2018届河南省南阳市高三上学期期末考试理数试题

2018届河南省南阳市高三上学期期末考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．2．已知是关于的方程（）的一个根，则（）A．-1B．1C．-3D．33．已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．4．已知：，，若函数和有完全相同的对称轴，则不等式的解集是（）A．B．C．D．5．已知各项均为正数的等比数列，，若，则（）A．B．C．128D．-1286．已知：，则目标函数（）A．，B．，C．，无最小值D．，无最小值7．设，、，且，则下列结论必成立的是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积（）A．B．C．D．9．执行如图的程序框图，若输出的值是，则的值可以为（）A．2014B．2015C．2016D．201710．我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形。其作法如下：①作一个正方形；②以的中点为圆心，以长为半径作圆，交延长线于；③以为圆心，以长为半径作；④以为圆心，以长为半径作交于，则为黄金三角形。根据上述作法，可以求出（）A．B．C．D．11．已知抛物线：（），过其焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则的值是（）A．2B．3C．4D．512．已知：，若方程有唯一的实数解，则（）A．B．C．D．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（小数点后保留三位小数）．14．已知向量，，，若，则与的夹角的大小是．15．已知：，则的取值范围是．16．在四边形中，，，为等边三角形，则的外接圆与的内切圆的公共弦长=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列的前项和为，且满足（）．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．如图1，在平行四边形中，，，，、分别为、的中点，现把平行四边形1沿折起如图2所示，连接、、．（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值．19．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）：①．②．③．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备的性能等级．（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品①从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望．20．平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点分别是椭圆的左、右顶点，若过点的直线与椭圆相交于不同两点、．①求证：；②求面积的最大值．21．已知函数，且函数的图象在点处的切线与直线垂直．（1）求；（2）求证：当时，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值．23．选修4-5：不等式选讲已知，，函数的最小值为．（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立．2017秋期终高三数学试题（理）答案一、选择题1-5:CADBB6-10:CDBCB11、12：AB二、填空题13．1.17214．120°15．16．1三、解答题17．解：（1）当时，，解得．当时，，，两式相减得，化简得，所以数列是首项为-1，公比为-1的等比数列，可得．（2）由（1）得，当为偶数时，，；当为奇数时，为偶数，．所以数列的前项和．18．证明：（1）取的中点，连接，，，∵在平行四边形中，，，，、分别为、的中点，∴，为正三角形，则，，又∵，∴平面，∵平面∴；（2）∵，，，、分别为、的中点，∴，，∵，则，则三角形为直角三角形，则，以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，则则，，，设平面的法向量为，则，令，则，，则，设平面的法向量为，则，令，则，，即，则∴二面角的正弦值是.19．解：（1），，因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；（2）易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06．①由题意可知，于是②由题意可知的分布列为：012故20．解：（1）由题意可得，令，可得，即有，又，所以，．所以椭圆的标准方程为；（2）①当时，显然，满足题意；当时，设，，直线方程为，代入椭圆方程，整理得，则，所以．，则．则，即；②当且仅当，即．（此时适合的条件）取得等号．则面积的最大值是．21．解析：（1）因为，故，故①；依题意，；又，故，故②，联立①②解得，；（2）由（1）得，要证，即证；令，令，，，，故，在上单调增加，在单调减少。而，，当时，当时，故当时，；而当时，，故函数所以，当时，，即.22．解：（1）由得