高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算试题2（理含解析）

第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算1.已知点P在曲线y=4(2x+1)ln2上,α为曲线在点A.[0,π4) B.[π4,πC.(π2,3π4] D.[2.[2021晋南高中联考]函数f(x)=ln2x-1x的图象在点(12,f(12A.y=6x-5 B.y=8x-6C.y=4x-4 D.y=10x-73.[条件创新]已知函数f(x)=(x2+m)ex(m∈R)的图象在x=1处的切线的斜率等于e,且g(x)=f(x)x,则A.4e4e C.4.[易错题]已知函数f(x)=f'(1)x2+2x+2f(1),则f'(2)的值为()5.[2021石家庄市一检]原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外,主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成,这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后,会转变成稳定的原子,这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N02-t24,其中N0为t=0时钍234的含量.已知t=24时,钍234含量的瞬时变化率为-8ln2,则N B.12ln2贝克 D.6ln2贝克6.[2020江西五校联考]已知曲线C:y=xex过点A(a,0)的切线有且仅有两条,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-4)∪(0,+∞) B.(0,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)7.[2020福建五校联考]已知函数f(x)=ln(-x+1),x<0,x2+3x,A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[0,3] D.[3,+∞)8.[2021洛阳市统考]已知直线y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点(1,3),则a3+b=.

9.[2021大同市调研测试]若曲线y=lnx+1的一条切线的方程是y=ax+b,则4a+eb的最小值是.

10.[2021河北六校联考]已知函数f(x)=xlnx-12mx2(m∈R),g(x)=-x+1ex(1)若函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0平行,求m;(2)证明:在(1)的条件下,对任意x1,x2∈(0,+∞),f(x1)>g(x2)成立.11.[数学探索]已知函数f(x)=12ax2-ax+lnx的图象在点(x1,f(x1))处与点(x2,f(x2))(x1≠x2)处的切线均平行于x轴,则x1+x2+x1x2+f(x1)+f(x2)的取值范围是(A.(-∞,-74-2ln2) B.(-74-2ln2,C.(74-2ln2,+∞) D.(-712.[2021南昌市高三测试]已知曲线C1:y=ex+m,C2:y=x2,若恰好存在两条直线l1,l2与曲线C1,C2都相切,则实数m的取值范围是()A.(2ln2-2,+∞) B.(2ln2,+∞)C.(-∞,2ln2-2) D.(-∞,2ln2)13.[2020长春市第四次质量监测]函数f(x)=emx+e-mx+x2-mx(m∈R)的图象在点A(x1,f(x1)),B(-x1,f(-x1))处两条切线的交点P(x0,y0)一定满足()A.x0=0 B.x0=m C.y0=0 D.y0=m14.[2021惠州市二调]已知实数a>0,函数f(x)=2x+a2x+alnx,x∈(0,10)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若x=1是函数f(x)的极值点,曲线y=f(x)在点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))(x1<x2)处的切线分别为l1,l2,且l1,l2在y轴上的截距分别为b1,b2,若l1∥l2,求b1-b2的取值范围.15.[2020唐山市摸底考试]已知函数f(x)=axsInx+bcosx,且曲线y=f(x)与直线y=π2相切于点(π2,π(1)求f(x);(2)若f(x)≤mx2+1,求实数m的取值范围.16.[角度创新]已知函数f(x)=ex,g(x)=lnx.(1)若曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=kx+b,且存在实数m,n,使得直线y-m=k(x+n)+b与曲线y=g(x)相切,求m+n的值;(2)若函数φ(x)=x+af(x)(g(x)-x)有零点,求实数a的取值范围.答案第一讲导数的概念及运算1.Dy=4(2x+1)ln2的导数为y'=4ln2·-2xln2(2x+1)2=-42x+12x+22.Af(12)=ln1-2=-2,因为f'(x)=1x+1x2,所以f'(12)=6,所以切线方程为y-(-2)=6(x-3.A由题意得f'(x)=2xex+(x2+m)ex=(x2+2x+m)ex,f'(1)=(3+m)e,由题意得(3+m)e=e,所以m=-2,所以f(x)=(x2-2)ex.解法一所以g(x)=f(x)x=(x-2x)ex,g'(x)=(1+2x2)ex+(x-2解法二f'(x)=(x2+2x-2)ex,f(-1)=-1e,所以f'(-1)=-3e,又g'(x)=xf'(x)-4.D因为f'(x)=2f'(1)x+2,所以f'(1)=2f'(1)+2,解得f'(1)=-2,所以f'(x)=-4x+2,所以f'(2)=-6,故选D.5.A因为N(t)=N0·2-t24,所以N'(t)=N0·2-t24·ln2·(-124)=-N024·ln2·2-t24,因为当t=24时,钍234含量的瞬时变化率为-8ln2,即N'(24)=-8ln2,所以-N024ln2×2-16.A对函数y=xex求导得y'=ex+x·ex=(1+x)ex.设切点坐标为(x0,x0ex0),则曲线y=xex过点A(a,0)的切线的斜率k=(1+x0)ex0=x0ex0x0-a,化简得x02-ax0-a=0.依题意知,上述关于x07.B令g(x)=x2+3x(x≥0),则g'(x)=2x+3,所以g'(0)=3,所以函数g(x)的图象在原点处的切线方程为y=3x,故函数f(x)的图象在原点处的切线方程为y=3x.如图D3-1-1,画出函数f(x)的图象,切线y=3x,以及直线y=(m+2)x,分析可知,为满足f(x)-(m+2)x≥0,即f(x)≥(m+2)x,则0≤m+2≤3,解得-2≤m≤1.故选B.图D3-1-18.2因为(x3+ax+b)'=3x2+a,所以3×12+a=2,13+9.4y'=1x,设切点坐标为(x0,y0)(x0>0),则y0=lnx0+1,y0=ax0+b,a=1x0,所以b=ln10.(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+1-mx,f'(1)=1-m,因为f(x)的图象在(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0平行,所以1-m=1,即m=0.(2)在(1)的条件下,f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1,当x∈(0,1e)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1e,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)=xlnx在x=1e时取得最小值f(1e)=-1e,所以f(g(x)=-x+1ex-2ex+e-令h(x)=g'(x)=xex-2e,x>0,则h'(x)=1-xex,所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,所以当x>0时,g'(x)≤g'(1)=h(1)=-1e因为g'(x)≤-1e<0,所以g(x所以g(x2)<g(0)=-1e所以对任意x1,x2∈(0,+∞),f(x1)>g(x2).11.A函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ax-a+1x=ax2-ax+1x,则根据导数的几何意义知x1,x2是方程ax2-ax+1=0的两个不等正根,则Δ=a2-4a>0,x1x2=1a>0,x1+x2=1,则a>4.令h(a)=x1+x2+x1x2+f(x1)+f(x2)=1+1a+lnx1+12ax12-ax1+lnx2+12ax22-ax2=1+1a+ln1a+12a(1-2a)-a=-12a12.C解法一设直线l与曲线C1和曲线C2都相切,且与曲线C1:y=ex+m相切于点(x0,ex0+m),因为(ex+m)'=ex+m,所以直线l的斜率为ex0+m,故直线l的方程为y-ex0+m=ex0由y=ex0+mx+(1-x0)·ex0+m,y=x2,消去y并化简得x2-ex0+mx-(1-x0)·ex0+m=0,则其判别式Δ=(-ex0+m)2+4(1-x0)·ex0+m=0,由于ex0+m>0,所以ex0+m+4(1-x0)=0,即ex0+m-4x0+4=0.依题意可知关于x0的方程ex0+m-4x0+4=0有两个不同的根.构造函数g(x)=ex+m-4x+4,则g(x)有两个零点.(题眼)g'(x)=ex+m-4,令g'(x)=0,解得x1=ln4-m,令g'解法二同解法一得到“关于x0的方程ex0+m-4x0+4=0有两个不同的根”,即ex0+m=4x0-4有两个不同的根,即函数y=ex+m与y=4x-4的图象有两个不同的交点.求出直线y=4x-4与曲线y=ex+m相切时m的值,即可求出m的取值范围.令(ex+m)'=ex+m=4,得x=ln4-m,则切点为(ln4-m,4),代入切线方程y=4x-4得4=4(ln4-m)-4,解得m=2ln2-2,此时直线y=4x-4与曲线y=ex+m相切,将曲线y=ex+2ln2-2向右平移可满足与直线y13.A由题意,得f'(x)=memx-me-mx+2x-m,则切线PA的方程为y-(emx1+e-mx1+x12-mx1)=(memx1-me-mx1+2x1-m)(x-x1),切线PB的方程为y-(e-mx1+ey①-②,得2mx1=2(memx1-me-mx1+2x1)x0+2mx1,即(memx1-因为对任意m∈R,x1∈R,memx1-me-mx114.(1)f'(x)=-2x2+a2+ax∵a>0,0<x<10,∴ax+2>0.①当1a≥10,即a∈(0,110]时,f'(x)<0,则f(②当0<1a<10,即a∈(1令f'(x)<0,得0<x<1a,令f'(x)>0,得1a<∴f(x)在(0,1a)上单调递减,在(1a,10)上单调递增.(由于a>0,0<x<10,因此分类讨论的标准是以综上,当a∈(0,110]时,f(x)在(0,10)上单调递减;当a∈(110,+∞)时,f(x)在(0,1a)上单调递减,在((2)∵x=1是f(x)的极值点,∴f'(1)=0,即(a+2)(a-1)=0,解得a=1或a=-2(舍),此时f(x)=2x+x+lnx,f'(x)=-2∴切线l1的方程为y-(2x1+x1+lnx1)=(-2x12+令x=0,得b1=4x1+lnx同理可得b2=4x2+lnx2∵l1∥l2,∴-2x12+1x1+1=-2x22+1∴x2=2x∴b1-b2=4x2-4x1x又0<x1<x2<10,∴x1<2x1x1-2令x1x2=t,则t=x1·x设g(t)=2(1-则g'(t)=-4(∴g(t)在(14又g(1)=0,g(14)=65-2ln2,∴g(t)∈(65-2ln2,0),(换元以及构造新函数,利用导数研究新函数的单调性和在特定区间上的值域,从而求得b1-即b1-b2的取值范围为(65-2ln2,0)15.(1)由f(π2)=aπ2=π2得a=1,则f'(x)=xcosx+(1-b)sinx,由f'(π2)=1-b=0得b=1,所以f((2)令g(x)=mx2+1-f(x)=mx2-xsinx-cosx+1,由g(x)≥0得g(2π)=4π2m≥0,所以m≥0.易知g(x)为偶函数,所以只需满足当x≥0时,g(x)≥0即可.g'(x)=2mx-xcosx=x(2m-cosx),下面只讨论x≥0时的情形.当m≥12时,g'(x)≥0,即g(x所以g(x)≥g(0)=0,所以当m≥12时,f(x)≤mx2+1恒成立当0≤m<12时,因为y=2m-cosx在[0,π且当x=0时,y=2m-1<0,当x=π2时,y=2m所以存在x0∈(0,π2],使得2m-cosx0因此当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,即g(x)在(0,x0)上单调递减,所以当x∈(0,x0)时,g(x)<g(0)=0,与g(x)≥0矛盾.因此当0≤m<12时,f(x)≤mx2+1不恒成立综上,满足题意的m的取值范围是[12,+∞)16.(1)f'(x)=ex,f'(0)=1,f(0)=1,所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=x+1,所以k=b=1,则y-m=k(x+n)+b,即y=x+m+n+1.g'(x)=1x,则曲线y=g(x)在点(x0,lnx0)处的切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0),即y=1x0从而1x0=1,lnx0-1=m+n+1,所以x0=1,m+n(2)由题意知φ(x)=x+aex(lnx-x),x∈(0,+∞),函数φ(x)有零点,即φ(x)=0有根.当a=0时,φ(x)=x>0,不符