椭圆必记知识、题型大归类

椭圆必记知识点标准方程〔焦点在轴〕〔焦点在轴〕定义第一定义：平面内与两个定点，的距离的和等于定长〔定长大于两定点间的距离〕的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。范围顶点坐标对称轴轴，轴；长轴长为，短轴长为对称中心原点焦点坐标焦点在长轴上，；焦距：离心率(),，越大椭圆越扁，越小椭圆越圆。准线方程准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：顶点到准线的距离顶点〔〕到准线〔〕的距离为顶点〔〕到准线〔〕的距离为焦点到准线的距离焦点〔〕到准线〔〕的距离为焦点〔〕到准线〔〕的距离为椭圆上到焦点的最大〔小〕距离最大距离为：最小距离为：相关应用题：远日距离近日距离椭圆的参数方程〔为参数〕〔为参数〕椭圆上的点到给定直线的距离利用参数方程简便：椭圆〔为参数〕上一点到直线的距离为：直线和椭圆的位置椭圆与直线的位置关系：利用转化为一元二次方程用判别式确定。相交弦AB的弦长通径：过椭圆上一点的切线利用导数利用导数★椭圆知识梳理★1.椭圆定义：〔1〕第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.当时,的轨迹为椭圆;;当时,的轨迹不存在;当时,的轨迹为以为端点的线段〔2〕椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆〔利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化〕.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线与椭圆的位置关系:当时,点在椭圆外;当时,点在椭圆内;当时,点在椭圆上;直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离★重难点突破★重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用难点:椭圆的几何元素与参数的转换重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数的关系问题1为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点假设，那么=______________。[解析]的周长为，=8问题2椭圆的离心率为，那么[解析]当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，，综上或3★热点考点题型探析★考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用[例1](湖北局部重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球〔小球的半径不计〕，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是OxOxyDPABCQ[解析]按小球的运行路径分三种情况:(1),此时小球经过的路程为2(a－c);(2),此时小球经过的路程为2(a+c);(3)此时小球经过的路程为4a,应选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1.〔2007·佛山南海〕短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，那么△ABF2的周长为 〔〕[解析]C.长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=122.(广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，那么的最小值为〔〕A．5B．7C．13D．15[解析]B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7题型2求椭圆的标准方程[例2]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来[解析]设椭圆的方程为或，那么，解之得：，b=c或.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．［警示］易漏焦点在y轴上的情况．【新题导练】3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.[解析](0,1).椭圆方程化为+=1.焦点在y轴上，那么>2，即k<1.又k>0，∴0<k<1.,讨论方程表示的曲线的形状[解析]当时，，方程表示焦点在y轴上的椭圆，当时，，方程表示圆心在原点的圆，当时，，方程表示焦点在x轴上的椭圆5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.[解析]，，所求方程为+=1或+=1.考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率〔或范围〕[例3]在中，．假设以为焦点的椭圆经过点，那么该椭圆的离心率．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率[解析]，，【名师指引】〔1〕离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定〔2〕只要列出的齐次关系式，就能求出离心率〔或范围〕〔3〕“焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】6.(执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为....[解析]选7.〔江苏盐城市三星级高中2009届第一协作片联考〕m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，那么椭圆的离心率为[解析]由，椭圆的离心率为8.(山东济宁2007—2008学年度高三第一阶段质量检测)我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。假设第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n〔近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点〕，那么第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率〔〕A．不变B.变小C.变大D.无法确定[解析]，，选A椭圆C：两个焦点为，如果曲线C上存在一点Q，使，求椭圆离心率的最小值。{}为椭圆的左、右焦点，如果椭圆上存在点，使求离心率的取值范围。〔思考：将角度改成150〕{}11.假设为椭圆的长轴两端点，为椭圆上一点，使，求此椭圆离心率的最小值。{}题型2:椭圆的其他几何性质的运用〔范围、对称性等〕[例4]实数满足,求的最大值与最小值【解题思路】把看作的函数[解析]由得,当时,取得最小值,当时,取得最大值6【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出过失【新题导练】是椭圆〔，〕上两点,且,那么=[解析]由知点共线,因椭圆关于原点对称,10.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半局部于七个点，是椭圆的一个焦点那么________________［解析］由椭圆的对称性知：．考点3椭圆的最值问题题型:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值[例5]椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数[解析]在椭圆上任取一点P,设P().那么点P到直线l的距离为：【名师指引】也可以直接设点，用表示后，把动点到直线的距离表示为的函数，关键是要具有“函数思想”【新题导练】的内接矩形的面积的最大值为[解析]设内接矩形的一个顶点为，矩形的面积12.是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值[解析]当时，取得最大值，当时，取得最小值13.〔2007·惠州〕点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，是原点，那么四边形的面积的最大值是_________．[解析]设，那么考点4椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题[例6]椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P〔0，m〕，与椭圆C交于相异两点A、B，且．〔1〕求椭圆方程；〔2〕求m的取值范围．【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式[解析]〔1〕由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设由条件知且，又有，解得故椭圆的离心率为，其标准方程为：〔2〕设l与椭圆C交点为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,2x2＋y2＝1))得〔k2＋2〕x2＋2kmx＋〔m2－1〕＝0Δ＝〔2km〕2－4〔k2＋2〕〔m2－1〕＝4〔k2－2m2＋2〕>0〔*〕x1＋x2＝eq\f(－2km,k2＋2)，x1x2＝eq\f(m2－1,k2＋2)∵eq\x\to(AP)＝3eq\x\to(PB)∴－x1＝3x2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2x2,x1x2＝－3x\o\al(2,2)))消去x2，得3〔x1＋x2〕2＋4x1x2＝0，∴3〔eq\f(－2km,k2＋2)〕2＋4eq\f(m2－1,k2＋2)＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0m2＝eq\f(1,4)时，上式不成立；m2≠eq\f(1,4)时，k2＝eq\f(2－2m2,4m2－1)，因λ＝3∴k≠0∴k2＝eq\f(2－2m2,4m2－1)>0，∴－1<m<－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)<m<1容易验证k2>2m2－2成立，所以〔*〕成立即所求m的取值范围为〔－1，－eq\f(1,2)〕∪〔eq\f(1,2)，1〕【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【新题导练】14.(2007·广州四校联考)设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，假设，且，那么点的轨迹方程是〔〕A.B.C.D.[解析]，选A.15.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。〔1〕建立适当的坐标系，求曲线E的方程；〔2〕设直线l的斜率为k，假设∠MBN为钝角，求k的取值范围。解：〔1〕以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，那么A〔－1，0〕，B〔1，0〕由题设可得∴动点P的轨迹方程为，那么∴曲线E方程为〔2〕直线MN的方程为由∴方程有两个不等的实数根∵∠MBN是钝角即解得：又M、B、N三点不共线综上所述，k的取值范围是★～～抢分频道★根底稳固训练1.如下图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,那么椭圆的离心率为()ABCD[解析]B.2.〔广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试〕设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，的值为A、0B、1C、2D、3[解析]A.，P的纵坐标为，从而P的坐标为，0，3.(广东广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是A．B．C．D．[解析]D.,,两式相减得：，，4.在中，，．假设以为焦点的椭圆经过点，那么该椭圆的离心率．[解析]5.为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,假设,那么此椭圆的离心率为_________.[解析][三角形三边的比是]6.(2008江苏)在平面直角坐标系中，椭圆1(0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，那么离心率=．[解析]综合提高训练7、椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．求椭圆方程[解析]直线l的方程为：

由①由得：∴，即②由①②得：故椭圆E方程为8.(广东省汕头市金山中学2008－2009学年高三第一次月考)A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P〕在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。[解析]〔1〕∵点是线段的中点∴是△的中位线又∴∴∴椭圆的标准方程为=1〔2〕∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2在△ABC中，由正弦定理，∴＝9.(海珠区2009届高三综合测试二)长方形ABCD,AB=2为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;OABCD图8(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线OABCD图8[解析](Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.设椭圆的标准方程是..椭圆的标准方程是(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.设M,N两点的坐标分别为联立方程:消去整理得,有假设以MN为直径的圆恰好过原点,那么,所以,所以,,即所以,即得所以直线的方程为,或.所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.参考例题：1、从椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点,且.⑴、求该椭圆的离心率.⑵、假设该椭圆的准线方程是，求椭圆方程.[解析]⑴、，∥，△∽△,，又，,而.⑵、为准线方程，,由．所求椭圆方程为．2、设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，假设，证明：的面积只与椭圆的短轴长有关[解析]由得，，，命题得证2007年-2010年新课标高考数学〔理科〕试题分类精编-----椭圆1.(2008年山东理10)设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26．假设曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，那么曲线的标准方程为〔〕A． B． C． D．解：对于椭圆，曲线为双曲线，，标准方程为：1.(2009年江苏13)如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，那么该椭圆的离心率为.学科网[解析]考查椭圆的根本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线的方程为：；直线的方程为：。二者联立解得：，那么在椭圆上，，解得：2.(2009年广东理11)巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，那么椭圆的方程为．【解析】，，，，那么所求椭圆方程为.3.(2009年上海理9)、是椭圆〔＞＞0〕的两个焦点，为椭圆上一点，且.假设的面积为9，那么=____________.【答案】3【解析】依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。4.(2008年江苏12)在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，为半径作圆，假设过作圆的两条切线相互垂直，那么椭圆的离心率为【解析】设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故，解得．【答案】1.(2010年陕西理20)〔本小题总分值13分〕如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,|A1B1|=,(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，请说明理由。解〔1〕由知a2+b2=7,①由知a=2c,②又b2=a2-c2③由①②③解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为。〔2〕设A,B两点的坐标分别为〔x1,y1〕(x2,y2)假设使成立的直线l不存在，当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且得，即m2=k2+1.∵,2.〔2010年全国理20〕〔本小题总分值12分〕设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。〔1〕求的离心率；〔2〕设点满足，求的方程解：〔I〕由椭圆定义知，又，得的方程为，其中。设，，那么A、B两点坐标满足方程组化简的那么因为直线AB斜率为1，所以得故所以E的离心率〔II〕设AB的中点为，由〔I〕知，。由，得，即得，从而故椭圆E的方程为。3.(2010年天津理20)(本小题总分值12分)椭圆(＞＞0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。(Ⅰ)求椭圆的方程：(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点。点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4。求的值。【命题意图】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等根底知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。【解析】〔1〕解：由，得，再由，得由题意可知，解方程组得a=2,b=1所以椭圆的方程为(2)解：由〔1〕可知A〔-2,0〕。设B点的坐标为〔x1,,y1〕,直线l的斜率为k，那么直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去Y并整理，得由得设线段AB是中点为M，那么M的坐标为以下分两种情况：〔1〕当k=0时，点B的坐标为〔2,0〕。线段AB的垂直平分线为y轴，于是〔2〕当K时，线段AB的垂直平分线方程为令x=0，解得由整理得综上。4.〔2010年北京理19〕〔本小题共14分〕在平面直角坐标系xOy中，点B与点A〔-1,1〕关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由。解：〔1〕因点B与〔-1,1〕关于原点对称，得B点坐标为〔1，-1〕。 设P点坐标为，那么，由题意得， 化简得：。即P点轨迹为： 〔2〕因，可得， 又， 假设，那么有， 即设P点坐标为，那么有： 解得：，又因，解得。故存在点P使得与的面积相等，此时P点坐标为或5.(2010年福建理17)〔本小题总分值13分〕中心在坐标原点O的椭圆C经过点A〔2，3〕，且点F〔2，0〕为其右焦点。〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？假设存在，求出直线的方程；假设不存在，请说明理由。【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等根底知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。【解析】〔1〕依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为F〔-2，0〕，从而有，解得，又，所以，故椭圆C的方程为。〔2〕假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与椭圆有公共点，所以有，解得，另一方面，由直线OA与的距离4可得：，从而，由于，所以符合题意的直线不存在。6.(2010年天津理19)〔本小题总分值13分〕为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系〔图6〕在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A,B两点的距离之和不超过km区域。〔Ⅰ〕求考察区域边界曲线的方程；〔Ⅱ〕如图6所示，设线段P1P2,P2P3是冰川的局部边界线〔不考虑其他边界线〕，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。图67.〔2010年山东理21〕〔本小题总分值12分〕如图，椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.〔Ⅰ〕求椭圆和双曲线的标准方程〔Ⅱ〕设直线、的斜率分别为、，证明；〔Ⅲ〕是否存在常数，使得恒成立？假设存在，求的值；假设不存在，请说明理由.【解析】〔Ⅰ〕由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为〔，0〕，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。〔Ⅱ〕设点P〔，〕，那么=，=，所以=，又点P〔，〕在双曲线上，所以有，即，所以=1。〔Ⅲ〕假设存在常数，使得恒成立，那么由〔Ⅱ〕知，所以设直线AB的方程为，那么直线CD的方程为，由方程组消y得：，设，，那么由韦达定理得：所以|AB|==，同理可得|CD|===，又因为，所以有=+=，所以存在常数，使得恒成立。【命题意图】此题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题〔3〕是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，〔标准答案〕〔21〕本小题主要考查椭圆、双曲线的根本概念和根本性质。考查直线和椭圆的位置关系，考查坐标化、定值和存在性问题，考查数行结合思想和探求问题的能力。解〔Ⅰ〕设椭圆的半焦距为c，由题意知：，2a+2c=4(+1)所以a=2，c=2，又=，因此b=2。故椭圆的标准方程为由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。所以m=2，因此双曲线的标准方程为〔Ⅱ〕设A〔，〕，B〔〕，P〔〕，那么=，。因为点P在双曲线上，所以。因此，即同理可得.那么，又，.故因此存在，使恒成立.8.(2010年辽宁理20)〔本小题总分值12分〕设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.求椭圆C的离心率；如果|AB|=，求椭圆C的方程.解：设，由题意知＜0，＞0.〔Ⅰ〕直线l的方程为，其中.联立得解得因为，所以.即得离心率.6分〔Ⅱ〕因为，所以.由得.所以，得a=3，.椭圆C的方程为.…12分也为解答圆锥曲线问题提供了新的工具，应重视运用向量解决圆锥曲线问题的能力。9.(2010年安徽理19)〔本小题总分值13分〕椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程；(Ⅲ)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？假设存在，请找出；假设不存在，说明理由。10.(2010年浙江理21)〔此题总分值15分〕m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.〔Ⅰ〕当直线过右焦点时，求直线的方程；〔Ⅱ〕设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.假设原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.解析：此题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等根底知识，同时考察解析几何的根本思想方法和综合解题能力。〔Ⅰ〕解：因为直线经过所以,得，又因为，所以，故直线的方程为。〔Ⅱ〕解：设。由，消去得那么由，知，且有。由于，故为的中点，由，可知设是的中点，那么，由题意可知即即而所以即又因为且所以。所以的取值范围是。11.(2010年上海理〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值6分，第3小题总分值9分.椭圆的方程为，点P的坐标为〔-a，b〕.〔1〕假设直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标；〔2〕设直线交椭圆于、两点，交直线于点.假设，证明：为的中点；〔3〕对于椭圆上的点Q〔acosθ，bsinθ〕〔0＜θ＜π〕，如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的θ的取值范围.解析：(1)；(2)由方程组，消y得方程，因为直线交椭圆于、两点，所以>0，即，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，那么，由方程组，消y得方程(k2k1)xp，又因为，所以，故E为CD的中点；(3)求作点P1、P2的步骤：1求出PQ的中点，2求出直线OE的斜率，3由知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率，4从而得直线CD的方程：，5将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，所以，化简得，，又0<<，即，所以，故的取值范围是．12.(2010年江苏18)〔本小题总分值16分〕在平面直角坐标系中，如图，椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T〔〕的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。〔1〕设动点P满足,求点P的轨迹；〔2〕设，求点T的坐标；〔3〕设,求证：直线MN必过x轴上的一定点〔其坐标与m无关〕。[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等根底知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。总分值16分。〔1〕设点P〔x，y〕，那么：F〔2，0〕、B〔3，0〕、A〔-3，0〕。由，得化简得。故所求点P的轨迹为直线。〔2〕将分别代入椭圆方程，以及得：M〔2，〕、N〔，〕直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。〔3〕点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。〔方法一〕当时，直线MN方程为：令，解得：。此时必过点D〔1，0〕；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D〔1，0〕。所以直线MN必过x轴上的一定点D〔1，0〕。〔方法二〕假设，那么由及，得，此时直线MN的方程为，过点D〔1，0〕。假设，那么，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点〔1，0〕。13.〔2009年海南理20〕〔本小题总分值12分〕椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕假设P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由得，所以椭圆的标准方程为〔Ⅱ〕设，其中。由及点在椭圆上可得。整理得，其中。〔i〕时。化简得所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。〔ii〕时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点实轴在轴上的双曲线满足的局部。当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的局部；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；14.〔2009年山东理22〕〔本小题总分值14分〕设椭圆E:〔a,b>0〕过M〔2，〕，N(,1)两点，O为坐标原点，〔I〕求椭圆E的方程；〔II〕是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？假设存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，假设不存在说明理由。解:〔1〕因为椭圆E:〔a,b>0〕过M〔2，〕，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为〔2〕假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,那么△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以,,①当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”.当时,.当AB的斜率不存在时,两个交点为或,所以此时,综上,|AB|的取值范围为即:【命题立意】:此题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程确实定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.15.〔2009年天津理21〕〔本小题总分值14分〕以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。求椭圆的离心率；求直线AB的斜率；设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等根底知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，总分值14分解：由//且，得，从而整理，得，故离心率解：由〔I〕得，所以椭圆的方程可写为设直线AB的方程为，即.由设，那么它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而①②由题设知，点B为线段AE的中点，所以③联立①③解得，将代入②中，解得.(III)解法一：由〔II〕可知当时，得，由得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点H〔m，n〕的坐标满足方程组，由解得故当时，同理可得.解法二：由〔II〕可知当时，得,由得由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H〔m，n〕在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形.由直线的方程为,知点H的坐标为.因为，所以，解得m=c〔舍〕，或.那么，所以.当时同理可得16.〔2009年安徽理20〕〔本小题总分值13分〕点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.〔I〕证明:点是椭圆与直线的唯一交点；〔II〕证明:构成等比数列.解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等根底知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题总分值13分。解：〔I〕〔方法一〕由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.(方法二)显然P是椭圆与的交点，假设Q是椭圆与的交点，代入的方程，得即故P与Q重合。〔方法三〕在第一象限内，由可得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即。因此，就是椭圆在点P处的切线。根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。〔II〕的斜率为的斜率为由此得构成等比数列。17.(2009年福建理19)〔本小题总分值13分〕A,B分别为曲线C：+=1〔y0,a>0〕与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)假设曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；〔II〕如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？假设存在，求出a的值，假设不存在，请说明理由。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】解法一：(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.(1)当∠BOT=60°时,∠SAE=30°.又AB=2,故在△SAE中,有(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SB为直线的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.由设点故,从而.亦即由得由,可得即经检验,当时,O,M,S三点共线.故存在,使得O,M,S三点共线.解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SO为直径的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为由设点,那么有故由所直线SM的方程为O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.故存在,使得O,M,S三点共线.18.(2009年辽宁理20)〔本小题总分值12分〕椭圆C经过点A,两个焦点为.(1)求椭圆C的方程；(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值．并求出这个定值．解：由题意，可设椭圆方程为，∵A在椭圆上，∴，解得，〔舍去〕∴椭圆C的方程为----------------4分。〔2〕设AE的方程为：，代入得：，设E，F，∵点A在椭圆上，∴，又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式以代，可得∴直线EF的斜率，即直线EF的斜率为定值。-------------------------12分2009042319．〔2009年浙江理21〕〔此题总分值15分〕20090423椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．〔I〕求椭圆的方程；〔II〕设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．解析：〔I〕由题意得所求的椭圆方程为，〔II〕不妨设那么抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，那么，设线段PA的中点的横坐标是，那么，由题意得，即有，其中的或；当时