2023高考数学二轮专题复习与测试专题强化练（十五）函数的图象与性质

专题强化练(十五)函数的图象与性质1．(2022·湖北模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋ln2，x≤2,f（x－4），x>2))，则f(2022)＝()A．eq\f(2,e) B．2eC．eq\f(2,e2) D．2e2解析：因为当x>2时，f(x)＝f(x－4)，所以T＝4，所以f(2022)＝f(2)＝e2＋ln2＝e2·eln2＝2e2，故选D.答案：D2．(2022·广州二模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝(eq\f(1,2))|x| B．y＝|x|－x2C．y＝|x|－1 D．y＝x－eq\f(1,x)解析：由y＝(eq\f(1,2))|x|为偶函数，在(0，＋∞)上y＝(eq\f(1,2))x为单调递减函数，故A错误；y＝|x|－x2为偶函数，在(0，eq\f(1,2))内递增，在(eq\f(1,2)，＋∞)内递减，故B错误；y＝|x|－1为偶函数，在(0，＋∞)内递增，故C正确；f(x)＝x－eq\f(1,x)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故D错误．故选C.答案：C3．(2022·松滋市校级模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则()A．f(－eq\f(1,2))＝0 B．f(－1)＝0C．f(2)＝0 D．f(4)＝0解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，即f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，所以f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三个选项未知．故选B.答案：B4．(2022·日照三模)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则不等式f(x)＋f(x－2)≥0的解集为()A．[1，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2] D．(－∞，1]解析：定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，因为f(x)是奇函数，在(－∞，0]上递减，所以f(x)在(0，＋∞)上递减，所以f(x)在R上是减函数，又由f(x)是奇函数，则不等式f(x)＋f(x－2)≥0可化为f(x－2)≥f(－x)，所以x－2<－x，x≤1.故选D.答案：D5．(2022·大冶市校级模拟)函数f(x)＝eq\f(e|x|,cosx＋x4)在区间[－π，π]上的图象大致为()ABCD解析：因为f(－x)＝eq\f(e|－x|,cos（－x）＋（－x）4)＝eq\f(e|x|,cosx＋x4)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A项；当x＝π时，f(π)＝eq\f(eπ,cosπ＋π4)＝eq\f(eπ,π4－1)>0，排除D项；因为eπ<e＝e3eq\r(e)，cosπ＋π4>－1＋34＝80，所以f(π)<1，排除C项．故选B.答案：B6．(2022·襄城区校级四模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0，1)时，f(x)＝2x，则f(eq\f(11,2))＝()A．－2eq\r(2)B．－eq\r(2)C.eq\r(2)D．2eq\r(2)解析：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数的周期T＝4，又f(x)为奇函数且f(2＋x)＝－f(x)，所以f(2－x)＝－f(－x)＝f(x)，所以f(x)关于x＝1对称，因为x∈(0，1)时，f(x)＝2x，则f(eq\f(11,2))＝f(eq\f(3,2))＝f(eq\f(1,2))＝2eq\a\vs4\al(\f(1,2))＝eq\r(2).故选C.答案：C7．(2022·佛山二模)设a，b，c∈R且a≠0，函数g(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝(x＋2)g(x)，若f(x)＋f(－x)＝0，则下列判断正确的是()A．g(x)的最大值为－aB．g(x)的最小值为－aC．g(2＋x)＝g(2－x)D．g(2＋x)＝g(－x)解析：因为函数g(x)＝ax2＋bx＋c，所以f(x)＝(x＋2)·g(x)＝(x＋2)(ax2＋bx＋c)＝ax3＋(b＋2a)x2＋(c＋2b)·x＋2c，又因为f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为定义域R上的奇函数；所以f(0)＝0，即c＝0，由f(－x)＝－f(x)，得a(－x)3＋(b＋2x)(－x)2＋(c＋2b)(－x)＝－[ax3＋(b＋2a)x2＋(c＋2b)x]，所以b＋2a＝0，解得b＝－2a；所以g(x)＝ax2－2ax＝a(x2－2x)＝a(x－1)2－a，且a≠0；对于A，a>0时，g(x)有最小值－a，所以选项A错误；对于B，a<0时，g(x)有最大值－a，所以选项B错误；对于C，g(x)对称轴是x＝1，不是x＝2，所以g(2＋x)＝g(2－x)不成立，选项C错误；对于D，由g(2＋x)＝g(－x)，得g(1＋x)＝g(1－x)，所以g(x)关于x＝1对称，选项D正确．故选D.答案：D8．(2022·日照一模)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(2)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．b<c<a解析：奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)，可得g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，即g(x)为偶函数，当x≥0时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)≥0，即有g(x)在[0，＋∞)单调递增．因为a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，2<log25.1<3，1<2<2，则1<2<2<log25.1<3，可得g(2)<g(log25.1)<g(3)，即b<a<c，故选B.答案：B9．(多选题)(2022·威海三模)已知函数f(x)＝eq\r(|x＋a|－a)－x，则()A．当a＝1时，函数f(x)的定义域为[－2，0]B．当a＝0时，函数f(x)的值域为RC．当a＝－1时，函数f(x)在R上单调递减D．当a∈(0，eq\f(1,4))时，关于x的方程f(ax)＝a有两个解解析：对于A，当a＝1时，f(x)＝eq\r(|x＋1|－1)－x，由|x＋1|－1≥0，解得x≥0或x≤－2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2]∪[0，＋∞)，故A错误；对于B，当a＝0时，f(x)＝eq\r(|x|)－x，定义域为R，当x≥1时，f(x)≤0；当x<1时，f(x)>0.所以函数f(x)的值域为R，故B正确；对于C，当a＝－1时，f(x)＝eq\r(|x－1|＋1)－x，当x≥1时，f(x)＝eq\r(x)－x＝－(eq\r(x)－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)在[1，＋∞)上递减，当x<1时，f(x)＝eq\r(2－x)－x，在(－∞，1)上递减，因为f(1)＝0，所以函数f(x)在R上单调递减，故C正确；对于D，由题意知f(ax)＝eq\r(|ax＋a|－a)－ax，f(ax)＝a，即为eq\r(|ax＋a|－a)＝a＋ax，设a＋ax＝t，因为a∈(0，eq\f(1,4))，a＋ax≥a，所以t≥0，则eq\r(t－a)＝t，即a＝－t2＋t＝－(t－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)，若方程f(ax)＝a有两个解，即a∈(0，eq\f(1,4))，故D正确．故选BCD.答案：BCD10．(多选题)(2022·湖北模拟)已知函数f(x)＝|x|＋|x|eq\a\vs4\al(\f(1,2))－cosx，则下列说法正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)在(0，＋∞)上单调递减C．f(x)是周期函数D．f(x)≥－1恒成立解析：f(－x)＝|－x|＋|－x|eq\a\vs4\al(\f(1,2))－cos(－x)＝|x|＋|x|eq\a\vs4\al(\f(1,2))－cosx＝f(x)，则f(x)是偶函数，故A正确；当x>0时，f(x)＝x＋xeq\a\vs4\al(\f(1,2))－cosx，f′(x)＝1＋eq\f(1,2\r(x))＋sinx>0恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故B错误；因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)不可能是周期函数，故C错误；因为f(x)在[0，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥f(0)＝0＋0－1＝－1，故D正确．故选AD.答案：AD11．(多选题)(2022·淄博三模)已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x)＋f(2－x)＝2，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于x＝1对称B．f(x＋4)＝f(x)C．若函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(x)在区间[2021，2022]上单调递增D．若函数f(x)在区间(0，1)上的解析式为f(x)＝lnx＋1，则f(x)在区间(2，3)上的解析式为f(x)＝ln(x－1)＋1解析：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝2，则f(x)的图象关于点(1，1)对称，A错误；对于B，f(x)是偶函数且满足f(x)＋f(2－x)＝2，则有f(－x)＋f(2－x)＝2，即f(x)＋f(x＋2)＝2，同时有f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，则有f(x＋4)＝f(x)，B正确；对于C，函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，且f(x)的图象关于点(1，1)对称，则f(x)在[1，2]上也是增函数，又由f(x＋4)＝f(x)，则f(x)在区间[2021，2022]上单调递增，C正确；对于D，若x∈(2，3)，x－2∈(0，1)，则f(x－2)＝ln(x－2)＋1，又由f(x)＋f(x－2)＝2，则f(x)＝2－ln(x－2)－1＝1－ln(x－2)，D错误．故选BC.答案：BC12．(多选题)(2022·青岛二模)已知函数f(x)的定义域为R，g(x)＝f(2－x)－f(2＋x)，h(x)＝f(2－x)＋f(x)，则下述正确的是()A．g(x)为奇函数B．g(x)为偶函数C．h(x)的图象关于直线x＝1对称D．h(x)的图象关于点(1，0)对称解析：因为g(x)＝f(2－x)－f(2＋x)，所以g(－x)＝f(2＋x)－f(2－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，A正确，B错误；因为h(x)＝f(2－x)＋f(x)，所以h(2－x)＝f(x)＋f(2－x)＝h(x)，即h(x)的图象关于x＝1对称，C正确，D错误．故选AC.答案：AC13．(2022·黄州区校级模拟)已知函数f(x)＝eq\f(2x＋a,2x－1)是奇函数，则实数a的值为________．解析：因为f(x)＝eq\f(2x＋a,2x－1)是奇函数，由奇函数性质可得f(－x)＝－f(x)，所以eq\f(2－x＋a,2－x－1)＝eq\f(2x＋a,2x－1)，整理得(a－1)(2x－1)＝0恒成立，所以a＝1.答案：114．(2022·淄博三模)设f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0<x<2,3（x－2），x≥2))，若f(a)＝f(a＋2)，则a＝________．解析：函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0<x<2,3（x－2），x≥2))，所以函数每一段均单调递增，又因为f(a)＝f(a＋2)，所以eq\r(a)＝3(a＋2－2)，所以a＝9(a＝0舍)．答案：915．(2022·顺德区三模)已知函数f(x)＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称，若f(2x－1)>eq\f(3,2)，则x的取值范围为________．解析：因为f(x)＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称且定义域为R，所以f(0)＝1＋a＝0，所以a＝－1，f(x)＝2x－2－x在R上单调递增，由f(2x－1)>eq\f(3,2)＝f(1)得2x－1>1，所以x>1.故答案为{