2023-2024学年广西南宁三中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广西南宁三中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=(3−4i)i，则z的虚部为(

)A.3i B.3 C.4i D.42.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用按比例分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从乙种型号的产品中抽取件数为(

)A.24 B.9 C.36 D.183.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是(

)A.平均数为3，中位数为2 B.中位数为3，众数为2

C.平均数为2，方差为2.4 D.中位数为3，方差为2.84.已知在平行四边形ABCD中，E为AC上靠近点A的三等分点，设BA=a,BC=A.23a−+13b− 5.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为(

)A.63π B.2636.已知向量m=(2,λ)，n=(2−λ,−4)，若m与n共线且反向，则实数λ的值为(

)A.4 B.2 C.−2 D.−2或47.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA=2BC=2，AC=3，则此四面体的外接球表面积为(

)A.3π B.8π C.9π D.88.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

)A.甲与乙互斥 B.丙发生的概率为16 C.甲与丁相互独立 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是(

)A.若bcosC+ccosB=b，则△ABC是等腰三角形

B.若B=30°,b=2,c=22，则C=45°

C.若a=2,b=4,cosC=14，则c=4

D.若△ABC10.某市2023年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如图扇形图，则下列结论中正确的是(

)

A.招商引资后，工资净收入较前一年减少

B.招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍

C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的13

D.11.如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面是AB=8，BC=4的矩形，直四棱柱的高为4，E，FA.直线A1B与CF相交B.异面直线DB1与CE所成角为90°

C.二面角D1−CE−D的平面角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知z1=2+3i，z2=−4+i，则|13.已知互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第14.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D是AB的中点.若2a+b=2ccosB，且AC=1,CD=32，则AB=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a与b的夹角θ=5π6，且|a|=3,|b|=23．

(1)求16.(本小题15分)

某社区为了解志愿者每周志愿服务的时长，在全社区300名志愿者中随机抽取20名志愿者在某个星期的志愿服务记录，统计他们当周在社区的志愿服务时长，按时长分组，得到频率分布直方图如图所示：

(1)求a的值；社区对志愿服务时长大于或等于11小时的志愿者认定为优秀志愿者，如果以当周志愿服务统计结果作为依据，请估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数；

(2)求出这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数、中位数、平均数(结果保留一位小数)．17.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，AC⊥平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且PA=AC=2,AB=1,EF=52．

(1)证明：AB⊥PC；

(2)求二面角F−AE−C18.(本小题17分)

如图，在平面四边形ABCD中，AD=3，CD=1，∠ACD=60°，∠ABC=30°．

(1)证明：AD⊥CD；

(2)求△ABC面积的最大值；

(3)设E为线段AB的中点，求DE19.(本小题17分)

在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红.每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态.记第n次抽奖中奖的概率为Pn．

(1)求P2，P3；

(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有Pn=aPn−1+bPn−2+cPn−3，试确定a，参考答案1.B

2.A

3.C

4.A

5.B

6.A

7.B

8.C

9.ACD

10.BD

11.AD

12.213.9214.715.解：因为a与b的夹角θ=5π6，且|a|=3,|b|=23，

所以a⋅16.解：(1)根据题意可得(a+0.075+0.175+0.15+a)×2=1，

∴a=0.05；

∵服务时长大于或等于11小时的频率为0.05×2=0.1，

∴估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数为300×0.1=30；

(2)这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数为8小时；

中位数为7+0.5−0.1−0.150.175=8.428≈8.4小时；

平均数为17.解：(1)证明：∵E，F分别为BC，PC的中点，

∴PB=2EF=5，

∵AB2+PA2=PB2，∴AB⊥PA，∵AC⊥平面PAB，

∴AB⊥AC，

∵AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，

∴AB⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，

∴AB⊥PC；

(2)根据题意，取AC的中点M，过M作MN⊥AE交AE于N，

连接FM，FN，ME，

因为F为PC中点，M为AC的中点，

则FM////PA，且FM=12PA=1，

又PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，

∴PA⊥平面ABC，

∴FM⊥平面ABC，而AE⊂平面ABC，

∴AE⊥FM，又MN⊥AE，FM∩MN=M，FM，MN⊂平面FMN，

∴AE⊥平面FMN，

∵FN⊂平面FMN，∴AE⊥FN，

即∠FNM为二面角F−AE−C的平面角，

在Rt△AME中，AM=1，ME=12，则AE=1+118.解：(1)由题知，在△ACD中，

由正弦定理得sin∠CADCD=sin∠ACDAD，∴sin∠ACD=12，

∵AD>CD，∴∠ACD>∠CAD，∴∠CAD=π6，

∴∠D=π−∠ACD−∠CAD=π2，∴AD⊥CD；

(2)在△ABC中，根据勾股定理可得AC=2，

由余弦定理知：cos∠ABC=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=32

∴AB2+BC2=4+3AB⋅BC，∵AB2+BC2≥2AB⋅BC，∴2AB⋅BC≤4+3AB⋅BC

解得：19.解：(1)P2=13×13+23×23=59，

P3=P2×13+23×13×1+13×23×23=59；

(2)因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态，

从初始状态