数学分析-测试试卷及答案

PAGEPAGE451综合测试试卷一计算题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）1、；2、；3、设为非零常数，则；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、若，为常数，则；15、。.二、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16、的值为（）A.；B.;C.不存在;D..17、（）A.；B.;C.;D..18、（）A.;B.;C.；D..19、若，则必有()A.;B.;C.；D..20、当时，以下四式中为无穷小量的是（）A.;B.;C.;D..21、当时，以下四式中为无穷大量的是（）A.;B.;C.;D..22、（）A.不存在;B.;C.;D..23、（）A.;B.;C.;D.不存在.24、（）A.;B.;C.;D..25、（）A.;B.;C.;D..三、计算题（本大题共3小题，每小题17分，共51分）26、;27、.28、.29、.30、.31、.32、设存在，且，求.33、.34、.35、.36、.37、.38、.39、.40、，.41、.42、.（提示：先用积分中值定理：，）综合测试试卷一参考答案一、计算题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16、C;17、B;18、B;19、D;20、A;21、D;22、B;23、B;24、B;25、C.三、计算题（本大题共3小题，每小题17分，共51分）26、；27、；28、；29、；30、；31、；32、；33、；34、；35、；36、；37、；38、解：用柯西收敛准则.取,令,,则,即充分大时,充分小(),而.所以不存在.39、；40、；41、；42、（提示：先用积分中值定理：，）。综合测试试卷二一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、已知，则.2、.3、求时,为了被积函数有理化,可做变换.4、.5、.6、.7、.8、.9、.10、.二、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11、设,则（）.A.;B.;C.;D..12、设,则（）.A.;B.;C.;D..13、设,则（）.A.;B.;C.;D..14、设,,,则（）.A.没有相同的原函数;B.与有相同的原函数，但与的原函数不等;C.都是的原函数;D.都是的原函数.15、设,则（）.A.;B.;C.;D..16、设,则（）.A.;B.;C.;D..17、设有原函数,则（）.A.;B.;C.;D..18、设,则（）.A.;B.;C.;D..19、设,则（）.A.;B.;C.;D..20、设,则（）.A.;B.;C.;D..三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）21、.22、.23、.24、.25、.26、27、.28、.29、.30、.31、.32、.33、.34、.35、.36、.37、.38、.综合测试试卷二参考答案一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、；2、；3、；4、.5、.6、.7、.8、.9、.10、.二、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11、D.12、B.13、A.14、D.15、A.16、A.17、B.18、A.19、B.20、D.三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）21、.22、.23、.24、.25、.26、.27、.28、.29、.30、.31、.32、.33、,其中.34、.35、.36、.37、.38、.综合测试试卷三填空题（每小题4分，共24分）1、=

2、=

3、=

4、设以4为周期，它在[-2，2]上的表达式为则的富里埃（Fourier）级数在[-4，2]上的和函数S(x)的表达式为=

5、若L为球面和平面的交线，则第一类曲线积分=

6、设：，则=

二、选择题（每小题4分，共24分）1、函数在

（A）不连续

（B）处处连续，但不一致连续（C）一致连续，但导函数不一致连续

（D）导函数一致连续2、如果函数在点（1，2）处的从点（1，2）到（2，2）的方向导数为2；从点（1，2）到（1，1）的方向导数为-2，则函数在（1，2）处的梯度为

（A）4

（B）-4

（C）2i-2j

（D）2i+2j3、函数项级数的收敛域为

（A）

（B）

（C）

（D）4、当时，为某一函数的全微分，则常数=

（A）1

（B）-1

（C）2

（D）-25、设，则=

（A）

（B）

（C）

（D）三、（10分）设，求。四、（10分）在可微，且，证明：存在，使得。五、（10分）设定义在，，又设分别在连续且在是的原函数。令其中选择使得在x=c连续，就下列情况，回答是否是的原函数。（1）在x=c连续；（2）x=c是的第一类间断点；（3）x=c是的第二类间断点。六、（10分）设是连续可导且严格单调增加函数。证明：其中是的反函数，而等号当且仅当时成立。七、（10分）证明：曲面上的切平面都与某一定直线平行，其中函数连续可微，常数a，b，c不同时为0。八、（10分）计算，a为实数。九、（10分）计算，其中D为，为常数，，常数。十、（10分）设流速，求下列情形的流量。（1）穿过圆锥形的侧表面，法向量朝外；（2）穿过上述圆锥面的底面，法向量朝外。十一、(11分)设其中是参数,求的取值范围,使得函数序列

在[0,1]上．一致收敛;成立;成立.十二、(11分)是周期为2的函数,且在区间[0,2]上定义为,求的Fourier展开式,并利用此结果证明:综合测试试卷三参考答案一、1.

2.

3.

04.

5.

6.

二、1.

B

2.

D

3.

D

4.

A

5.

B

6.

C.三、(1)先证明收敛,若,由对成立.故有下界,且故单调减少,则收敛.

若,显然对,,有上界,,

单调增加,则收敛,记.(2)由递归方程的既当时,;当时,.四、设由已知有,即,,下证有根.

若,平凡！否则,取,,当有在连续,可取得最大值也是极大值点,由Fermat引理,即五、关键是考虑是否成立．(1)故是在的原函数.(2)由上(1)而故不是

的原函数.(3)不能判断,例如:当时,是的第二类间断点.取当时,,是的原函数.当时,不存在,

不是的原函数.六、证:

左边=(后积分由代换得到)

当且仅当时,左边当时,由于,左边当时,左边>.七、解:

记则曲面S可写为=0,其上任一点处法向量与某直线方向向量垂直即有当满足恒有,可取曲面上任一点切平面与平行.八、解:

(1)当时,

(2)

类似可得当时,

故

九、解:

令

十、解:

(1)对记,其中(2)底面在面上投影十一、解:

(1)对实数,当时当时.显然,故当时,一致收敛于当时,取点到则当且仅当时,在[0,1]一致收敛于(2)

当时,则当且仅当时,积分和极限可交换次序.(3)当时,不趋于0则当时,求导与极限可交换次序.十二、解:

由收敛性定理

当时,级数收敛于令,有,即而故

综合测试试卷四一叙述题（每小题10分，共30分）叙述第二类曲线积分的定义。叙述帕塞瓦尔(Parseval)等式的内容(数学1了解,数学分析掌握)。叙述以为周期且在上可积函数的Fourier系数﹑Fourier级数及其收敛定理。二计算题（每小题10分，共50分）1．求，此处为联结三点的直线段。2．计算二重积分。其中是以和为边的平行四边形。3．一页长方形白纸，要求印刷面积占，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为，左部与右部之和为，试确定该页纸的长和宽，使得它的总面积为最小。4．计算三重积分。其中是椭球体。5．计算含参变量积分的值(数学1了解,数学分析掌握)。三讨论题（每小题10分，共20分）已知，试确定二阶偏导数与的关系。讨论积分的敛散性。综合测试试卷四参考答案一叙述题（每小题10分，共30分）设为定向的可求长连续曲线，起点为，终点为。在曲线上每一点取单位切向量，使它与的定向相一致。设=++是定义在上的向量值函数，则称为定义在上的第二类曲线积分（如果右面的第一类曲线积分存在）。2．函数在可积且平方可积，则成立等式。若是以为周期且在上可积的函数，则称为函数的Fourier系数，以的Fourier系数为系数的三角级数称为函数的Fourier级数，记为。收敛定理：设函数在上可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则的Fourier级数在收敛于。（1）在某个区间上是分段单调函数或若干个分段单调函数之和。（2）在处满足指数为的Holder条件。二计算题（每小题10分，共50分）1、解。在直线段上得在直线段上得在直线段上得所以。2、解.3、解由题意，目标函数与约束条件分别为与作Lagrange函数则有由此解得于是有并且易知它是极小值点.4、解由于，其中，这里表示椭球面或。它的面积为。于是。同理可得，。所以。5、计算含参变量积分的值。解因为，所以。注意到在域：上连续。又积分对是一致收敛的。事实上，当时，，但积分收敛。故积分是一致收敛的。于是，利用对参数的积分公式，即得。从而得。三讨论题（每小题10分，共20分）1、当时，。，，，，于是，当时，。当时，。2、首先注意到。若，则当充分大时，从而当充分大时函数是递减的，且这时。又因（对任何），故收敛。若，则恒有，故函数在上是递增的。于是，正整数，有故不满足Cauchy收敛准则，因此发散。综合测试试卷五一叙述题（每小题10分，共30分）叙述含参变量反常积分一致收敛的Cauchy收敛原理(数学1了解,数学分析掌握)。叙述Green公式的内容及意义。叙述n重积分的概念(数学1了解,数学分析掌握)。二计算题（每小题10分，共50分）1．计算积分，其中C为椭圆，沿逆时针方向。2．已知其中存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求，，。3．求椭球体的体积。4．若为右半单位圆周，求。5．计算含参变量积分()的值。三讨论题（每小题10分，共20分）若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。试讨论积分在每一个固定的处的一致收敛性(数学1了解,数学分析掌握)。讨论函数的连续性，其中在上是正的连续函数(数学1了解,数学分析掌握)。综合测试试卷五参考答案一叙述题（每小题10分，共30分）含参变量反常积分关于在上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的，存在与无关的正数，使得对于任意的，成立。Green公式：设为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如果函数在上具有连续偏导数，那么，其中取正向，即诱导正向。Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。3．设为上的零边界区域，函数在上有界。将用曲面网分成个小区域（称为的一个分划），记为的体积，并记所有的小区域的最大直径为。在每个上任取一点，若趋于零时，和式的极限存在且与区域的分法和点的取法无关，则称在上可积，并称此极限为在有界闭区域上的重积分，记为。二计算题（每小题10分，共50分）解令则.解令则，.故即解由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。作广义极坐标变换（）。这时椭球面化为。又，于是。所以椭球体积。解的方程为：。由，符号的选取应保证，在圆弧段上，由于，故而在圆弧段上，由于，故所以。解。当时，由于，故为连续函数且具有连续导数，从而可在积分号下求导。。于是，当时，（常数）。但是，，故，从而。三讨论题（每小题10分，共20分）解设为任一不为零的数，不妨设。取，使。下面证明积分在内一致收敛。事实上，当时，由于，且积分收敛，故由Weierstrass判别法知积分在内一致收敛，从而在点一致收敛。由的任意性知积分在每一个处一致收敛。下面说明积分在非一致收敛。事实上，对原点的任何邻域有：，有。由于，故取，在中必存在某一个，使有，即因此，积分在点的任何邻域内非一致收敛，从而积分在时非一致收敛。2．解当时，被积函数是连续的。因此，为连续函数。当时，显然有。当时，设为在上的最小值，则。由于及，故有。所以，当时不连续。综合测试试卷六选择题(每小题只有一个正确答案，请将正确答案的字母填在题后的括号内，每小题4分，共20分)1.设()A、；B、；C、；D、.2.设，则第一型曲线积分=()A、；B、；C、；D、.3.设具有连续的偏导数,且由方程能确定函数z=z(x,y),则()A、a；B、b；C、1；D、-1.4.设是由直线及围成的区域，则积分的积分值是()A、；B、；C、；D、.5.()A、；B、；C、13；D、-13.二、填空题(每小题3分，共15分)1..2.设=.3.在点（1，-1）处取得极值,则a=.4.，.5.若是闭曲线的正向，则第二型曲线积分.三、计算题(每小题10分，共30分)(1)求曲面在点(1,2,3)处的切平面与法线方程.(2)设,求.(3)应用高斯公式计算：四、(10分)求，其中为由平面与所围成的区域.五、(10分)计算，其中是上半球面.六、(15分)证明函数，在原点连续且偏导数存在，但偏导数在原点不连续，而在原点可微.综合测试试卷六参考答案一、（每小题4分，共20分)1．C;2．B;3．D；4;A5B。二、(每小题3分，共15分)1．2；2．；3.-5；4.；5.。三、(每小题10分，共30分)1.解:,,,,法向量为.且平面方程为,法线方程为。2.解:,3.解:令为，应用高斯公式原式=四、解:(10分)五、(10分)解:曲面的方程为：,由对称性可得，六、(15分)证明:由于，在原点连续.,同理可得.在原点偏导数存在.当时，,而.不存在，从而在点不连续.同理可得在点不连续.因为所以,进而在原点可微.综合测试试卷七一叙述题（每小题10分，共30分）1叙述二重积分的概念。2叙述Gauss公式的内容。3叙述Riemann引理。二计算题（每小题10分，共50分）1．求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。2．求平面，圆柱面，锥面所围成的曲顶柱体的体积。3．计算三重积分。其中。4利用含参变量积分的方法计算下列积分。5计算其中为上半椭球面定向取上侧.三证明题（每小题10分，共20分）1．若及证明不等式2．证明关于在上一致收敛，但