数学模型学习资料

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：雾霾时空分布研究一、摘要对于问题一，要对AQI中6个基本监测指标的相关与独立性进行定量分析，并要对PM2.5（含量）与其它5项分指标及其对应污染物（含量）之间的相关性及其关系进行分析。首先，取附表一中城区检测点的数据，用spss对给出的数据进行处理，得出两两之间的person系数，从而确定两两之间的定量关系。然后，用MATLAB作出五项指标分别与PM2.5的散点图，并用spss求出偏相关系数rij，根据散点图，得出五项指标与PM2.5基本满足线性关系，再根据person系数，偏相关系数，确定运用多元线性回归模型中，并将臭氧剔除，然后用软件计算出多元线性回归模型中参数估计量。=0.021;=-0.098;=0.492;=0.526;最后，对模型进行检验，求出R2=0.865，回归方程的显著性检验F=576.395，回归参数的显著性检验（t）都达到相关标准，所以模型的符合程度较好。对于问题二，根据附件一的数据，模拟出一个二维折线图来描述武汉11个地区PM2.5的时空分布以及相关规律。以天数作为横坐标，以PM2.5的排放量作为纵坐标，用不同的颜色来表示武汉内11个地区，具体图形如下所示。针对武汉11个地区的污染评估，小组采用TOPSIS模型求解。TOPSIS的全称是“逼近于理想值的排序方法”，这种方法的中心思想在于首先确定各项指标的正理想值和负理想值，所谓正理想解在本题中是指各项指标的最大排放量,而负理想解是指各项指标的最小排放量，然后求出11地区各项指标与理想值、负理想值之间的加权欧氏距离，由此得出各地区与最优解的接近程度，并将其作为评价武汉11个地区污染程度的标准，排序后最终得出武汉地区污染程度最严重的是青山钢花。对于问题三，PM2.5的生成最主要来源是人为生产的，有煤炭、室友及其他矿物燃烧产生工业废气，以及机动车产生的尾气排放，工业扬尘以及建筑工程都会造成PM2.5污染。PM2.5的演变与温度、风速、相对湿度呈正相关。在收集的数据中PM2.5并未出现超标状况还与降雨有关，雨水湿沉降是去除PM2.5的主要因素。关键字：相关系数、多元线性回归方程、TOPSIS模型二、问题重述大气为地球上生命的繁衍与人类的发展提供了理想的环境。它的状态和变化，直接影响着人类的生产、生活和生存。空气质量问题始终是政府、环境保护部门和全国人民关注的热点问题。2013年7月12日《中国新闻网》记者周锐报道：“2013年初以来，中国发生大范围持续雾霾天气。据统计，受影响雾霾区域包括华北平原、黄淮、江淮、江汉、江南、华南北部等地区，受影响面积约占国土面积的1/4，受影响人口约6亿人”（中国国家发展和改革委员会（发改委）2013年7月11日公布在官方网站上的一份报告披露了上述信息，中新社北京7月11日电）。对空气质量监测，预报和控制等问题，国家和地方政府均制定了相应政策、法规和管理办法。2012年2月29日，环境保护部公布了新修订的《环境空气质量标准》(GB3095—2012)[1]，本次修订的主要内容:调整了环境空气功能区分类，将三类区并入二类区；增设了颗粒物(粒径小于等于2.5μm)浓度限值和臭氧8小时平均浓度限值；调整了颗粒物(粒径小于等于10μm)、二氧化氮、铅和苯并(a)芘等的浓度限值；调整了数据统计的有效性规定。与新标准同步还实施了《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》(HJ633—2012)[2]。新标准将分期实施，京津冀、长三角、珠三角等重点区域以及直辖市和省会城市已率先开始实施并发布AQI(AirQualityIndex)；今年113个环境保护重点城市和国家环保模范城市也已经实施；到2015年所有地级以上城市将开始实施；2016年1月1日，将在全国实施新标准。上述规定中，启用空气质量指数AQI作为空气质量监测指标，以代替原来的空气质量监测指标――空气污染指数API(AirPollutionIndex)。原监测指标API为无量纲指数，它的分项监测指标为3个基本指标（二氧化硫2SO、二氧化氮2NO和可吸入颗粒物PM10）。AQI也是无量纲指数，它的分项监测指标为6个基本监测指标（二氧化硫2SO、二氧化氮2NO、可吸入颗粒物PM10、细颗粒物PM2.5、臭氧3O和一氧化碳CO等6项）。新标准中，首次将产生灰霾的主要因素——对人类健康危害极大的细颗粒物PM2.5的浓度指标作为空气质量监测指标[2]。新监测标准的发布和实施，将会对空气质量的监测，改善生存环境起到重要的作用。我们必须千方百计利用现有的数据开展研究，同时新课题、探索性研究、“灰箱问题”也有可能成为数学建模爱好者的用武之地。请研究以下问题。PM2.5的形成机理和过程比较复杂，主要来源有自然源（植物花粉和孢子、土壤扬尘、海盐、森林火灾、火山爆发等）和人为源（燃烧燃料、工业生产过程排放、交通运输排放等），可以分为一次颗粒物（即由排放源直接排放到大气中的颗粒物）和二次颗粒物（即通过与大气组成成分发生化学反应后生成的颗粒物）。PM2.5的成分主要由水溶性离子、颗粒有机物和微量元素等组成。有一种研究认为，AQI监测指标中的二氧化硫（SO2），二氧化氮（NO2），一氧化碳（CO）是在一定环境条件下形成PM2.5前的主要气态物体。1、根据附件1，利用或建立适当的数学模型，对AQI中6个基本监测指标的相关与独立性进行定量分析，尤其是对其中PM2.5（含量）与其它5项分指标及其对应污染物（含量）之间的相关性及其关系进行分析。2、根据附件1的数据，描述武汉地区内PM2.5的时空分布及其相关规律，并结合环境保护部新修订的《环境空气质量标准》分区进行污染评估，并分析说明武汉内那个地区的污染最为严重。3、查阅某地的气象数据，合理考虑风力、湿度等天气和季节因素的影响，建立PM2.5的发生和演变规律的数学模型，并利用数据进行定量与定性分析。三、模型假设1：假设附件一所给出的数据都真实有效，并且能反映问题2：假设第一问中只考虑五项指标对PM2.5的影响，其他因素不考虑3：TOPSIS模型的六项指标完全可以代表武汉市的污染评估标准；4：TOPSIS模型中六项指标的年平均值具有代表性；四、符号说明rij偏相关系数:多元线性回归方程的参数估计值X：各指标测量值矩阵；R：归一化处理后得到的矩阵；V：指标加权评价值矩阵；W：六项空气污染物指标权重；A+：TOPSIS模型正理想值；A-：TOPSIS模型负理想值；Li+：与正理想的值距离；Li-：与负理想值的距离；Yi：与理想值的接近度；五、问题分析5.1（1）根据附件1提供的数据，在去掉所有不完整数据的基础上，用spss求出各指标之间person系数，从而绘出相关系数表。表1：相关系数表SO2NO2PM10COO3PM2.5S0210.8090.7160.677-0.176O.677NO20.80910.78O.711-0.1160.693PM100.7160.7810.737-0.0750.829CO0.677O.7110.7371-0.346O.881O3-0.176-0.116-0.075-0.3461-0.345PM2.5O.6770.6930.829O.881-0.3451从上表可以的出六项指标之间的定量关系。（2）PM2.5（含量）与其他五项指标（含量）关系的散点图利用MATLAB软件绘制了PM2.5（含量）与其五项指标（含量）关系的散点图（图5.1.1、图5.1.2、图5.1.3、图5.1.4、图5.1.5）。图5.1.1PM2.5（含量）与SO2（含量）关系散点图图5.1.2PM2.5（含量）与NO2（含量）关系散点图图5.1.3PM2.5（含量）与PM10（含量）关系散点图图5.1.4PM2.5（含量）与C0（含量）关系散点图图5.1.5PM2.5（含量）与O3（含量）关系散点图(2)PM2.5(含量）与其他五项指标（含量）Person相关系数计算Person相关系数用来衡量两个数据集合是否在一条线上面，它用来衡量定距变量之间的线性关系。相关系数的绝对值越大，相关性越强，相关系数越接近于1或-1，相关度越强，相关系数越接近于0，相关度越弱。通常情况下通过以下取值范围判断变量的相关强度：相关系数取值为0.8-1.0时极强相关，0.6-0.8是强相关，0.4-0.6时中等程度相关，0.2-0.4时弱相关，0.0-0.2时极弱相关或无相关。相关系数的计算公式如下：r=利用spss软件计算出PM2,.5（含量）与其他五项指标（含量）的相关系数（表2）。表2：PM2.5(含量)与其他五项指标（含量）的相关系数表SO2NO2PM10COO3PM2.5person0.677**0.693**0.829**0.881**-0.345**显著性00000注：**表示显著性<0.01,极显著；*表示显著性<0.05,强显著。PM2.5(含量）与其他五项指标（含量）偏相关系数计算偏相关分析是指当两个变量同时与第三个变量相关时，将第三个变量的影响剔除，只分析另外两个变量之间的相关程度的过程。在多元相关的分许中，简单相关系数可能不能够真实的反映出变量X与Y之间的相关性，因为变量之间的关系复杂，它们可能不止一个变量的影响。这个时候偏相关系数是一个更好的选择。利用spss软件计算出PM2.5(含量）与其他五项指标（含量）偏相关系数（表3）。表3：PM2.5(含量）与其他五项指标（含量）偏相关系数SO2NO2PM10COO3PM2.5偏相关性0.039-0.142**0.594**O.637**-0.31**显著性O.4120.002000注：**表示显著性<0.01,极显著；*表示显著性<0.05,强显著。5.2(1)：根据附件一的数据，做出一个二维图形来描述武汉市PM2.5的时空分布以及相关规律。（2）针对武汉11个地区的污染评估，小组采用TOPSIS模型求解。这种方法的中心思想在于首先确定各项指标的正理想值和负理想值，所谓正理想解在本题中是指各项指标的最大排放量,而负理想解是指各项指标的最小排放量，然后求出11地区各项指标与理想值、负理想值之间的加权欧氏距离，由此得出各地区与最优解的接近程度，并将其作为评价武汉11个地区污染程度的标准，最终根据接近程度的大小进行排序从而得出相应结论。5.3自然过程也会产生PM2.5，但其主要来源还是人为排放。人类既直接排放PM2.5，也排放某些气体污染物，在空气中转变成PM2.5。直接排放主要来自燃烧过程，比如化石燃料(煤、汽油、柴油)的燃烧、生物质(秸秆、木柴)的燃烧、垃圾焚烧。在空气中转化成PM2.5的气体污染物主要有二氧化硫、氮氧化物、氨气、挥发性有机物。其它的人为来源包括：道路扬尘、建筑施工扬尘、工业粉尘、厨房烟气。自然来源则包括：风扬尘土、火山灰、森林火灾、漂浮的海盐、花粉、真菌孢子、细菌。六、模型的建立与求解6.1多元回归的预测模型设因变量y与自变量x1，x2，…，xm-1共有n组实际观测数据(见表4)。表4观测数据表变量y1y12y是一个可观测的随机变量，它受到m-1个非随机因素x1，x2，…，xm-1和随机因素的影响。若y与x1，x2，…，xm-1有如下线性关系(3.1)其中y为因变量x1，x2，…，xm-1为自变量,是m个未知参数；是均值为零，方差为的不可观测的随机变量,称为误差项,并通常假定。对于n(n≥p)次独立观测,得到n组数据(样本):（3.2）其中是相互独立的，且服从分布。令，，则(3.1)式用矩阵形式表示为:（3.3）6.2模型参数的估计回归理论模型确定后，利用收集、整理的样本数据对模型的未知参数给出估计。未知参数的估计方法最常用的是普通最小二乘法，它是经典的估计方法。对于不满足模型基本假设的回归问题，人们给出了一些新的方法，如岭回归、主成分回归、偏最小二乘估计等。但是它们都是以普通最小二乘法为基础。但参数变量较多时，计算量很大，一般采用计算机软件，如TSP、SPSS、SAS等。设分别是参数的最小二乘估计，则y的观测值可表示为:（3.4）其中k=1，2，…，N。是误差的估计值.又令为的估计值，有:（3.5）（3.5）式为观测值的回归拟合值，简称回归值或拟合值。相应的，称向量为因变量向量的回归值。则可以写为矩阵形式的方程或假设系数矩阵A满秩，求解上述矩阵方程得回归系数β的最小二乘法估计为：（3.9）即为回归系数β的最小二乘法估计。系数a模型非标准化系数标准系数tSig.B标准误差试用版1(常量)-5.046E-16.017.0001.000Zscore(二氧化硫).021.031.021.696.487Zscore(二氧化氮)-.098.034-.098-2.837.005Zscore(可吸入颗粒物).492.032.49215.561.000Zscore(一氧化碳).526.030.52617.481.000Zscore(臭氧)-.135.019-.135-6.961.000表4.10给出了回归方程的非标准化估计系数、标准化估计系数值、系数的统计显著性检验结果以及方差膨胀因子。因为估计方程的常数项和各变量系数对应的p值都小于0.05，因此均具有统计显著性。6.3.1回归方程的拟合优度检验拟合优度一般用于检验样本回归直线对观测值得拟合度。在一元线性回归方程中，用判定系数R2衡量估计方程对样本对观测值的拟合程度；在多元线性回归方程中，同样也可以。即SST=SSR+SSE，其中为总离差平方和，为回归平方和，它是反映回归效果的参数，为残差平方和。式中：为第i个样本点（）上的回归值。式中：为y的样本平均值。（3.11）的值越接近于1，表明回归方程对实际观测值的拟合度效果越好，相反越接近0，拟合效果越差。模型汇总b模型RR方调整R方标准估计的误差1.930a.865.863.36988471a.预测变量:(常量),Zscore(臭氧),Zscore(可吸入颗粒物),Zscore(二氧化硫),Zscore(一氧化碳),Zscore(二氧化氮)。b.因变量:Zscore(细颗粒物)图可见模型的负相关系数为0.930，判定系数0.865调整后的判定系数为0.863，模型拟合效果较好。6.3.2回归方程的整体显著性检验在一元线性回归中，回归系数显著性检验t检验与回归方程显著性检验的F检验是等价的，但是在多元线性回归中，就不等价了。F检验显著是说明对自变量x整体的线性回归效果显著的，但不等于y对于每一个自变量x的效果都显著；反之也不成立。Anovab模型平方和df均方FSig.1回归394.297578.859576.395.000a残差61.703451.137总计456.000456a.预测变量:(常量),Zscore(臭氧),Zscore(可吸入颗粒物),Zscore(二氧化硫),Zscore(一氧化碳),Zscore(二氧化氮)。b.因变量:Zscore(细颗粒物)给出了参与回归分析的方差分析结果及检验结果，回归方程的F值为576.395，p值为0.000，可见方程整体而言是显著的。6.4残差分析一个估计回归方程可能有较高的判定系数，也可能通过显著性检验，但是并不能说就是一个好模型，因为这些都是建立在模型假设基础上的，如果最初模型假设不真实，就要用残差分析验证。残差统计量a极小值极大值均值标准偏差N预测值-1.46870143.6606371.0000000.92988465457标准预测值-1.5793.937.0001.000457标准残差-8.4623.194.000.995457a.因变量:Zscore(细颗粒物)残差-3.129799841.18129802.00000000.36785124457根据上图残差基本分布在0附近，而且基本上满足正态分布。所以可得模型较好。Y=0.021x1-0.098x2+0.492x3+0.526x46.5.1：根据附件一的数据，利用SPSS软件模拟出武汉地区PM2.5的时空分布图如下：从上述图中可以看出，武汉地区PM2.5的总体趋势随时间先后呈现出先降低再上升接着降低的趋势。具体为：从2013年1月到2013年6月，PM2.5的排放量呈下降趋势；从2013年6月到2013年11月，呈现上升趋势；从2013年11月到2014年4月，呈现下降趋势。6.5.2：针对武汉市污染分区进行评估这个问题，小组通过建立TOPSIS模型来求解，具体步骤如下：TOPSIS的全称是“逼近于理想值的排序方法”，这种方法的中心思想在于首先确定各项指标的正理想值和负理想值，所谓正理想解在本题中是指各项指标的最小排放量,而负理想解是指各项指标的最大排放量，然后求出11地区各项指标与理想值、负理想值之间的加权欧氏距离，由此得出各地区与最优解的接近程度，作为评价武汉11个地区污染程度的标准，最终来确定出哪个地区的污染最为严重，具体步骤如下：数据结构：以P1,P2,P3,P4,P5,P6,分别表示二氧化硫，二氧化碳，可吸入颗粒物，一氧化碳，臭氧，细颗粒物这六项指标；分别用D1，D2，D3D4，D5，D6，D7，D8，D9，D10，D11来表示武汉“城区，武昌紫阳，东湖梨园，东湖高新，青山钢花，沉湖七壕，沌口新区，吴家山，汉阳月湖，汉口花桥，汉口江滩”11个城区；以Xij表示第i个地区的第j个指

标的测量:（在剔除不符合的数据后，取年平均值），如下表：表5：P1P2P3P4P5P6D13173832845129D23179902647124D32861892639126D43370883050127D54078953144147D62030732358115D72970842846125D82670892646136D93374842853122D103172883045134D112876832840122则地区的指标测量年平均值矩阵为：X=由于各指标的量纲不一样，需要对上述矩阵进行归一化处理，得到如下矩阵：R=

确定评价指标的权重指标时一般采用专家意见调查法或层次分析法(AHP)等方法，这些方法存在着较大的主观因素，不同人对各个指标的重要程度有不同的评价。本文对TOPSIS法改进采用信息嫡的概念来确定评价指标的权重，一定程度上避免了主观因素的影响。信息嫡是利用数学概率理论来衡量信息不确定性的一种测算方法，它表明数据分布越分散，其不确定性也越大。各个指标的决策信息可以用其信息嫡值来表示：

其中，本题中m=11,从而可以得到k=0.41703,符合。经上述公式计算可得权重向量:W=(0.163,0.180,0.165,0.164,0.164,0.164,0.164)；而在确定各指标的权重因子后，可计算地区的指标加权评价矩阵为：V=从中可以得出，正理想值和负理想值的指标加权评价值向量分别为:A+=（0.0523,0.0499,0.0470,0.0438,0.0489,0.0447）A-=（0.0264,0.0185,0.0335,0.0330,0.0329,0.0356）地区污染严重性的评价值与最理想的评价值集合和最不理想的评价值集合之间的距离可利用如下的n维欧几里得公式进行计算：Li+=,(i=1,2,...,m)Li-=,(i=1,2,...,m)各地区的TOPSIS评价值计算公式，根据TOPSIS评价值大小可以对地区污染程度进行排序。Yi=得到下表：表6：L+iL-iYiD10.01860.03320.640927D20.01830.03630.664835D30.02730.02420.469903D40.01540.03440.690763D50.01170.04500.793651D60.04470.01600.263591D70.01910.03010.611789D80.02270.03070.574906D90.01580.03590.694391D100.01810.03380.651252D110.02420.03280.575439从上表可以得出，根据与理想值的接近度Yi武汉市内11个地区的污染程度从重到轻排序为：D5>D9>D4>D2>D10>D1>D7>D11>D8>D3>D6。即污染最严重的是青山钢花这个地区，污染程度最轻的是沉湖七壕。:6.6PM2.5的演变规律监测期间PM2.5质量浓度具有一定的阶段性变化特点，相比较于温度变化有一定的对应关系。高质量浓度段对应高气温端，低浓度段对应低于低温段。主要由于温度升高，加速空气扰动有利于武汉市内各污染源排放出的细粒子的传输；温度升高增强大气中气态污染物的化学活性，有利于二次粒子生成；温度的升高，空气中的细粒子的布朗运动加剧，使得大气中的细粒子相互碰撞几率增大。风速的大小决定了污染物冲淡作用的大小一般情况下随着风速的增大，单位时间内从污染源排放出出来的污染物被很快的拉长，这是混入的大气量越多，污染物浓度月薪，因此在其他条件不变下，污染物浓度与风速成反比。风是边界层内影响污染物稀释扩散的重要因子，风速是造成快速水平输送或平流的主要原因。风速小污染物不易扩散，但是风速过大，地面起尘也会使污染变得较为严重。只有在相对适宜的风速范围内，污染物才能很好的扩散，近地面空气质量达到最好。PM2.5在质量浓度为15km/h时出现明显拐点，可看出风速小于15km/h时，PM2.5质量浓度随风速减小而降低，有利于沙尘颗粒物的扩散；当风速达到15km/h以上时，PM2.5质量浓度随风速的增大而升高。 在收集的数据中，降水位22天，9天为晴天或多云，由上图可看出降水条件对相对湿度影响很大，相对湿度在80-90%之间，PM2.5质量浓度比有降雨的天气高，相对湿度大，PM2.5值也大。在有降雨天气里，相对湿度增大对应低浓度的PM2.5，相对湿度与PM2.5质量浓度呈负相关。相对湿度与PM2.5质量浓度呈正相关，发生在降水的天气除外，当空气中水汽多时，可以使PM2.5在空气中停留，造成污染增大。当出现降水天气时，降水将大气中的污染物夹带，溶解或冲刷下来，使污染物浓度降低，由于PM2.5为大气中悬浮的粒径较细的颗粒物，沉降是主要清除方式。但在相对湿度一样的情况下，PM2.5质量浓度也有较大的变化，说明PM2.5质量浓度还受到其他气象因素的影响。六、模型的评价与改进问题一：该多元线性回归模型的相符程度较高，在一定程度上能够反映出各个指标之间的相关的线性关系，但是并不是每一个自变量和因变量之间都是严格的线性关系，或者说线性关系并不是那么的强，导致模型在预测时会产生偏离的情况，此时只能对模型进行进一步的改进，比如将相关性弱的自变量采用权重分析法这样的分析方法，将两个模型结合会有较好的结果。问题二：应用TOPSIS模型进行综合评价，该方法对原始数据进行同趋势和归一化处理，不仅消除了不同量纲的影响，又能充分利用原始数据信息；同时，TOPSIS模型中的权重值是通过相应公式求解，相比其他综合评价方法，权重不用事先给出，很大程度上避免了主观性这一缺点，该方法可以定量评价不同单元的优劣程度，结果客观，准确。当然，运用TOPSIS模型也存在着缺点，比如模型中的正理想值和负理想值求解相对较难。问题三：通过对不同影响因素逐个单一比较分析，能更清晰地看出PM2.5在不同因素影响下