2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练9幂函数

专练9幂函数[基础强化]一、选择题1．下列函数既是偶函数又是幂函数的是()A．y＝xB．y＝xeq\f(2,3)C．y＝xeq\f(1,2)D．y＝|x|答案：B2．若f(x)是幂函数，且满足eq\f(f（4）,f（2）)＝4，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))等于()A．4B．－4C．eq\f(1,4)D．－eq\f(1,4)答案：C解析：设f(x)＝xα，则eq\f(f（4）,f（2）)＝eq\f(4α,2α)＝4，∴2α＝4，∴α＝2，∴f(x)＝x2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).3．已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f(eq\f(\r(3),3))，b＝f(π)，c＝f(eq\f(\r(2),2))，则a，b，c的大小关系为()A．a<c<bB．a<b<cC．b<c<aD．b<a<c答案：A解析：由题意知，点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，所以m－1＝1，8＝(m－1)·mn，则m＝2，n＝3.即f(x)＝x3，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又eq\f(\r(3),3)<eq\f(\r(2),2)<1<π，所以f(eq\f(\r(3),3))<f(eq\f(\r(2),2))<f(π)，即a<c<b.4．若幂函数y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,5)))，则f(21－log23)为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,2)D．－1答案：C解析：∵幂函数y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,5)))，∴可设f(x)＝xα，∴5α＝eq\f(1,5)，解得α＝－1，∴f(x)＝x－1.∴f(21－log23)＝f(2log2eq\f(2,3))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－1)＝eq\f(3,2)，故选C.5．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，eq\r(3))，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数答案：D解析：设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将(3，eq\r(3))代入解析式得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝xeq\f(1,2).∴f(x)为非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选D.6．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为()A．m＝2B．m＝－1C．m＝－1或m＝2D．m≠eq\f(1±\r(5),2)答案：A解析：因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－m－1＝1，,－5m－3<0，))解得m＝2.7．设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)()A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数答案：A解析：∵f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又当x>0时，f′(x)＝ex＋e－x＋(ex－e－x)x>0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故选A.8．(多选)已知实数a，b满足aeq\s\up6(\f(1,2))＝beq\s\up6(\f(1,3))，则下列关系式中可能成立的是()A．0<b<a<1B．0<a<b<1C．1<a<bD．1<b<a答案：AC解析：由题可知a，b∈[0，＋∞)，设aeq\s\up6(\f(1,2))＝beq\s\up6(\f(1,3))＝m，则m≥0，画出y＝xeq\s\up6(\f(1,2))与y＝xeq\s\up6(\f(1,3))在[0，＋∞)上的图象如图．由图可知，当m＝0或m＝1时，a＝b；当0<m<1时，0<b<a<1；当m>1时，1<a<b.故选AC.9．(多选)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有()A.a＋b>0，ab<0B．a＋b<0，ab>0C．a＋b<0，ab<0D．以上都可能答案：BC解析：由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝eq\f(1,x3)；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝x3，在R上单调递增，且满足f(－x)＝－f(x).结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab>0(b<0)或ab<0(0<b<－a)，故BC都有可能成立．二、填空题10．已知a∈{－2，－1，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1，2，3}，若幂函数f(x)＝xa为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则a＝________.答案：－111．已知幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N*)满足f(2)<f(3)，则答案：f(x)＝x2解析：幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N*)满足f(2)<f(3)，故－k2＋k＋2>0，∴－1<k<2，又k∈N*，∴k＝1，f12．若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2-6m＋8在(0，＋答案：1解析：由已知得m2－4m＋4＝1，即m2－4m＋3＝0，解得m＝1或3.当m＝1时，f(x)＝x3，符合题意；当m＝3时，f(x)＝x－1，不符合题意．故m＝1.[能力提升]13．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则a－eq\f(1,b)＝()A．0B．1C．eq\f(1,2)D．2答案：A解析：因为BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，所以M(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))，N(eq\f(2,3)，eq\f(1,3))，分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝logeq\f(1,3)eq\f(2,3)，b＝logeq\f(2,3)eq\f(1,3)，∴a－eq\f(1,b)＝logeq\f(1,3)eq\f(2,3)－eq\f(1,log\f(2,3)\f(1,3))＝0.14．(多选)[2024·重庆开州区质量检测]已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的有()A．函数f(x)为增函数B．函数f(x)为偶函数C．若x＞1，则f(x)＞1D．若0＜x1＜x2，则eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))答案：ACD解析：将点(4，2)的坐标代入函数f(x)＝xα中得2＝4α，则α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2)).显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A正确．f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B不正确．当x＞1时，eq\r(x)＞1，即f(x)＞1，所以C正确．f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))≥0，若0＜x1＜x2，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x1）＋f（x2）,2)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))))eq\s\up12(2)＝(eq\f(\r(x1)＋\r(x2),2))2－(eq\r(\f(x1＋x2,2)))2＝eq\f(x1＋x2＋2\r(x1x2),4)－eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2\r(x1x2)－x1－x2,4)＝－eq\f(（\r(x1)－\r(x2)）2,4)＜0，即eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))成立，所以D正确．故选ACD.15．右图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±eq\f(1,2)四个值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2，2，eq\f(1,2)D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)答案：B解析：当x＝2，n取2，－2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)四个值时，依次对应的函数值为4，eq\f(1,4)，eq\r(2)，eq\f(\r(2),2)，因此有C1，C2，C3，C4对应的n值分