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第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年江西省宜春三中高一(下)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知z=−1−i,则|z|=(
)A.0 B.1 C.2 D.2.已知向量a=−i+j,b=2i+3j,A.−1 B.1 C.6 D.−53.某班同学利用课外实践课,测量A,B两地之间的距离,在C处测得A,C两地之间的距离是4千米,B,C两地之间的距离是6千米,且∠ACB=60°,则A,B两地之间的距离是(
)A.27千米 B.43千米 C.24.设α,β是两个平面,m,l是两条直线,则下列命题为真命题的是(
)A.若α⊥β,m//α,l//β,则m⊥lB.若m⊂α,l⊂β,m//l,则α//β
C.若α∩β=m,l//α,l//β,则m//lD.若m⊥α,l⊥β,m//l,则α⊥β5.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若asin(π2−A)=A.钝角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形6.如图,平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,点E是AC的三等分点EC=13ACA.13B.23C.13D.27.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为(
)A.23π B.33π8.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若B=π3,b2=9A.32 B.2 C.7二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin(2x+π6A.f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+π3)的图象
B.直线x=π3是f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在10.已知向量a=(3,sinθ),b=(cosθ,1),A.若a⊥b,则tanθ=−3
B.设函数f(θ)=a⋅b,则f(θ)的最大值为2
C.|a+b|的最大值为22
D.若11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AA.直线PB//平面AB1D1
B.直线PB与AD1是异面直线
C.三棱锥P−AB1D1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知角α的终边与单位圆交于点P(−35,45)13.已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是
14.设向量a,b,c满足|a|=|b|=2,a⋅b=−2四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)
已知角α∈(0,π),且cosα=−35.
(1)求sin(π−α)的值;
(2)求cos16.(本小题15分)
已知向量a=(1,2),b=(0,2),向量c满足a⊥c,且b//(2a+c).
(1)求c的坐标;
(2)17.(本小题15分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足3acosπ−B2=bsinA.
(1)求B;
(2)∠ABC的角平分线与AC交于点18.(本小题17分)
已知四边形ABCD为直角梯形,∠ADC=90°,AD//BC,△ABD为等腰直角三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E为PA的中点,AD=2BC=22,PA=3PD=3.
(1)求证:BE//平面PDC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PBD.
(3)求异面直线AD与PB19.(本小题17分)
设平面内两个非零向量m,n的夹角为θ,定义一种运算“⊗”:m⊗n=|m||n|sinθ.
试求解下列问题:
(1)已知向量a,b满足a=(2,1),|b|=2,a⋅b=4,求a⊗b的值;
参考答案1.C
2.B
3.A
4.C
5.B
6.B
7.B
8.C
9.CD
10.ABD
11.ACD
12.−413.1
14.4
15.解:α∈(0,π),且cosα=−35.
则sinα=1−cos2α=16.解:(1)设c=(x,y),因为a=(1,2),b=(0,2),
所以2a+c=2(1,2)+(x,y)=(2+x,4+y),
又因为a⊥c,且b//(2a+c),
所以x+2y=02(2+x)=0(4+y),解得x=−2y=1,所以c=(−2,1);
(2)因为a=(1,2),b=(0,2),
所以a+λb=(1,2)+λ(0,2)=(1,2+2λ)17.解:(1)由3acosπ−B2=bsinA得3asinB2=bsinA,
由正弦定理得3sinAsinB2=sinBsinA,即3sinAsinB2=2sinB2cosB2sinA,
由B2∈(0,π2),A∈(0,π),所以sinB2≠0,sinA≠0,化简得cosB2=318.(1)证明:设F是PD的中点,连接EF,CF,
由于E是PA的中点,
所以EF//AD,且EF=12AD,而BC//AD,且BC=12AD,
所以EF//BC,且EF=BC,
所以四边形BCFE是平行四边形,
所以BE//CF,由于BE⊄平面PDC,CF⊂平面PDC,
所以BE//平面PDC;
(2)证明:因为AD=2BC=22,PA=3PD=3,PD=1,
所以PD2+AD2=PA2,所以PD⊥AD,
由于平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PD⊂平面PAD,
所以PD⊥平面ABCD,
由于AB,BD,CD⊂平面ABCD,
所以PD⊥AB,
又因为AB⊥BD,PD∩BD=D,PD,BD⊂平面PBD,
所以AB⊥平面PBD,
由于AB⊂平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PBD;
(3)解:由于AD//BC,所以∠PBC是异面直线AD与PB所成角(或其补角),
因为AB=BD=22×19.解:(1)由
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