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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年广西南宁三中高一(下)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=(3−4i)i,则z的虚部为(
)A.3i B.3 C.4i D.42.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用按比例分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从乙种型号的产品中抽取件数为(
)A.24 B.9 C.36 D.183.四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据四名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6的是(
)A.平均数为3,中位数为2 B.中位数为3,众数为2
C.平均数为2,方差为2.4 D.中位数为3,方差为2.84.已知在平行四边形ABCD中,E为AC上靠近点A的三等分点,设BA=a,BC=A.23a−+13b− 5.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为(
)A.63π B.2636.已知向量m=(2,λ),n=(2−λ,−4),若m与n共线且反向,则实数λ的值为(
)A.4 B.2 C.−2 D.−2或47.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑P−ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥CB,PA=2BC=2,AC=3,则此四面体的外接球表面积为(
)A.3π B.8π C.9π D.88.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(
)A.甲与乙互斥 B.丙发生的概率为16 C.甲与丁相互独立 D.二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法中正确的是(
)A.若bcosC+ccosB=b,则△ABC是等腰三角形
B.若B=30°,b=2,c=22,则C=45°
C.若a=2,b=4,cosC=14,则c=4
D.若△ABC10.某市2023年经过招商引资后,经济收入较前一年增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该市的经济收入的变化情况,统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例,得到如图扇形图,则下列结论中正确的是(
)
A.招商引资后,工资净收入较前一年减少
B.招商引资后,转移净收入是前一年的2.5倍
C.招商引资后,转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的13
D.11.如图,直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,底面是AB=8,BC=4的矩形,直四棱柱的高为4,E,FA.直线A1B与CF相交B.异面直线DB1与CE所成角为90°
C.二面角D1−CE−D的平面角为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知z1=2+3i,z2=−4+i,则|13.已知互不相等的4个正整数从小到大排序为a1,a2,a3,a4,若它们的和为12,且这4个数据的极差是中位数的2倍,则这4个数据的第14.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,点D是AB的中点.若2a+b=2ccosB,且AC=1,CD=32,则AB=四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)
已知向量a与b的夹角θ=5π6,且|a|=3,|b|=23.
(1)求16.(本小题15分)
某社区为了解志愿者每周志愿服务的时长,在全社区300名志愿者中随机抽取20名志愿者在某个星期的志愿服务记录,统计他们当周在社区的志愿服务时长,按时长分组,得到频率分布直方图如图所示:
(1)求a的值;社区对志愿服务时长大于或等于11小时的志愿者认定为优秀志愿者,如果以当周志愿服务统计结果作为依据,请估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数;
(2)求出这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数、中位数、平均数(结果保留一位小数).17.(本小题15分)
如图,在三棱锥P−ABC中,AC⊥平面PAB,E,F分别为BC,PC的中点,且PA=AC=2,AB=1,EF=52.
(1)证明:AB⊥PC;
(2)求二面角F−AE−C18.(本小题17分)
如图,在平面四边形ABCD中,AD=3,CD=1,∠ACD=60°,∠ABC=30°.
(1)证明:AD⊥CD;
(2)求△ABC面积的最大值;
(3)设E为线段AB的中点,求DE19.(本小题17分)
在某抽奖活动中,初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球,颜色为2白1红.每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下:设定抽中红球为中奖,抽中白球为未中奖;若抽到白球,放回后把袋中的一个白色小球替换为红色;若抽到红球,放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态.记第n次抽奖中奖的概率为Pn.
(1)求P2,P3;
(2)若存在实数a,b,c,对任意的不小于4的正整数n,都有Pn=aPn−1+bPn−2+cPn−3,试确定a,参考答案1.B
2.A
3.C
4.A
5.B
6.A
7.B
8.C
9.ACD
10.BD
11.AD
12.213.9214.715.解:因为a与b的夹角θ=5π6,且|a|=3,|b|=23,
所以a⋅16.解:(1)根据题意可得(a+0.075+0.175+0.15+a)×2=1,
∴a=0.05;
∵服务时长大于或等于11小时的频率为0.05×2=0.1,
∴估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数为300×0.1=30;
(2)这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数为8小时;
中位数为7+0.5−0.1−0.150.175=8.428≈8.4小时;
平均数为17.解:(1)证明:∵E,F分别为BC,PC的中点,
∴PB=2EF=5,
∵AB2+PA2=PB2,∴AB⊥PA,∵AC⊥平面PAB,
∴AB⊥AC,
∵AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC,
∴AB⊥平面PAC,PC⊂平面PAC,
∴AB⊥PC;
(2)根据题意,取AC的中点M,过M作MN⊥AE交AE于N,
连接FM,FN,ME,
因为F为PC中点,M为AC的中点,
则FM////PA,且FM=12PA=1,
又PA⊥AB,PA⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,
∴PA⊥平面ABC,
∴FM⊥平面ABC,而AE⊂平面ABC,
∴AE⊥FM,又MN⊥AE,FM∩MN=M,FM,MN⊂平面FMN,
∴AE⊥平面FMN,
∵FN⊂平面FMN,∴AE⊥FN,
即∠FNM为二面角F−AE−C的平面角,
在Rt△AME中,AM=1,ME=12,则AE=1+118.解:(1)由题知,在△ACD中,
由正弦定理得sin∠CADCD=sin∠ACDAD,∴sin∠ACD=12,
∵AD>CD,∴∠ACD>∠CAD,∴∠CAD=π6,
∴∠D=π−∠ACD−∠CAD=π2,∴AD⊥CD;
(2)在△ABC中,根据勾股定理可得AC=2,
由余弦定理知:cos∠ABC=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=32
∴AB2+BC2=4+3AB⋅BC,∵AB2+BC2≥2AB⋅BC,∴2AB⋅BC≤4+3AB⋅BC
解得:19.解:(1)P2=13×13+23×23=59,
P3=P2×13+23×13×1+13×23×23=59;
(2)因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态,
从初始状态
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