2020-2021学年湘教版八年级数学下册 1.4.2三角形的角平分线

1.4.2三角形的角平分线

1.在正方形网格中，NA08的位置如图所示，到NA08两边距离相等的点应是

（）

A.点MB.点NC.点PD.点。

2.如图，在C。上找一点P,使它到边QA,08的距离相等，则点「是（）

A.线段CD的中点

B.过点。作CO的垂线段所得的垂足

C.CO与NAOB的平分线的交点

D.以上均不对

3.如图，在△ABC中，AQ=PQ,PR=PS,PR工AB于R,PSLAC于S,则三

个结论：①AS=AR；©QP//AR-,③△BPR丝△。「5中（）

A.全部正确B.仅①和②正确

C.仅①正确D.仅①和③正确

A

4.如图，已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在NB

的平分线上；②在ND4c的平分线上；③在NEC4的平分线上；④恰在N8,

ADAC,/EC4的平分线的交点处，上述结论中，正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，在△A3C中，。为△A3C的三条角平分线的交点，。尸_LA3,OD±BC

OELAC,垂足分别为F,D,E,且AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,则

点O到三边

AB,BC,AC的距离分别为（）

A.2cm,2cm,2cmB.3cm,3cm,3cm

C.4cm,4cm,4cmD.2cm,3cm,5cm

A

6.【中考・大庆】如图，ZB=ZC=90°,M是5c的中点，DM平分NAQC,且

ZADC=110°,则NMA8=（）

A.30°B.35°C.45°D.60°

A

7.【中考.滨州】如图，在AOAB和△OCO中，0A=03,OC=OD,OA>OC,

NAO8=NCOD=40。，连接AC,8。交于点M,连接OM.下列结论：

@AC=BD；

②NAMB=40。；

③OM平分/BOC；

@MO平分NBMC.

其中正确的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

8.如图，已知。是△ABC的两条角平分线8。，CO的交点，过点。作OOJ_BC

于。，且。0=2cm.若AABC的周长是28cm,则△ABC的面积是（）

A.22cm2B.25cm2C.28cm2D.56cm2

BDC

9.如图，aABC的三边AB,BC,AC的长分别为12,18,24,。是AABC三条角

平分线的交点，则S^OAB：SAOBC：SAOAC=()

A.1：1：1B.1：2：3

C.2：3：4D.3：4：5

10.如图，在△ABC中，NACB=90。，BE平分/ABC,EDLAB于D如果NA

=30°,A£=6cm,那么CE等于（）

A.-\[3cmB.2cm

C.3cmD.4cm

11.如图，。是△ABC内一点，且点。到边AB,BC,CA的距离=0。=0£

若N3AC=70。，则N30C=

12.如图，在△ABC中，ZABC,NACB的平分线交于点O,连接AO并延长交

8c于点。，OHLBC于点、H,若NBAC=60。，OH=5,则OA=.

A

13.如图，PA=PB,Zl+Z2=180°.

求证：OP平分NA08.

14.⑴如图，CD1AB,BE1AC,垂足分别为D,E,BE与CD相交于点0,且N1

=N2.求证：OB=OC.

(2)如图，CD±AB,BE±AC,垂足分别为D,E,BE与CD相交于点0,且0B=

0C；求证：Z1=Z2.

15.【教材改编题】如图，△ABC的外角NACD的平分线C/与NABC的平分线

BG相交于。.求证：点O到AB,BC,AC的距离相等.

16.如图，DE_LAB于点E,DFLAC于点F,BD=CD,BE=CF.

⑴求证：AD平分NBAC.

(2)猜想A8+AC与AE之间的数量关系，并给予证明.

17.如图，在四边形ABDC中，ND=ZB=90。,。为BD的中点，且A。平分NBAC.求

证：

(1)CO平分NACD；

(2)0A±0C；

1.4.2三角形的角平分线

1.在正方形网格中，NAQB的位置如图所示，到NA03两边距离相等的点应是

(A)

A.点例B.点NC.点PD.点。

2.如图，在CD上找一点P,使它到边0A,08的距离相等，则点「是（C）

A.线段CD的中点

B.过点。作C。的垂线段所得的垂足

C.CD与乙4。8的平分线的交点

D.以上均不对

3.如图，在AABC中，AQ=PQ,PR=PS,PHLAB于七PS±ACS,则三

个结论：①AS=AH；®QP//AR；③△8刊?乌^。尸5中（B）

A.全部正确B.仅①和②正确

C.仅①正确D.仅①和③正确

4.如图，已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在

的平分线上；②在ND4c的平分线上；③在NECA的平分线上；④恰在NB,

ADAC,NEC4的平分线的交点处，上述结论中，正确的有（D）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，在△ABC中，。为△A8C的三条角平分线的交点，OFLAB,ODLBC,

OELAC,垂足分别为F,D,E,且AB=10cm,BC=8cm,

AC=6cm,则点。到三边

AB,BC,AC的距离分别为(A)

A.2cm,2cm,2cmB.3cm,3cm,3cm

C.4cm,4cm,4cmD.2cm,3cm,5cm

6.【中考•大庆】如图，ZB=ZC=90°,M是BC的中点，0M平分NADC,且

ZA£>C=110°,则NMAB=(B)

A.30°B.35°C.45°D.60°

7.【中考・滨州】如图，在AOAB和△OC。中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,

ZAOB=ZCOD=^°,连接AC,BD交于点M,连接。M.下列结论：

®AC=BD；

②NAMB=40。；

③OM平分NBOC；

④MO平分/BMC.

其中正确的个数为（B）

A.4B.3C.2D.1

【点拨】由SAS证明△AOC且△BOO,得出AC=B。，故①正确；由全等三角形

的性质得出NOAC=NOBD,由三角形的外角性质得ZAMB+ZOAC=ZAOB+

NOBD,得出NAM8=NAOB=40。，故②正确；

过点。作。GLMC于点G,作。于点〃，则NOGC=N90。，由

全等三角形的性质得出NOCG=NOOH,由AAS证明aOCG且△。。“，得出

OG=OH,由角平分线的性质定理的逆定理可得M。平分NBMC,故④正确；由

已知条件不能得到OM平分N8OC,故③错误.

8.如图，已知。是△4BC的两条角平分线8。，CO的交点，过点。作0O_LBC

于。，且。0=2cm.若△ABC的周长是28cm,则AABC的面积是（C）

A.22cm2B.25cm2C.28cm2D.56cm2

4

【点拨】:。为△ABC的两条角平分线8。，CO的交点，,。到AB,BC,CA

边的距离相等，均等于。。的长，SMBC=^BC-OD+^AC-OD+^AB-OD=1

OD-(BC+AC+AB)=3X2X28=28(cm2).

9.如图，4ABC的三边AB,BC,AC的长分别为12,18,24,。是AABC三条角

平分线的交点，则S^OAB：SAOBC：SAOAC=(C)

A.1：1：1B.1：2：3

C.2：3：4D.3：4：5

【点拨「.'0是aABC三条角平分线的交点，,。到AB,BC,AC的距离相等.：

AB,BC,AC的长分别为12,18,24,：.SAOAB：S^OBC：S„OAC=AB:BC:AC=12:18:24

=2:3:4.

10.如图，在△ABC中，ZACB=90°,BE平分NABC,EOLA8于D如果NA

=30°,AE=6cm,那么CE等于（C）

A.小cmB.2cm

C.3cmD.4cm

【点拨】'：ED±AB,ZA=30°,：.DE=^AE=3cm.

•.•BE平分NABC,EDIAB,NACB=90。，：.CE=DE=3cm.

11.如图，。是△ABC内一点，且点。到边AB,BC,CA的距离。尸=0。=。£

若NA4C=70°,则NBOC=_J25.

12.如图，在△ABC中，ZABC,NACB的平分线交于点0,连接A0并延长交

8C于点O,0HLBC于点H,若N3AC=60。，0/7=5,则0A=_10.

【点拨】如图，过点。作0ELAB于点E,

•.•8。平分NABC,OELAB,0HLBC,：.OE=OH=5.

VZABC,NACB的平分线交于点0,，A0平分N84C,

VZB/1C=60°,

：.ZBAO=30°,：.AO=2OE=\0.

13.如图，PA=PB,Zl+Z2=180°.

求证：OP平分NA03.

【点拨】一条射线是否是角的平分线应根据这条射线上的某一点到角的两边距离

是否相等，即到角两边的垂线段的长度是否相等来判定，而题中出，PB不是到

角两边的垂线段，故不能直接得出0P平分NAOA

证明：过点P作PFA.0B,垂足分别为E,F.

VZ1+Z2=18O°,Z2+ZPB<?=180°,：.N1=NPBO.

fZAEP=ZBFP=9Q0,

在△%E和APB尸中，5Z1=ZPBF,

[PA=PB,

△如E怂△PBRAAS).：.PE=PF.

...OP为NAOB的平分线，即OP平分NAOB.

14.⑴如图，CD1AB,BE1AC,垂足分别为D,E,BE与CD相交于点0,且N1

=N2.求证：OB=OC.

(2)如图，CD_LAB,BE±AC,垂足分别为D,E,BE与CD相交于点0,且0B=

0C；求证：Z1=Z2.

证明：（1）：N1=N2,ODLAB,OELAC,：.OD=OE.

jZDOB=ZEOC,

在△08。和△OCE中，50D=0E,

[zODB=ZOEC=90°,

：.△OBD学△OCE.OB=OC.

NODB=/OEC=900,

(2)：在△80。和△COE中，5ZDOB=ZEOC,

[OB=OC,

：.△50。丝△COE.：.OD=OE.

XODLAB,0E1AC,，A0平分N8AC,.,.Z1=Z2.

15.【教材改编题】如图，△ABC的外角NACO的平分线CF与NA3C的平分线

BG相交于。.求证：点。到AB,BC,AC的距离相等.

证明：如图，过点。作0MLAB交BA的延长线于M,作ON上BD交BD于N,

作OHLAC交AC于H.

,/ZACD的平分线C/与NABC的平分线BG相交于0,

：.ON=OH,0M=0N,

：.OM=ON=OH,

即点。到AB,BC,AC的距离相等.

16.如图，DEJ_AB于点E,DF_LAC于点F,BD=CD,BE=CF.

⑴求证：AD平分NBAC.

(2)猜想A8+AC与AE之间的数量关系，并给予证明.

证明：DFLAC,：.ZE=ZDFC=90°.

BD=CD,

在RtaBOE和RtZSCOF中，\_

BE=CF,

/.RtAfiDE^RtACDF,

：.DE=DF,，A。平分NBAC.

(2)：AB+AC=2AE.

证明：•