浅谈含有绝对值不等式的解法

浅谈含有绝对值不等式的解法张兴兴摘要：不等式一直以来都是高考的重要内容之一，自从新课改以后，绝对值不等式被划入了选修局部。含绝对值不等式解题方法灵活要求逻辑思维强，是高考的重点，在高考中用含绝对值不等式考查学生也是一种趋势。本文从以下五个方面讨论了不同形式的解绝对值不等式，为解决这些问题大家快速方便、准确地选择适当的方法。关键词：不等式绝对值数形结合第一章课题的提出1.1课题选择的背景继义务教育阶段课程改革的全面推进，2011年新修的《普通高中数学课程标准实验》(以下简称标准)全国各地陆续进行新课改。贵州2012年将新课改投入高考以来已连续使用了三年。课改后高中的课程分为必修课程和选修课程。必修为了满足所有学生对数学的需求，选修那么满足不同学生对数学的开展要求必修五个模块、选修四个系列而绝对值不等式在选修4——5不等式选讲模块下在学习了必修5，不等式、一元二次不等式及根本不等式之后的专题也是对其稳固与深化。1.2课题研究的意义绝对值不等式可以与集合、函数、代数等知识结合，涉及的知识点广计算量不大且题简洁是考查学生灵活应用知识能力、逻辑思维能力和分析解决问题能力的常考题型，特别是在新课改以后减少学生的计算负担，去掉繁琐的计算。高考更青睐于用绝对值不等式来考查学生的灵活运用、逻辑思维、分析解决问题能力的考查，所以在高考中的地位不容小视。本文以解题入手决绝绝对值不等式问题，希望为学生学习快速准确应对绝对值不等式提供一些帮助。第二章解绝对值不等式2.1用定义法解含绝对值不等式根据绝对值的意义，即有:例2.1.1求关于x的不等式的解集。分析：结合高中课程标准实验教科书中的绝对值不等式的概念与定义，可以考虑先去掉绝对值符号，进一步化成一般的不等式，再进行求解。解：所以原不等式的解集为。2.2利用不等式的有关性质解含有绝对值不等式利用不等式的性质如不等式由此得原不等式的解；不等式由此得出与原不等式等价的两个不等式方程，分别求解两个不等式方程，得出的两个解取交集，即为原绝对值不等式的解。例2.2.1解关于x的不等式。分析：我们知道当c时，利用这个性质解：整理得所以x的解集为例2.2.2假设不等式的解集，求a的取值范围。分析：如果按照一般的方法去绝对值讨论计算量庞大，且容易出错。观察不等式左面结构不难想到不等式的性质，使不等式的求解过程更具简单化。解:，当从而当时，解为空集。所以a的取值范围为例设函数，证明。〔2014年全国二卷理科第24题第1问〕分析：此函数可以看成是关于两个含有绝对值符号的函数相加的问题，解决此类问题可以利用分段函数判断单调性能够求出来。但这样计算量大还含有未知数很容易出错观察且有两个绝对值相加那么我们可以用绝对值的性质来解此题简单容易准确率高解：由于，所以由绝对值性质所以。2.3、利用平方法解含绝对值不等式在不等对于不等式的左边和右边都是单一的一项的绝对值不等式情况，式的左边和右边各自平方使其去掉绝对值符号从而解答，这样做的好处在于不用去分析绝对值的定义防止了繁琐的分类讨论过程，在解题的格式上也显得比拟的简洁。但需要注意的是利用此类方法解题必须保证不等式两边均为非负数，否那么需要分类讨论。.3.1解不等式分析：因为此不等式两边都是单一的一项绝对值情况，即，所以可以对不等式两边同时进行平方。解：解得原不等式解集为。例2.3.2、解不等式。分析:因为两边都是非负数，所以可以用平方法解含绝对值的不等式解：讨论当；当；当。2.4、零点分段法解含绝对值不等式零点分段法顾名思义在于设零点和分段上面，如果数能够让中每一项绝对值都等于零，称为零点，这n个数〔零点〕将实数分成了n+1段，在每一段〔区间〕讨论绝对值去掉符号，结合区间最后计算出解集，这样的解题方法是解决绝对值较多的时候经常用的方法，对于绝对值符号较少的不等式也可用同样的方法，但过程比拟的多、思路简单，绝对值符号较少时一般不用此方法。例2.4.1解不等式。分析：此类题目是典型的含多个绝对值不等式问题，零点分段法是我们采取的最有效解决此类不等式的首选方法，即对自变量进行分段讨论。解：令解得零点-3，-2，2①②③④综上①②③④得所以不等式的解集为例2.4.2函数〔2012年理科全国二卷第24题〕〔1〕当时，求不等式的解集。〔2〕假设的解集包含的取值范围。分析：此题虽说是函数不等式问题但是含有多个绝对值可以用零点分段法来解题a=-3那么可以得到零点2,3进行分段谈论解：〔1〕当时，由令，得零点2、3①②③综上①②③得所以不等式的解集为分析:(2)通过变形可得含有3个绝对值本应找零点分段讨论但题目条件限制在所以可以省去找零点分段的过程直接在这段上考虑讨论解:变形得因为所以由条件得即所以a的取值范围2.5、数形结合法解含绝对值不等式利用绝对值的几何意义、数形结合，画出数轴，把绝对值问题化为数轴上两点间距离问题来求解数形结合直观、形象，化繁为简，多数适用于型不等式。数形结合的方法又可以分为两种，结合数轴和结合函数图像，有的同一道题两种方法都可用，根据问题的特点和学生的喜好选择最适当的方法。2.5.1数轴法数形结合：2.5.1对任意实数x,假设不等式恒成立，求h的取值范围。解：由绝对值的几何意义，令实数x,-1,2对应在实数上的点分别是P、M、N，原不等式等价于求成立，因为,点P在点M的左边时的值最小，最小值为-3所以，所以当时原不等式成立例2.5.2不等式的解集为〔2014年高考广东理科第9题〕绝对值的几何意义是距离，的几何意义为在数轴上x到1的距离，的几何意义为在数轴上x到-2的距离，那么的几何意义为在数轴上x到1与x到-2的距离和大于等于5当x在-2和1之间时，x到1与x到-2之间的距离为3，即；当x在1的右边时，取，x到1与x到-2之间的距离为5，即。所以当时，原不等式成立。同理当x在-2的左边，取时，x到1与x到-2之间的距离为5，即，所以当时原不等式成立。综上可得原不等式成立。5.2图像法数形结合：例2.5.3也可用函数图像法来解对任意实数x,假设不等式恒成立，求h的取值范围。解：如果把不等式的左边用分段方法看成一个分段函数，然后画出函数图像，通过图像看h的取值范围令要让恒成立，从图像可以看出故h符合题意例5也可用函数图像数形结合来解不等式的解集解：令不等式的左边为函数，将函数化为分段函数的形式，在画出分段函数的图像，结合图像求出不等式的解集令画出函数图像图形为由图像可以看出，当时,x的取值有两支和所以不等式的解集为。第三章结论绝对值不等式的题型解答关键在于去掉绝对值符号化为一般不等式求解这是思想，解题方法也不只限于上述的五种方法或许还有更优秀的方法，解题的方法不存在好与坏，解题因人而异适合题型和个人喜好的方法才是好方法。本文列出最为常见的五种方法，希望在大家找到适合自己的方法的道路上能够提供一些小小的帮助。参考文献：[1]普通高中课程标准实验教科书.数学选修4—5.人民教育出版社[2]曾光.含绝对值不等式的解法比拟[J].广东教育(高中版),2014,(第7期).[3]马洪超.解含绝对值不等式的捷径与误区[J].数学教学通讯,2013,(第32期).[4]蒋鼎宏.解绝对值不等式恒