高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第五讲数系的扩充与复数的引入学案（含解析）新人教版

第五讲数系的扩充与复数的引入知识梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)知识点一复数的有关概念(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．i是虚数单位．规定i2＝－1.由此可知：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，eq\f(1,i)＝－i，全体复数所成的集合C叫复数集．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c且b＝d.(3)共轭复数：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝__a－bi__.(4)复数的模：在复平面内，若点Z的坐标为(a，b)，则向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作__|z|__或__|a＋bi|__，即|z|＝|a＋bi|＝r＝__eq\r(a2＋b2)__(r≥0，r∈R)．知识点二复数的几何意义(1)复平面的概念：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做__实轴__，y轴叫做__虚轴__.(2)实轴上的点都表示__实数__；除了原点外，虚轴上的点都表示__纯虚数__.(3)复数的几何表示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一),\s\do5(对应))复平面内的点Z(a，b)eq\o(,\s\up7(一一),\s\do5(对应))向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).知识点三复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__(a－c)＋(b－d)i__；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)；(c＋di≠0)．(2)复数的运算律：复数加法满足交换律、结合律，即①交换律：z1＋z2＝__z2＋z1__；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋x3)__.eq\x(归)eq\x(纳)eq\x(拓)eq\x(展)1．两个虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小．2．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.3．z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2.eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2－x＋1＝0没有解．(×)(2)复数z＝3－2i中，虚部为－2i.(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(×)(5)若a∈C，则|a|2＝a2.(×)题组二走进教材2．(理)(选修2－2P116A组T2改编)(文)(选修1－2P106A组T2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(B)A．1 B．2C．1或2 D．－1[解析]依题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2.故选B．3．(理)(选修2－2P116B组T1改编)(文)(选修1－2P112A组T5改编)设i为虚数单位，若复数z满足z＝eq\f(1－i2,1＋i)，则z＝(D)A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i[解析]由题意，得z＝eq\f(1－i2,1＋i)＝eq\f(－2i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(－2－2i,2)＝－1－i.4．(理)(选修2－2P111A组T2改编)(文)(选修1－2P105T3改编)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数eq\f(z,1＋i)的点是(D)A．E B．FC．G D．H[解析]由图知复数z＝3＋i，则eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝2－i，所以复数eq\f(z,1＋i)所对应的点是H，故选D．题组三走向高考5．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内eq\o(z,\s\up6(－))对应的点位于(C)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]由题意，得eq\o(z,\s\up6(－))＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C．6．(2020·课标Ⅲ，2,5分)复数eq\f(1,1－3i)的虚部是(D)A．－eq\f(3,10) B．－eq\f(1,10)C．eq\f(1,10) D．eq\f(3,10)[解析]利用复数除法法则得eq\f(1,1－3i)＝eq\f(1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq\f(1＋3i,10)，所以虚部为eq\f(3,10)，选D．7．(2020·课标Ⅰ，2,5分)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(C)A．0 B．1C．eq\r(2) D．2[解析]∵z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，∴|z|＝|1＋i|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，故选C．考点突破·互动探究考点一复数的基本概念——自主练透例1(1)(2020·浙江，2,4分)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(C)A．1 B．－1C．2 D．－2(2)(2020·江苏，2,5分)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是__3__.(3)(2021·辽宁鞍山一中模拟)在复平面内，复数eq\f(－2＋3i,3－4i)所对应的点位于(B)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(4)(2020·课标Ⅰ，1,5分)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(D)A．0 B．1C．eq\r(2) D．2[解析](1)因为a－1＋(a－2)i为实数，a∈R，所以aa＝2，故选C．(2)z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i＋1＝3＋i，∴z的实部为3.(3)设z＝eq\f(－2＋3i,3－4i)，则z＝－eq\f(18,25)＋eq\f(1,25)i，所以复数eq\f(－2＋3i,3－4i)在复平面内所对应的点位于第二象限．故选B．(4)∵z＝1＋i，∴z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i＋i2－2－2i＝－2，∴|z2－2z|＝|－2|＝2.故选D．[易错点](4)复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))做题时容易忽略b≠0，从而造成错误．考点二复数的运算——多维探究角度1复数的乘法运算例2(1)(2020·课标Ⅱ，2,5分)(1－i)4＝(A)A．－4 B．4C．－4i D．4i(2)(2019·北京)已知复数z＝2＋i，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝(D)A．eq\r(3) B．eq\r(5)C．3 D．5(3)(2021·长春质检)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2等于(A)A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i[解析](1)(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝4i2＝－4，故选A．(2)解法一：因为z＝2＋i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝2－i，所以z·eq\o(z,\s\up6(－))＝(2＋i)(2－i)＝4－2i＋2i－i2＝4－(－1)＝5，故选D．解法二：z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝22＋12＝5，故选D．(3)z2＝－2＋i，z1·z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A．角度2复数的除法运算例3(1)(2020·新高考Ⅰ，2,5分)eq\f(2－i,1＋2i)＝(D)A．1 B．－1C．i D．－i(2)(2017·天津)已知a∈R，i为虚数单位，若eq\f(a－i,2＋i)为实数，则a的值为__－2__.[解析](1)eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(－5i,5)＝－i.故选D．(2)eq\f(a－i,2＋i)＝eq\f(a－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(2a－1－a＋2i,5)＝eq\f(2a－1,5)－eq\f(a＋2,5)i为实数，则eq\f(a＋2,5)＝0，a＝－2.故填－2.角度3复数的综合运算例4(1)(2020·课标Ⅲ，2,5分)若eq\o(z,\s\up6(－))(1＋i)＝1－i，则z＝(D)A．1－i B．1＋iC．－i D．i(2)(2020·浙江期末联考)已知i是虚数单位，若复数z满足eq\f(4,1＋z)＝1－i，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝(B)A．4 B．5C．6 D．8(3)(2020·课标Ⅱ，15,5分)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，则|z1－z2|＝__2eq\r(3)__.[解析](1)∵eq\o(z,\s\up6(－))(1＋i)＝1－i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i，∴z＝i，故选D．(2)由eq\f(4,1＋z)＝1－i，得z＝eq\f(4,1－i)－1＝1＋2i，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝5，故选B．(3)设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝eq\r(3)＋i，∴a＋c＝eq\r(3)，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，∴8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，∴|z1－z2|＝eq\r(a－c2＋b－d2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋d2－2ac＋2bd)＝eq\r(8－－4)＝2eq\r(3).名师点拨复数运算的技巧(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．(2)记住以下结论，可提高运算速度．①(1±i)2＝±2i；②eq\f(1＋i,1－i)＝i；③eq\f(1－i,1＋i)＝－i；④eq\f(a＋bi,i)＝b－ai；简单的复数方程的解法(1)利用复数的四则运算求解即可．(2)待定系数法：设z＝a＋bi(a、b∈R)代入方程，利用复数相等的条件、列出关于a、b的方程组(复数问题实数化)求解．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2020·新高考Ⅱ，2,5分)(1＋2i)(2＋i)＝(B)A．－5i B．5iC．－5 D．5(2)(角度2)(2020·天津，10,5分)i是虚数单位，复数eq\f(8－i,2＋i)＝__3－2i__.(3)(角度3)(2020·北京，2,4分)在复平面内，复数z对应的坐标是(1,2)，则i·z＝(B)A．1＋2i B．－2＋iC．1－2i D．－2－i(4)(角度1)(2020·安徽毛坦厂中学模拟)设复数z的共轭复数是eq\o(z,\s\up6(－))，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·eq\x\to(z2)是实数，则实数t等于__eq\f(3,4)__.[解析](1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋4i＋i－2＝5i，故选B．(2)eq\f(8－i,2＋i)＝eq\f(8－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(16－10i－1,5)＝eq\f(15－10i,5)＝3－2i.(3)由复数的几何意义可知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i，故选B．(4)z1·eq\x\to(z2)＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i是实数，则4t－3＝0，∴t＝eq\f(3,4).考点三复数的几何意义——师生共研例5(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)则(C)A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1(2)在复平面内，复数z与eq\f(6,z－i)对应的点关于实轴对称，则复数eq\o(z,\s\up6(－))＝(C)A．2i B．－3iC．2i或－3i D．－2i或－3i[解析](1)解法一：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C．解法二：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C．解法三：在复平面内，点(1,1)所对应的复数z＝1＋i满足|z－i|＝1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，∴排除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z＝2i满足|z－i|＝1，但点(0,2)不在选项B的圆上，∴排除B．故选C．(2)设z＝a＋bi，a，b∈R，eq\f(6,z－i)＝eq\f(6,a＋b－1i)＝eq\f(6a,a2＋b－12)－eq\f(6b－1,a2＋b－12)i，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6a,a2＋b－12),b＝\f(6b－1,a2＋b－12)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＝3或－2))，∴z＝－2i或3i，eq\o(z,\s\up6(－))＝2i或－3i，故选C．名师点拨复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up6(→)).(2)|z|表示复平面内复数z对应的点到原点的距离；|z1－z2|表示复平面内复数z1、z2对应的两点间的距离．(3)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．〔变式训练2〕(1)(2021·广西柳州摸底)已知复数z在复平面内对应点是(1，－2)，i为虚数单位，则eq\f(z＋2,z－1)＝(D)A．－1－i B．1＋iC．1－eq\f(3,2)i D．1＋eq\f(3,2)i(2)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(D)A．eq\f(3,4)＋eq\f(1,2π) B．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C．eq\f(1,2)－eq\f(1,π) D．eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)[解析](1)由题知z＝1－2i，∴eq\f(z＋2,z－1)＝eq\f(1－2i＋2,1－2i－1)＝eq\f(3－2i,－2i)＝eq\f(3－2i2i,4)＝1＋eq\f(3,2)i.(2)由|z|≤1知复数z在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y≥x的区域，该区域的面积为eq\f(1,4)π－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,4)π－eq\f(1,2)，故满足y≥x的概率为eq\f(\f(1,4)π－\f(1,2),π×12)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).故选D．名师讲坛·素养提升与复数模有关问题的解法例6(1)若复数z满足|z|＝1，则|z－3＋4i|的最大值为__6__.(2)若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq\r(2)，则|z1－z2|＝__eq\r(2)__.(3)若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝4，则点z的轨迹方程为__eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1__.[分析]利用复数模的几何意义求解．[解析](1)令z＝x＋yi(x，y∈R)，∵|z|＝1，∴x2＋y2＝1，|z－3＋4i|表示圆x2＋y2＝1上的点到Z(3，－4)的距离，∵|OZ|＝5，∴|z－3＋4i|的最大值为6.(2)由题意知|eq\o(OZ1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OZ2,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，即|eq\o(OZ1,\s\up6(→))|2＋2eq\o(OZ1,\s\up6(→))·eq\o(OZ2,\s\up6(→))＋|eq\o(OZ2,\s\up6(→))|2＝2，∴eq\o(OZ1,\s\up6(→))·eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OZ1,\s\up6(→))⊥eq\o(OZ2,\s\up6(→))，∴|eq\o(OZ1,\s\up6(→))－eq\o(OZ2,\s\up6(→))|2＝2，∴|eq\o(OZ1,\s\up6(→))－eq\o(OZ2,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴|z1－z2|＝eq\r(2).(3)|z＋i|＋|z－i