柯西不等式的各类竞赛题，并阐述其对于教育的价值。总结试题特点，提出应用柯西不等式不同形式解决试题的方法。2中学中柯西不等式的几种常用形式及证明柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式渗透中学数学的方方面面，形式的多样决定着其应用的广泛，从等式到不等式，从几何到函数，因此它是九年义务教育数学中不可缺少的部分，由于其应用的灵活与广泛，因此在运用柯西不等式时，不仅仅要求对知识的熟练掌握，对分析能力以及处理题目的技巧也有较高的要求。高中教材中介绍了其几种常用的形式，让学生从各个角度去理解柯西不等式，同时掌握柯西不等式在各个方面的运用，感受柯西不等式的解题的神奇之处。接下来详细介绍二维形式的柯西不等式和一般形式的柯西不等式，并对其进行了证明，为接下来的研究提供参考。2.1二维形式的柯西不等式及其证明二维柯西不等式简洁、对称，并在不等式的学习中有重要作用。是我们已经学习的一个很重要的不等式，表示两个实数的平方和与乘积的大小关系，试通过类比该不等式推导过程，证明。分析：证明此类不等式是否成立，通常将其中一边向另一边靠拢，再根据具体情况选择不等式的证明方法。证明：由于，即，，又有，，故，，即，。总结：不等式证明方法多样，我们通常采用将两式作差或者作商，再或者放大、缩小等方法，此证明使用将式子缩小的方法。定理1（二维形式）若、、、，则当且仅当时，等号成立。2.1.1柯西不等式的向量形式及其证明向量总是与坐标联系在一起的，为此，可以联想到向量形式的证明应该与二维形式为基础，再通过坐标转换为向量形式。，故，当且仅当时，等号成立。对于一个代数结果通常要借助几何背景加以诠释，那么柯西不等式的几何意义是什么呢？借助二维几何空间对其作出几何解释。若用表示向量，表示向量，，，表示与的夹角，如图。图根据向量数量积定义，有，因此，，。换做平面中的向量坐标表示，为两边平方，得为它的二维形式，由于向量可以用坐标表示，因此我们得到二维形式和向量形式可以通过坐标进行互换，其中二维形式中的即为向量形式中或为零向量，若、不为零向量，则等价于，即和共线，则存在实数，使得经分析我们可知，是从不同的角度表示柯西不等式，因此我们将叫做柯西不等式的向量形式。定理2（向量形式），设、为两个向量，则，当且仅当向量为0向量时，或者存在实数使得时，取“”。2.2一般形式的柯西不等式图如图，在证明柯西不等式的向量形式时，我们利用平面几何得到，而后将平面向量的坐标代入后，得到：.1当且仅当时，等号成立。通过证明我们得到平面向量的柯西不等式，为了将其一般化，因此需推广到空间，我们也能得到，将空间坐标代入得，.2即是，或者存在一实数，使得时，等号成立。1与2是分别从平面和空间的角度考虑，因此叫做有二维和三维之分。类比这两种形式，推广到维空间，猜想此时其形式会有怎样的变化。.3分析：令，，..这与二次函数的判别式相关，因此需构造二次函数。证明：当或者时，式子成立设，，……，中至少有一个不为,则有，.设二次函数，对于任意，有.当且仅当，即有唯一零点时，等号成立，此时有唯一实数使得。若，则；若，则猜想由此得正：.定理3（一般形式）：设，则当且仅当或者时，等号成立。推论一：，令，，…，，，，…，（，，）.当且仅当取“”成立。3柯西不等式与函数最值柯西不等式在函数最值的求解中能发挥出巧妙的作用，本文从整式函数最值和分式函数最值两方面来展开分析，采用举例方面来说明问题。3.1与整式函数最值例：求函数的最大值分析：在遇到求解一函数最值时，首先考虑其定义域，主要是在定义域内求最值；观察此不等式，为两部分的和，若能构造为的形式，则可运用二维形式柯西不等式解决。解：由题可知，，且，，，，，，.当且仅当时，等号成立。即是时，有最大值为。总结：要运用二维形式柯西不等式求解带有根号函数的最值时，须将根号里的系数化为相反数，式柯西不等式运用的条件与结构。例：已知，求的最小值。分析：出现三个数的平方之和，在柯西不等式中只有一般形式柯西不等式出现，但还需要乘以三个数的平方之和，又因为题目中出现，其中，，的系数皆为，观察与的关系，因此用可以得到。解：，，的最小值为.当且仅当时等号成立。变式：已知，求的最小值。分析：类似刚刚的做法，乘以三个数的平方之和，构造出。解：，，，的最小值为.当且仅当，，时，等号成立。变式：已知，求的最小值。解：，，的最小值为.当且仅当，，时等号成立。总结：通过变式和例题我们可以看出运用柯西不等式的关键在于乘以一组数，使其向已知的等式靠近。当然也可以运用换元，消元的方法消去其中一个量，再利用配方的方法求得最值，但其中容易出现计算错误，相比之下柯西不等式更简洁。3.2与分式函数最值例：已知，，，，求是最小值。分析：为三个式子相加，当然可以看做三个数的平方相加，在一般形式的柯西不等式中出现此类形式，但还需要乘以三个数平方之和，题目中出现，因此需要构造一组数，使之运用柯西不等式后出现。解：，，.当且仅当时等号成立。总结：解决此类题目有一定的技巧性，需要结合积累的经验与式子特点。4柯西不等式与不等式的证明本章内容按照形式的不同，分为二维形式、一般形式、变式3种情况，分别通过举例论证的方式来说明柯西不等式再不等式证明中的应用。4.1二维形式与不等式的证明例：已知，求证。分析：观察不等式，为两个式子相加的形式，即可用柯西不等式。解：，，，，故而.当且仅当，时等号成立。总结：在运用柯西不等式证明不等式时，最关键之处在于比较要证不等式与已知不等式之间的关系，找到要证不等式中的每一项应该由哪些数充当。4.2一般形式与不等式的证明例：已知函数，，且的解集为。（1）求的值（2）若，，且，求证分析：第一问可以说是考察数形结合，也可以说考察恒成立问题，此次解题是从恒成立方面入手；第二问是在第一问的基础上对柯西不等式的考察，此次证明需要注意在证明不等式时的一个常用技巧，即为“1的妙用”，通常题目中告诉某个多项式等于1，那么大多情况该多项式会与要证不等式相乘，构造新的式子后加以证明结论。解：（1），的解集为，在上恒成立，.（2），，.总结：此题为典型的1的妙用，在证明不等式时，如果题目中出现某个等式等于去，那么通常会用到乘以等于1的等式。4.3变式与不等式的证明例：，，均为正整数，已知，证明：。分析：观察要证的不等式左边为分式相加，与柯西不等式推论1结构相符合。解：，，，，.要求的最小值，转化为求的最小值，即求的最小值。，，已征得的最小值为。，即是，.当且仅当时等号成立。总结：一般形式的柯西不等式的变式情况适用于分式中需要将分母相加的情况。5柯西不等式的应用柯西不等式通常应用于证明代数不等式、几何不等式、三角不等式，同时它在实数的大小比较、解方程、确定参数的取值范围、求最值等方面都有着广泛的应用，归纳起来有两大类：一类是证明与不等式有关的命题；一类是求解有关的数学命题。但无论用柯西不等式处理何种类型的问题，都必须依照柯西不等式的结构特点，恰当地选取两个数组，构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明、求解有关问题的目的。柯西不等式的应用较为广泛，在多种场景中都能发挥出巧妙的作用。本文重点分析了柯西不等式在等式、几何、解方程、求参数等方面的应用，然后围绕数学竞赛的特征分析柯西不等式在数学竞赛中的意义和应用，最后总结了柯西不等式在巧添因式、巧凑系数、巧改结构等方面的应用技巧。5.1柯西不等式在等式中的应用例：已知，求证。分析：观察式子，与二维形式结构相同。故利用二维形式得到不等关系，再联系取等时与的关系，最后证得等式成立。解：，.根据等号取得的条件可得，，.，.，.，.总结：利用柯西不等式证明等式，通常是运用等号取得时求得其中某数的值。代入所求等式。5.2柯西不等式在几何中的应用例：在中，各边边长分别为，，，外接圆半径为，求证。分析：观察不等式左边，与一般形式柯西不等式结构相符，运用后我们会得到。根据正弦定理可证得不等式。解：，，.当且仅当时等号成立。总结：观察要证不等式与柯西不等式的哪种形式结构相近，然后寻找各种方法向其靠拢，最后得到要证得的不等式。5.3用柯西不等式解方程例：在实数集内解方程组。解：，，，.运用柯西不等式，等号成立需满足。，，，.总结：柯西不等式满足的条件是解决本题的关键，因此掌握每种形式柯西不等式取得等号是所需条件是必备的。5.4用柯西不等式求参数的取值范围例题：已知，，，且不等式恒成立，求的取值范围。解：，，，，，，且.的取值范围为。总结：此题实际为求解最值问题，但也可以说是证明不等式，因此证明不等式，求最值，以及求参数范围实为一种类型题目的不同说法，旨在通过变式变换事物的非本质特征使得同学们认识带事物的本质特征，锻炼灵活的思维能力。5.5柯西不等式与数学竞赛5.5.1柯西不等式在数学竞赛中的意义柯西不等式是处理中学数学题目的重要工具，从等式到不等式，函数到几何应用皆多，高考试题和国内外数学竞赛与柯西不等式有关的试题频繁出现，柯西不等式本身并不难，只是运用灵活，主要考察学生逻辑思维能力，巧妙运用可以使试题变得简单。5.5.2一般形式的柯西不等式与竞赛数学例：设实数，，满足，求证。分析：表面看此题与柯西不等式没有关系，首先根据幂的运算可将要证不等式进行化简，得到，要将联系在一起，则需要借助基本不等式，最后只需证得的最大值即可。解：，，，，，.即原不等式得证。5.5.3柯西不等式的推广公式在竞赛数学中的运用 例：设，，，且，求证。分析：要证原不等式成立，可先将一边化为常数，则证明。观察不等式与柯西不等式推广式结构相同。解：要证，只需证，利用柯西不等式的推广式可得，.，故成立。故原不等式成立。总结：在证明不等式是否成立前，先将不等式尽量一边化为常数，再根据柯西不等式各种形式的结构进行运用。5.6利用柯西不等式推导点到直线的距离公式柯西不等式不仅仅可以运用在解题中，而且还可以运用在某些定理的证明之中。我们已经知道了点到直线的距离公式为，其中直线为，点为。那么如何运用柯西不等式去证明这一结论呢？，，如果、均不为零，只有当时“”成立。，，.表示过作垂直于的直线。5.7柯西不等式的应用技巧通过介绍柯西不等式的应用，我们可以发现它为我们的解题带来了许多便利。但是通过式子构造柯西不等式的结构却是非常灵活，且带有一定的技巧。同学们困惑的不是运用柯西不等式，而且怎样去构造符合条件的柯西不等式。本文最后一章对此作出一些归纳。5.7.1巧添因式在等式或不等式的一边乘以一个单项式或者多项式即为添因式。目的是使其转化为我们需要的结构。这是在应用柯西不等式时一个较为普遍的方法。例：已知正实数，，满足，求证。分析：此题为求解多项式的取值范围，分母分别为，，，因此可以添加。证明：，，，，，，.，.5.7.2巧凑系数根据等式或者不等式的特征，凑出与需要证式子相同的系数，即为凑系数法。柯西不等式的中学数学应用中的常用技巧之一。当然柯西不等式运用的技巧并不止此，需要大家在练习中总结经验，得出自己的一套结论，有益柯西不等式的学习，更有利于提高综合能力。5.7.3巧改结构即是要求我们辩证的看待要证式子，稍改式子结构，间接的去证明结论例：已知，，，求证。分析：我们可以通过证。解：，，，.总结：此题告诉我们多角度的看待解决的问题也不失为一个好的办法。6总结