北师大版数学选修2-1讲义第2章1　从平面向量到空间向量

§1从平面向量到空间向量学习目标：1.了解空间向量的有关概念．(重点)eq\a\vs4\al(2).理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)eq\a\vs4\al(3.)会求简单空间向量的夹角．(难点)1．空间向量的有关概念(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量．(2)长度：空间向量的大小叫作向量的长度或模．(3)表示法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(①几何表示法：空间向量用有向线段表示.,②字母表示法：用字母表示，若向量a的,起点是A，终点是B，则向量a也可以,记作\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|\o(AB,\s\up8(→))|或|a|.))(4)自由向量：与向量的起点无关的向量．思考：在空间中，将所有的单位向量的起点移到同一点A，那么它们的终点构成怎样的图形？[提示]球面．2．空间向量的夹角(1)文字叙述：a，b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，则∠AOB叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．(2)图形表示：角度表示〈a，b〉＝0〈a，b〉是锐角〈a，b〉是直角〈a，b〉是钝角〈a，b〉＝π(3)范围：0≤〈a，b〉≤π．(4)空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么称a与b互相垂直，记作a⊥b.3．向量与直线、平面(1)向量与直线与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向．如图所示．l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称eq\o(AB,\s\up8(→))为直线l的方向向量，显然，与eq\o(AB,\s\up8(→))平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量平行于该直线．(2)向量与平面如图，如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．思考：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，[提示]不是，每一条棱所在的直线的方向向量有多个，例如直线AB的方向向量可以是eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(A1B1,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(C1D1,\s\up8(→))等，每一个表面的法向量也有多个．例如平面ABB1A1的法向量可以是eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(D1A1,\s\up8(→))，eq\o(B1C1,\s\up8(→))等．1.判断正误(1)直线l的方向向量是唯一的． ()(2)0向量是长度为0，没有方向的向量． ()(3)空间向量就是空间中的一条有向线段． ()(4)不相等的两个空间向量的模必不相等． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2.给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②空间向量是不能平行移动的；③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；④如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等．其中正确的是()A．①② B．②③C．①③ D．①③④C[①正确，零向量的方向是任意的．②错误，空间向量可以平行移动．③正确，向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．④错误，如果两个向量不相同，它们的长度可以相等．]3.平面的法向量与平面中任意一个向量的夹角是________．90°[平面的法向量垂直于平面中任意向量，故夹角为90°.]4.如图所示，a、b是两个空间向量，则eq\o(AC,\s\up8(→))与eq\o(A′C′,\s\up8(→))是________向量，eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(B′A′,\s\up8(→))是________向量．[答案]相等相反空间向量的有关概念【例1】(1)给出下列命题：①若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；②若空间向量m、n、p满足m＝n、n＝p，则m＝p；③空间中任意两个单位向量必相等，其中正确的个数为()A．0 B．3C．2 D．1(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？②试写出模为eq\r(5)的所有向量；③试写出与向量eq\o(AB,\s\up8(→))相等的所有向量；④试写出向量eq\o(AA′,\s\up8(→))的所有相反向量．D[(1)①中向量a与b的方向不一定相同，故①错；命题②显然正确；对于命题③，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故③错．故选D.](2)①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量eq\o(AA′,\s\up8(→))，eq\o(A′A,\s\up8(→))，eq\o(BB′,\s\up8(→))，eq\o(B′B,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))，eq\o(C′C,\s\up8(→))，eq\o(DD′,\s\up8(→))，eq\o(D′D,\s\up8(→))，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为eq\r(5)，故模为eq\r(5)的向量有eq\o(AD′,\s\up8(→))，eq\o(D′A,\s\up8(→))，eq\o(A′D,\s\up8(→))，eq\o(DA′,\s\up8(→))，eq\o(BC′,\s\up8(→))，eq\o(C′B,\s\up8(→))，eq\o(B′C,\s\up8(→))，eq\o(CB′,\s\up8(→)).③与向量eq\o(AB,\s\up8(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq\o(A′B′,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(D′C′,\s\up8(→)).④向量eq\o(AA′,\s\up8(→))的相反向量有eq\o(A′A,\s\up8(→))，eq\o(B′B,\s\up8(→))，eq\o(C′C,\s\up8(→))，eq\o(D′D,\s\up8(→)).在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．1．(1)下列说法中，正确的是()A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B．若非零向量eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(CD,\s\up8(→))是共线向量，则A，B，C，D四点共线C．若a∥b，b∥c，则a∥cD．零向量与任意向量平行(2)在如图所示的平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，与向量eq\o(AA1,\s\up8(→))相等的向量有________个(不含eq\o(AA1,\s\up8(→)))．(1)D(2)3[(1)A项错，因为两个向量起点相同，且是相等的向量，所以终点必相同．B项错，若eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(CD,\s\up8(→))共线，则eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(CD,\s\up8(→))的基线平行或重合，所以A，B，C，D不一定在同一条直线上．C项错，若beq\a\vs4\al(＝)0，a∥0，0∥c，则a与c不一定平行，D项正确．(2)与向量eq\o(AA1,\s\up8(→))相等的向量为：eq\o(BB1,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))共有3个．]直线的方向向量与平面的法向量【例2】已知正四面体A－BCD.(1)过点A作出方向向量为eq\o(BC,\s\up8(→))的空间直线；(2)过点A作出平面BCD的一个法向量．[解](1)如图，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为eq\o(BC,\s\up8(→))的空间直线.(2)如图，取△BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量eq\o(AO,\s\up8(→))可作为平面BCD的一个法向量．1．直线的方向向量就是与直线平行的非零向量，对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的．2．找平面的法向量要注意几何体中的垂直关系，特别是成面面垂直关系．3．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定：(1)唯一一条过点A且平行于向量a的直线；(2)唯一一个过点A且垂直于向量a的平面．2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，指出直线AP[解]取BB1中点Q，C1C中点M，连接C1Q，BM，PM，则PMDCAB.所以四边形APMB为平行四边形，所以APBM.又在四边形BQC1M中，BQC1M，所以四边形BQC1M为平行四边形所以BMC1Q，所以AP∥C1Q，故eq\o(C1Q,\s\up8(→))为直线AP的一个方向向量．求空间向量的夹角[探究问题]1．常用什么方法把空间中两条异面直线所成的角转化为平面内两条直线所成的角？[提示]常采取平移的方法，把空间两条异面直线所成的角转化为平面内两条直线所成的角．2．能否借助上述思想探求空间两向量的夹角？[提示]可以．求解空间两向量的夹角与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，必须把两向量移至共同起点处，比如若〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,4)，而〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))〉＝eq\f(3π,4).【例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(A1C1,\s\up8(→))〉；(2)〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(C1A1,\s\up8(→))〉；(3)〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(A1D1,\s\up8(→))〉．[解](1)由题意知，eq\o(A1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))，∴〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(A1C1,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉．又∵∠CAB＝eq\f(π,4)，故〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(A1C1,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,4).(2)〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(C1A1,\s\up8(→))〉＝π－〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(A1C1,\s\up8(→))〉＝π－eq\f(π,4)＝eq\f(3π,4).(3)〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(A1D1,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,2).1.(变结论)在本例条件不变的情况下，求〈eq\o(AB,\s\up8(→))1，eq\o(DA,\s\up8(→))1〉.[解]如图，连接B1C，则B1C∥A1且eq\o(DA,\s\up8(→))1＝eq\o(CB,\s\up8(→))1，连接AC，在△ACB1中，因为AC＝AB1＝B1C故∠AB1C＝eq\f(π,3)，〈eq\o(AB,\s\up8(→))1，eq\o(DA,\s\up8(→))1〉＝〈eq\o(AB,\s\up8(→))1，eq\o(CB,\s\up8(→))1〉＝eq\f(π,3).2.(变条件)把本例条件换为直三棱柱ABC－A1B1C1(1)求〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AA,\s\up8(→))1〉，〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(A1C1,\s\up8(→))〉，〈eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(C1C,\s\up8(→))〉；(2)若AB＝4，AC＝3，BC＝5，求〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(C1A1,\s\up8(→))〉．[解](1)由向量夹角的定义及直三棱柱的性质可得〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))〉＝90°，〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(A1C1,\s\up8(→))〉＝0°，〈eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(C1C,\s\up8(→))〉＝180°.(2)由勾股定理得：∠BAC＝90°.而eq\o(C1A1,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))，∴〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(C1A1,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝90°.求空间向量夹角的关键是平移向量，使它们的起点相同．在平移的过程中，要充分利用已知图形的特点，寻找线线平行，找出所求的角，这一过程可简单总结为：(1)通过平移找角，(2)在三角形中求角．提醒：在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而向量夹角的范围是[0，π]，比如〈a，b〉与〈－a，b〉两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的．1．下列有关空间向量的说法中，正确的是()A．如果两个向量的模相等，那么这两个向量相等B．如果两个向量方向相同，那么这两个向量相等C．如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量D[相等向量要求模相等且方向相同，故A和B错误；平行向量可以方向相同也可以方向相反，故C错误；D显然正确．]2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，与向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))的模相等的向量有()A．7个 B．3个C．5个 D．6个A[|eq\o(