椭圆知识点及相关习题

椭圆知识点知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：假设，那么动点的轨迹为线段；

假设，那么动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；

3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，知识点三：椭圆的简单几何性质

椭圆：的简单几何性质

〔1〕对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。〔2〕范围：

椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。

〔3〕顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。〔4〕离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。

②因为，所以的取值范围是。越接近1，那么就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：椭圆的图像中线段的几何特征〔如下列图〕：〔1〕；；；

〔2〕；；；

〔3〕；；；知识点四：椭圆与的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长长轴长=，短轴长=离心率准线方程焦半径，，注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法：1．如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2．椭圆标准方程中的三个量的几何意义椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且。可借助右图理解记忆：显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的焦点总在长轴上，因此标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4．方程是表示椭圆的条件方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：①假设把曲线方程中的换成，方程不变，那么曲线关于轴对称；②假设把曲线方程中的换成，方程不变，那么曲线关于轴对称；③假设把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，那么曲线关于原点对称。椭圆练习题选择题：〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中有只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1．椭圆的焦距是〔〕 A．2 B． C． D．2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，那么点M A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆3．假设椭圆的两焦点为〔－2，0〕和〔2，0〕，且椭圆过点，那么椭圆方程是 〔〕A． B． C． D．4．方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么k的取值范围是〔〕 A． B．〔0，2〕 C．〔1，+∞〕 D．〔0，1〕5．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，那么、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是〔〕A．B．2C．D．16．椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，那么椭圆方程为〔〕A．或B．C．或D．或7．＜4，那么曲线和有〔〕A．相同的短轴B．相同的焦点C．相同的离心率D．相同的长轴8．椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点，，那么△的面积为〔〕A．9B．12C．10D．89．椭圆内有一点P〔3，2〕过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为〔〕 A． B． C． D．10．椭圆上的点到直线的最大距离是 〔〕A．3 B． C． D．填空题：〔本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上．〕11．椭圆的离心率为，那么．12．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，那么的最大值为；最小值为．13．直线y=x－被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为．14．圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，那么点M的轨迹方程为．三、解答题：〔本大题共6小题，共74分，解容许写出文字说明．证明过程或演算步骤．〕15．三角形的两顶点为〔－2，0〕，〔2，0〕，它的周长为10，求顶点A轨迹方程16．椭圆的一个顶点为A〔2，0〕，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．17．点P到定点F〔2，0〕的距离和它到定直线x=8的距离的比为1：2，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．18．中心在原点，一焦点为F1〔0，5〕的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程．19.椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点．〔1〕求的值；〔2〕假设椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号12345678910答案ACDDACBBBD11、3或12、4，113、14、15、16、解：〔1〕当A(2,0)为长轴端点时，a=2,b=1，椭圆的标准方程为：；〔2〕当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；17．解：设P〔x，y〕，根据题意，|PF|=eq\r((x-2)2-y2),d=|x-8|,因为eq\f(|PF|,d)=eq\f(1,2),所以eq\f(\r((x-2)2-y2),|x-8|)=eq\f(1,2).化简，得3x2+4y2=48,整理，得eq\f(x2,16)+\f(y2,12)=1,所以，点P的轨迹是椭圆。18.解：解法一：根据题意，设椭圆的方程为eq\f(y2,a2)+\f(x2,a2-50)=1,设交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)将椭圆方程与直线y=3x-2联立，消去y，得：eq\f((3x-2)2,a2)+\f(x2,a2-50)=1,化简，整理，得：(10a2-450)x2+(600-12a2)x+(-a4+54a2-200)=0,所以，x1,x2为这个方程的两根，因为相交线段中点横坐标为eq\f(1,2),所以x1+x2=—eq\f(10a2-450,600-12a2)=-1,解得，a2=75.于是，因为c=5eq\r(2),所以，b2=25，所以椭圆的方程为eq\f(y2,75)+\f(x2,25)=1.解法二：设椭圆：〔a＞b＞0〕，那么a2-b2=50…①又设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，弦AB中点〔x0，y0〕∵x0=，∴y0=－2=－由…②解①，②得：a2=75，b2=25，椭圆为：=119.解设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由得(m+n)x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－m