高中数学第五章三角函数5.3诱导公式1学案含解析新人教A版必修第一册

5．3诱导公式(1)内容标准学科素养(二)(三)(四)．直观想象数学运算2.了解诱导公式的意义和作用.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.授课提示：对应学生用书第87页[教材提炼]知识点一诱导公式(二)eq\a\vs4\al(预习教材，思考问题)如图，作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？知识梳理公式二sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.知识点二诱导公式(三)eq\a\vs4\al(预习教材，思考问题)如图，作P1关于x轴的对称点P3，那么P1与P3点的坐标有什么关系？知识梳理公式三sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.知识点三诱导公式(四)eq\a\vs4\al(预习教材，思考问题)如图，作P1关于y轴的对称点P4，那么OP1与OP4所表示的角有什么关系？函数值有什么关系？知识梳理公式四sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．[自主检测]1．已知tanα＝4，则tan(π－α)等于()A．π－4 B．4C．－4 D．4－π答案：C2．sin585°的值为()A．－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)答案：A3．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，则sin(π－α)＝________.答案：eq\f(\r(5),5)4．若tan(π＋α)＝eq\f(1,3)，则tanα＝________.答案：eq\f(1,3)授课提示：对应学生用书第88页探究一给角求值[例1]求下列各三角函数的值：(1)sin(－945°)；(2)cos(－eq\f(16π,3))；(3)sineq\f(4,3)π·cos(－eq\f(19,6)π)·taneq\f(21,4)π.[解析](1)法一：sin(－945°)＝－sin945°＝－sin(225°＋2×360°)＝－sin225°＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)＝sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).(2)法一：cos(－eq\f(16π,3))＝coseq\f(16π,3)＝cos(eq\f(4π,3)＋4π)＝coseq\f(4π,3)＝cos(π＋eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).法二：cos(－eq\f(16π,3))＝cos(eq\f(2π,3)－6π)＝coseq\f(2π,3)＝cos(π－eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).(3)原式＝sineq\f(4π,3)·cos(2π＋eq\f(7π,6))·tan(4π＋eq\f(5π,4))＝sineq\f(4π,3)·coseq\f(7π,6)·taneq\f(5π,4)＝sin(π＋eq\f(π,3))·cos(π＋eq\f(π,6))·tan(π＋eq\f(π,4))＝(－sineq\f(π,3))·(－coseq\f(π,6))·taneq\f(π,4)＝(－eq\f(\r(3),2))×(－eq\f(\r(3),2))×1＝eq\f(3,4).利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：求值：cos(2nπ＋eq\f(2π,3))·sin(nπ＋eq\f(4π,3))．解析：①当n为奇数时，原式＝coseq\f(2π,3)·(－sineq\f(4π,3))＝cos(π－eq\f(π,3))·[－sin(π＋eq\f(π,3))]＝(－coseq\f(π,3))·sineq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(\r(3),4).②当n为偶数时，原式＝coseq\f(2π,3)·sineq\f(4π,3)＝cos(π－eq\f(π,3))·sin(π＋eq\f(π,3))＝(－coseq\f(π,3))·(－sineq\f(π,3))＝－eq\f(1,2)×(－eq\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(3),4).探究二给值求值[例2][教材P195第8题拓展探究](1)已知sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，则sin(eq\f(4,3)π－x)＝________.[解析]sin(eq\f(4,3)π－x)＝sin[π＋(eq\f(π,3)－x)]＝－sin(eq\f(π,3)－x)＝－eq\f(1,3).[答案]－eq\f(1,3)(2)已知sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，且0＜x＜eq\f(π,2)，则tan(eq\f(2,3)π＋x)＝________.[解析]∵0＜x＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)＜eq\f(π,3)－x＜eq\f(π,3).又sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)＞0，∴0＜eq\f(π,3)－x＜eq\f(π,3).cos(eq\f(2,3)π＋x)＝cos[π－(eq\f(π,3)－x)]＝－cos(eq\f(π,3)－x)＝－eq\r(1－sin2\f(π,3)－x)＝－eq\r(1－\f(1,3)2)＝－eq\f(2\r(2),3)，sin(eq\f(2,3)π＋x)＝sin[π－(eq\f(π,3)－x)]＝sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，∴tan(eq\f(2,3)π＋x)＝eq\f(sin\f(2,3)π＋x,cos\f(2,3)π＋x)＝eq\f(\f(1,3),－\f(2\r(2),3))＝－eq\f(\r(2),4).[答案]－eq\f(\r(2),4)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))的值．解析：因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3)，sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(2,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)－eq\f(2,3)＝－eq\f(2＋\r(3),3).(1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．探究三化简三角函数式[例3]化简cos(eq\f(4n＋1,4)π＋x)＋cos(eq\f(4n－1,4)π－x)(n∈Z)．[解析]原式＝cos(nπ＋eq\f(π,4)＋x)＋cos(nπ－eq\f(π,4)－x)．(1)当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝cos[(2k＋1)π＋eq\f(π,4)＋x]＋cos[(2k＋1)π－eq\f(π,4)－x]＝－cos(eq\f(π,4)＋x)－cos(－eq\f(π,4)－x)＝－2cos(eq\f(π,4)＋x)；(2)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，原式＝cos(2kπ＋eq\f(π,4)＋x)＋cos(2kπ－eq\f(π,4)－x)＝cos(eq\f(π,4)＋x)＋cos(－eq\f(π,4)－x)＝2cos(eq\f(π,4)＋x)．故原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2cos\f(π,4)＋x，n为奇数,2cos\f(π,4)＋x，n为偶数)).利用诱导公式化简三角函数式的注意点(1)当碰到kx±α(k∈Z)的形式时，要注意对k分奇数和偶数进行讨论，其目的在于将不符合条件的问题，通过分类使之符合条件，达到能利用公式的形式．(2)要注意观察角之间的关系，巧妙地利用角之间的关系，会给问题的解决带来很大的方便，如kπ－α＝2kπ－(kπ＋α)，k∈Z.化简：cos(kπ＋eq\f(π,6))sin(kπ－eq\f(2,3)π)(k∈Z)．解析：当k＝2n(n∈Z)时，原式＝cos(2nπ＋eq\f(π,6))sin(2nπ－eq\f(2π,3))＝－coseq\f(π,6)sineq\f(2π,3)＝－coseq\f(π,6)sin(π－eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,6)sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(3,4).当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝cos(2nπ＋π＋eq\f(π,6))sin(2nπ＋π－eq\f(2π,3))＝cos(π＋eq\f(π,6))sineq\f(π,3)＝－coseq\f(π,6)sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(3,4).综上，原式＝－eq\f(3,4).授课提示：对应学生用书第89页一、角的终边关系与诱导公式的拓展在弧度制下，常见的对称关系如下(可结合图象分析)：α与β的终边关于x轴对称α＋β＝2kπ(k∈Z)α与β的终边关于y轴对称α＋β＝(2k＋1)π(k∈Z)α与β的终边关于直线y＝x对称α＋β＝eq\f(4k＋1,2)π(k∈Z)α与β的终边关于直线y＝－x对称α＋β＝eq\f(4k－1,2)π(k∈Z)α与β的终边在同一条直线上α－β＝kπ(k∈Z)α与β的终边垂直α－β＝eq\f(4k±1,2)π(k∈Z)公式一～四拓展为sin(nπ＋α)＝(－1)nsinα，cos(nπ＋α)＝(－1)ncosα.[典例]化简：eq\f(sin[k＋1π＋θ]·cos[k＋1π－θ],sinkπ－θ·coskπ＋θ)(k∈Z)．[解析]原式＝eq\f(－1k＋1sinθ·－1k＋1cos－θ,－1ksin－θ·－1kcosθ)＝eq\f(－12k＋2sinθcosθ,－12ksin－θcosθ)＝－1.[答案]－1二、盲目套