2018届河南省南阳市第学高三第十四次考试数学试题

2018届河南省南阳市第一中学高三第十四次考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则=()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，集合，，则，故选C.2．已知向量，，则下列向量中与垂直的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意，向量，则，对于A中，，即与不垂直，A不符合题意；对于B中，，即与不垂直，B不符合题意；对于C中，，即与不垂直，B不符合题意；对于D中，，即与垂直，D符合题意，故选D.3．设等比数列的前项和为，若，则（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】A【解析】根据题意，等比数列中，有，则，，，因为是等比数列，则有，解可得，故选A.4．如图，曲线把边长为4的正方形分成黑色部分和白色部分．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设曲线与线段的公共点分别为，设的中点为，则,因为曲线关于点对称，所以图中曲线与线段围成的左（白），右（黑）两部分面积相等，所以图中黑色部分的面积等于矩形的面积，所以所求概率为，故选A.5．若是第二象限角，且，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为位第二象限角，且，所以，所以，故选C.6．已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由指数函数的图象与性质，可知，所以，故选A.7．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作，它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（）A.120B.84C.56D.28【答案】B【解析】运行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故选C.8．某校有，，，四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：甲说：“、同时获奖”；乙说：“、不可能同时获奖”；丙说：“获奖”；丁说：“、至少一件获奖”.如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（）A.作品与作品B.作品与作品C.作品与作品D.作品与作品【答案】D【解析】根据题意，作品中进行评奖，由两件获奖，且有且只有二位同学的预测是正确的，若作品与作品获奖，则甲、乙，丁是正确的，丙是错误的，不符合题意；若作品与作品获奖，则乙、并、丁是正确的，甲是错误的，不符合题意；若作品与作品获奖，则甲、乙，丙是正确的，丁是错误的，不符合题意；只有作品与作品获奖，则乙，丁是正确的，甲、丙是错误的，符合题意，综上所述，获奖作品为作品与作品，故选D.9．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据三视图可得该几何体是由棱长为的正方体挖去两个底面半径为，母线长为的圆锥所得如图所示的组合体，则该组合体的侧面积为两个底面的面积为，两个圆锥的侧面积为，所以该组合体的表面积为，故选B.10．已知是定义在上的偶函数，且时，均有，，则满足条件的可以是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，A中，函数，则，不满足，所以不正确；B中，函数不满足，所以不正确；C中，函数，则，且，同理时，，显然成立，所以C是正确的；D中，，不满足，即不满足，所以是错误的，综上所述，函数是正确的，故选C.11．已知，为双曲线的左、右焦点，为上异于顶点的点，直线分别与以，为直径的圆相切于，两点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：由题意过点O2作AO1的垂线，结合勾股定理和圆的几何性质即可求得的值.详解：如图所示，为线段中点，为线段的中点，过点O2作AO1的垂线，垂足为O3，由图可知：，，则.本题选择B选项.点睛：本题主要考查双曲线的几何性质，圆与圆的位置关系，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．已知数列的前项和为，，且，则所有满足条件的数列中，的最大值为（）A.3B.6C.9D.12【答案】B【解析】当时，，即，由于函数的图象的对称轴为，当且仅当最大时，取得最大值，当时，，化为，所以或，所以数列从第三项开始，每一项是由前一项加1或乘以得到，又，所以且为偶数）即，可得，当时，取得最大值，当时，取得最小值为，所以当时，取得最大值，对应取得最大值为，故选B.点睛：本题主要考查数列的递推关系，等差数列与等比数列的通项公式及不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．解答中利用数列的递推关系式，化简得到数列从第三项开始，每一项是由前一项加1或乘以得到时解得关键.二、填空题13．已知复数满足，则__________．【答案】1【解析】由，得，则.14．若满足约束条件，则的取值范围为__________．【答案】【解析】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，平移目标函数，当目标函数过点时，取得最小值，当目标函数过点时，取得最大值；由，求得，的最小值为，由，求得，的最大值为，所以的取值范围是.15．已知分别为椭圆的长轴端点和短轴端点，是的焦点．若为等腰三角形，则的离心率等于__________．【答案】【解析】设椭圆的标准方程为，由题意可知：设分别为椭圆的左顶点及上顶点，则，则，则，由，整理得，由，则，解得或，又由，则.点睛：本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．16．已知底面边长为，侧棱长为的正四棱锥内接于球．若球在球内且与平面相切，则球的直径的最大值为__________．【答案】8【解析】如图所示，正四棱锥内接于球，与平面交于点，正方形中，，在直角三角形中，，设球的半径为，则在直角三角形中，，解得，所以球的直径为，当求与平面相切且与球相切时，球的直径最大，又因为球，所以球的直径的最大值为.点睛：本题考查了有关球的组合体问题，解答时要认真审题，着重考查了学生的推理、运算能力和空间想象能力的因公，同时注意球的性质的合理运用是解答此类问题的关键，对于求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.三、解答题17．的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，，为边上一点，且，求.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理及，得，又由，所以，即可求解；（2）由余弦定理求得，再由正弦定理，解得，再由正弦定理，进而求得的长.试题解析：（1）根据正弦定理，由，得，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以.又，解得.（2）在中，由余弦定理，又，，所以，整理得，因为，所以，在中，由正弦定理，得，解得.在中，由正弦定理，因为，所以，解得.18．如图，在直三棱柱中，，，，.（1）试在线段上找一个异于，的点，使得，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，求多面体的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）在直三棱柱中，得，又，利用线面垂直的判定定理，得，进而证得，即可得到.（2）利用多面体的体积为，即可求解多面体的体积.试题解析：（1）当是满足时，.证明如下：在直三棱柱中，，，所以.又因为，，所以.因为，所以.又因为，且，所以，因为，所以.（2）因为，，所以.在中，，，所以.因为，所以，所以.在中，，所以，所以.因为，且，所以.因为，且，，所以.所以多面体的体积为.19．某种常见疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型.为了解该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄（以下简称初次患病年龄）的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据：（1）从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，估计其初次患病年龄小于40岁的概率；（2）记“初次患病年龄在的患者为“低龄患者”，初次患病年龄在的患者为“高龄患者”，根据表中数据，解决以下问题：将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与该疾病的类型有关联的可能性更大.（直接写出结论，不必说明理由）（ii）记（i）中与该疾病的类型有关联的可能性更大的变量为，问：是否有99.9%的把握认为“该疾病的类型与有关？”附：【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）依题意，从Ⅰ型疾病患者中随机抽取人，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解其初次患病年龄小于岁的概率；（2）（i）根据题设中的数据，填写表一、表二，即可作出相应的判断；（ii）根据表二的数据，利用的计算公式，求解的值，根据附表，即可判读有的把握认为该疾病类型与初次患病年龄有关.试题解析：（1）依题意，从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，其初次患病年龄小于40岁的概率估计值为.（2）（i）填写结果如下：表一：疾病类型患者所在地域Ⅰ型Ⅱ型合计甲地233760乙地172340合计4060100表二：疾病类型初次患病年龄Ⅰ型Ⅱ型合计低龄251540高龄154560合计4060100由表中数据可以判断，“初次患病年龄”与该疾病类型有关联的可能性更大.（ii）根据表二的数据可得：，，，，.则.由于，故有99.9%的把握认为该疾病类型与初次患病年龄有关20．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直径的圆与轴相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）设是上横坐标为2的点，的平行线交于于，两点，交的处的切线于点.求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）设点，由为直径的圆与轴相切，所以，化简即可得到点的轨迹的方程；（2）利用导数的几何意义，得在处的切线方程为，联立方程组求解点坐标，求得，再与联立方程组，得，求得，即可作出证明.试题解析：（1）设点，因为，所以的中点坐标为.因为以为直径的圆与轴相切，所以，即，故，化简得，所以的轨迹的方程为.（2）因为是上横坐标为2的点，由（1）得，所以直线的斜率为1，因为，所以可设直线的方程为，.由，得，则在处的切线斜率为，所以在处的切线方程为.由得，所以，所以.由，消去得，由，解得.设，，则，.因为在上，所以，，所以.所以.点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.21．已知函数.（1）讨论的单调区间；（2）若，证明：恰有三个零点.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）的定义域为，求得，可分和两种情况分类讨论，即可得到函数单调区间；（2）由，所以，由（1）知，得的单调区间，再根据函数零点的存在定理，即可得到函数零点的个数.试题解析：（1）的定义域为，.①当时，因为，所以，所以，所以的单调递减区间为.②当时，令，得，当时，，，所以的单调递增区间为，当时，，由得，.因为，所以，所以，当或时，；当时，，所以的单调递增区间为和，的单调递减区间为.综上，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为和；的单调递增区间为.（2）因为，所以，由（1）知，的单调递减区间为，，的单调递减区间为，又，，所以在有唯一零点，且，，因为，，所以在有唯一零点.又，，所以在有唯一零点.综上，当时，恰有三个零点.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明等问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性