2018届河北省定州高三上学期期中考试数学试题（解析版）

2018届河北省定州高三上学期期中考试数学试题（解析版）一、选择题1.已知函数，则的值为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】函数化为：，，有：，所以，．选B.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系,对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.2.定义在上的函数与其导函数满足，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】令，其导数为由知，，则函数在R上为增函数，所以，化简得：，故选A.3.设满足，且在上是增函数，且，若函数对所有的，当时都成立，则的取值范围是（）A.B.或或C.或或D.【答案】B【解析】若函数对所有的都成立，由已知易得的最大值是1，∴，设，欲使恒成立，则

或或，故选B.4.已知函数（其中为自然对数底数）在取得极大值，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为所以可得。当由可得在上递增，得在上递减，所以在取得极小值，无极大值，不符合题意；当令得或，只有当时，由可得在，上递增，得在上递减，在取得极大值，所以函数（其中为自然对数底数）在取得极大值，则的取值范围是,故选D.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、分类讨论思想、.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.5.已知为奇函数，，若对恒成立，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由于为奇函数，故，可得；因为对恒成立，所以，而=，所以，从而要求，在上恒成立，，故选A.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性及最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，只需.6.已知函数有三个不同的零点，，（其中），则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】令f（x）=0，分离变量可得a=，令g（x）=，由g′（x）==0，得x=1或x=e．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，e）时，g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0．即g（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a==，令μ=，则a=﹣μ，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，对于μ=，μ′=则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．画其简图，不妨设μ1＜μ2，则μ1=，μ2===μ3，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣μ1）2（1﹣μ2）（1﹣μ3）=[（1﹣μ1）（1﹣μ2）]2=[1﹣（1﹣a）+（1﹣a）]2=1．故选：D．点睛：先分离变量得到a=，令g（x）=．求导后得其极值点，求得函数极值，则使g（x）恰有三个零点的实数a的取值范围由g（x）==，再令μ=，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再结合着μ=的图象可得到（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．7.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.函数是周期函数且最小正周期为B.函数是奇函数C.函数在区间上的值域为D.函数在是增函数【答案】C【解析】由知，当时，而，所以∴，即值域为，故选C.8.设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为（）A.B.C.D.无法确定【答案】B【解析】由题意，易得，直线的方程为：，设P，则=∴故选：B9.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设公差为，则，解得，所以该金杖的总重量，，解得，故选C.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.10.设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵曲线上存在点∴函数（）在上是增函数，根据单调性可证即在上有解，分离参数，，，根据是增函数可知，只需故选A.点睛：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题.解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题.11.已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为()A.B.3C.D.【答案】A【解析】令，易得与互为反函数与关于直线对称原命题等价于在上恒成立.记，记，同理可得，综上的最大值为，故选A【点睛】本题的关键步骤有：观察发现与互为反函数；将原命题等价转化为在上恒成立；利用导数工具求的最小值，从而求得；12.已知为奇函数，与图像关于对称，若，则（）A.2B.-2C.1D.-1【答案】B【解析】根据互为反函数的意义可知：，又，所以，故选B.二、填空题13.函数，若使得，则__________.【答案】【解析】，其中，，可知当时，，，而，当且仅当时等号成立，故，当且仅当，解得，故填.14.如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）.①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.【答案】①③④【解析】①根据条件，所以平面，故不可能垂直平面，所以错误；②正确；③若，则，显然一个三角形中不能两个直角，错误；④若，则中两个直角，错误，故选①③④.15.已知函数，则的取值范围是__________.【答案】【解析】因为，所以是偶函数，又，所以原不等式可化为，易知是上的增函数，故有，解得，故填.点睛：本题主要考查函数的奇偶性的判定，函数单调性的应用，同时考查了单调性的应用，属于中档题.解题时，一定要注意判断奇偶性时，先分析函数的定义域是否关于原点对称，单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论，如果是基本初等函数构成的函数，可以直接分析其单调性.16.体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是_________．【答案】【解析】设，则，体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，，得，由，得或（舍去），，由题意知点为线段的中点，从而在中，，解得，当截面垂直于时，截面圆的半径为，故截面圆面积最小值为，故答案为.三、解答题17.设函数，.（1）关于的方程在区间上有解,求的取值范围；（2）当时，恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)的取值范围为；(2)的取值范围为.【解析】试题分析：（1）方程等价于，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得的取值范围；（2）恒成立等价于恒成立，两次求导，求得的最小值为零，从而可得实数的取值范围.试题解析：（1）方程即为，令，则，当时，随变化情况如表：↗极大值↘，当时，，的取值范围是.（2）依题意，当时，恒成立，令，则，令，则当时，，函数在上递增，，存在唯一的零点，且当时，，当时，，则当时，，当时，，在上递减，在上递增，从而，由得，两边取对数得，，即实数的取值范围是.18.设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积.（1）求点的轨迹方程；（2）在点的轨迹上有一点且点在轴的上方，，求的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设点的坐标为，表示出两直线的斜率，利用斜率之积等于建立方程，化简即可求出轨迹方程；（2）点的坐标为，利用斜率公式及夹角公式，可得的关系，再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系，即可解出的范围.试题解析：设点的坐标为因为点坐标为，所以直线的斜率同理，直线的斜率由已知有化简，得点的轨迹方程为方法一：设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，因为点的坐标为在点的轨迹上，所以得，因为，，.所以解得.方法二：设点的坐标为，点的坐标分别为直线的斜率，直线的斜率由得所以（1）又由于点的坐标为为在点的轨迹上，所以得，代入（1）得.因为，，.所以解得.方法三设点的坐标为，点的坐标分别为直线的斜率，直线的斜率由得所以（1）又由于点的坐标为为在点的轨迹上，所以代入（1）得，，，，.所以解得.方法四：设点的坐标为，点的坐标分别为直线的斜率，直线的斜率由得所以（1）将代入（1）得，，.因为，，.所以解得.方法五设点的坐标为，点的坐标分别为直线的斜率，直线的斜率由得.所以解得.点睛：本题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．19.设等比数列的公比为，前项和.（1）求的取值范围；（2）设，记的前项和为，试比较与的大小.【答案】（1）；（2）或时，；或时，；，或时，.【解析】试题分析：（1）由可得，根据等比数列前n项和公式，当时，，分析分子分母同号异号的不同情况，解出的取值范围，当时，成立；（2）把的通项公式代入，可得和的关系，进而可知和的关系，再根据（1）中的得范围来判断与的大小.试题解析：（1）因为是等比数列，可得.当时，，当时，，即上式等价于不等式组：①或②解①式得；解②，由于可为奇数、可为偶数，得.综上，的取值范围是.（2）由得，.于是.又因为，且或，所以，当或时，，即；当或时，，即；当，或时，，即.20.如图，圆：．（1）若圆与轴相切，求圆的方程；（2）求圆心的轨迹方程；（3）已知，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由。【答案】（1）；（2）（3）存在，使得.【解析】试题分析：在圆的方程中，令，可得关于的一元二次方程的判别式等于零，由此求得的值，从而求得所求圆的方程。(2)消去圆心坐标中的参数即可先求出，假设存在实数，当直线直线与轴不垂直时，设直线