黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学必修二：第1章132球的体积和表面积课时训练

【课时训练】第一章空间几何体第1.3.2节 球的体积和表面积一、选择题1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）A.1倍B.2倍C.倍D.倍2.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）A.B.C.D.3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16πB.20πC.24πD.32π4.已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=,则球的体积与三棱锥体积之比是（）A.πB.2πC.3πD.4π5.如图1，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）图1A.S1＜S2B.S1＞S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定二、填空题6.若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.7.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________.8.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm3.三、解答题9.图2是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？图210.阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个发现是：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球．在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的eq\f(2,3)，球的表面积也是圆柱全面积的eq\f(2,3).请你试着证明．11.有一个倒圆锥形的容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水，并且放入一个半径是r的钢球，这时球面恰好与水面相切，那么将球从圆锥形容器中取出后水面高多少？参考答案1.分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2、16πr2、36πr2，（倍）.答案：C2.分析：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×知，a=1，则此球的直径为.答案：A3.分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=，所以球的表面积为S=4πR2=24π.答案：C4.分析：由题意得SO=r为三棱锥的高，△ABC是等腰直角三角形，所以其面积是×2r×r=r2,所以三棱锥体积是，又球的体积为，则球的体积与三棱锥体积之比是4π.答案：D5.分析：如图1，连OA、OB、OC、OD，则VA—BEFD=VO—ABD＋VO—ABE＋VO—BEFD+VO—ADF，VA—EFC=VO—AFC＋VO—AEC＋VO—EFC，又VA—BEFD=VA—EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋SBEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.图1答案：C6.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为=5，所以球的表面积是4π×52=100π.答案：100π7.分析：长方体的对角线为，则球的半径为,则球的表面积为4π()2=14π.答案：14π8.分析：设四个实心铁球的球心为O1、O2、O3、O4，其中O1、O2为下层两球的球心，A、B、C、D分别为四个球心在底面的射影，则ABCD是一个边长为cm的正方形，所以注水高为(1+)cm.故应注水π(1+)4×πcm3.答案：（+）π9.解：因为圆锥形铅锤的体积为×20=60π（cm3），设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为=100πx（cm3）.所以有60π=100πx，解此方程得（cm）.答：杯里的水下降了0.6cm.10.解：设圆的半径为R，球的体积与圆柱的体积分别为V球和V柱，球的表面积与圆柱的全面积分别为S球及S柱，则有∵V球＝eq\f(4,3)πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3，∴V球＝eq\f(2,3)V柱．S柱＝2πR·2R＋2πR2＝6πR2，S球＝4πR2＝eq\f(2,3)S柱．11.解：如右图，当球在容器内时，水面高度为3r，水面半径为eq\r(3)r，则V水＝V圆锥－V球＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)r)2·3r－eq\f(4,3)πr3＝eq