高中数学-正、余弦定理的应用举例教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

一、教材分析

《正、余弦定理的应用举例》是人民教育出版社A版必修五第一

章第二节内容，是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算

之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设

计的，具有承上启下、理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，

用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问

题、分析问题并最终解决问题。

二、教学目标

根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，确定了本节课的教

学目标：

知识与技能目标：①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决

一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义；

②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，

确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和

基本图形和基本等量关系。

过程与方法目标：①采用启发与尝试的方法，让学生在解决实际问题

中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架；

②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三

角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学

问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用。

情感、态度、价值观目标：①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学

的应用价值；

②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问

题的能力；

③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、

概括的能力。

三、学生学情分析

本节课的教学对象是青岛西海岸新区第一高级中学高一年级的学

生.

1.已有的能力：学生已经学习了正弦定理和余弦定理，能够运用

解决一些三角形问题，具有了一定的基础。

2.存在的问题：学生在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候

不能将实际问题转化成数学问题的问题，构造模型的能力有待提高。

四、教学重点、难点

重点：通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并

能应用它们解三角形。

难点：在解三角形中两个定理的选择。

五、教学过程设计

（一）创设情境，提出问题

教师通过嫦娥四号发射成功的图片和视频激发学生的学习兴趣

和爱国主义情怀。嫦娥四号探测器着陆月球背面，在人类历史上首次

实现航天器在月球背面软着陆和巡视探测，首次实现地球与月球背面

的测控通信，这是令我们中国人非常骄傲的一件事情。本节课学习正

弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

【学生活动】感受生活中的数学，体会了生活中测量距离的现实需要.

【教师活动】通过实例，引导学生体会生活中的数学无处不在，数学

对生活的影响无处不在.数学方法是解决实际问题的一大途径。实际

问题推动数学发展，数学发展推动科学技术发展。

【设计意图】通过引言，让学生体会解三角形在科学实践中的广泛应

用，激发学生对于本堂课内容的浓厚兴趣和爱国主义情怀。

（二）解决实际问题，建立数学模型

题型一求距离

例1、假设玉兔二号月球车位于织女坑位置A,请借助于天津坑，设

计一种测量织女坑、河鼓坑（不可到达）两点间距离的方法。即在三

角形ABC中，AC=55m,ZBAC=51（1,NACB=75。。求：A、B两点间

的距离（只要求化简，不计算）”

例2、假设玉兔二号月球车位于河鼓位置B,请设计一种测量织女、

天津坑（均不可到达）两点间距离的方法。即例2,若A,B都在河

的对岸，（均不可到达），应如何设计测量方案计算A、B两点的距离？

这两个问题是对课本例1、例2的改编，二者都以玉兔二号月球

车为背景，既满足本节课的教学目标，又贴合本节课嫦娥奔月主线。

由于学生程度较好，这两道题难度较低，因此采取学生课下独立思考，

课上学生讲解的方式学习，增强学生的主观能动性。

【学生活动】：小组讨论并提出解决这个实际问题的方法。

【教师活动】：让学生充分展示自己的见解，并归纳总结学生的解题

方法。

【设计意图】：引导学生寻求在研究三角形时，灵活根据两个定理可

以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的

方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳

的计算方式。并强化学生的数学建模意识。

题型二：求高度

1、利用仰角

例3已知泰山位于天河基地西北方向约46公里，玉兔二号沿着正

西方向行驶5公里处，仰角（视线在水平线上方的角）为「求泰

山的高度。

【学生活动】：小组讨论我们如何求高度？如何建立数学模型解释这

个问题。让学生建模求解并鼓励用不同方法去求解这个问题。

【教师活动】：教师引导学生分析这是一个立体图形，A、B、C在一

个平面内，D不在此平面内，引导学生将题目中的数据与图形中的边

角相对应。

【设计意图】：重在学生培养“翻译”能力学会分析关系、领悟实质。

培养学生将实际问题抽象为数学问题,~~从实际问题关系中找出最关

键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，体会耳

模的过程。

2、利用俯角

例4在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角a=54°40,，在塔

底C处测得A处的俯角（视线在水平线下下方的角叫俯角）b=50。J。

已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD.

【学生活动】思考并写出步骤，对同学的板演进行评价。

【教师活动】提倡学生独立思考，请一位同学板演，讲评时鼓励多种

方法求解。可以利用直角三角形，也可以利用正余弦定理解斜三角形，

可以直接求CD,也可以先求BD,再减去BCo

【设计意图】弄清问题所述的事件和研究对象；抓住题目中的关键字

句，正确把握其含义；根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；抓

住问题中的主要问题，正确识别其类型。

题型三：求角度

例5玉兔二号从织女坑出发，沿北偏耐的方向行进60公里后到达

天津坑，然后从天津坑出发，沿南偏西哥时向行进30公里后到达河

鼓坑。如果下次直接从织女坑出发到达河鼓坑，玉兔二号应该沿怎样

的方向前进，需要行进的距离是多少？

【学生活动】小组讨论本题已知什么条件，适合应用什么定理。

【教师活动】教师对学生的方法进行总结，板书做题步骤。

【设计意图】该问题有一定难度留为课下自主合作探究讨论的问题,

让课上到课下得到延伸，同时培养学生自主学习合作交流的能力。

（三）课堂反思，自我评价

教师给出自我评价的三个等级，依次是能理解已经建立的数学模

型，能在提示下建立数学模型，能独自建立数学模型.学生在符合自

己情况的括号里打勾。学生自我评价后根据自己的情况课下有选择地

进行弥补。

（四）课堂小节：（采用提问形式）

在教师的提示指引下，学生总结归纳出借助正、余弦定理解决实

际问题的一般步骤：

抽象概括』数学模型

还原说明

实际问题的解

（五）布置作业

A层（必做）：《课本》P19A组1、3、4

B层（选做）：《双成新学案》广7

C层（乐做）：做一个有关测量的实习作业，并写出实习报告

六、板书设计

正、余弦定理的应用举例

一、测量距离1、一个不可到达点学生板演

2、两个不可到达点

二、测量高度1、利用仰角

2、利用俯角

三、测量角度

步骤：建模一＞解模一＞还原

学情分析

本节课的教学对象是青岛西海岸新区第一高级中学高一年级学生。

L已有的能力：学生初中已经学习了解直角三角形、等腰三角形、

等边三角形等特殊三角形，但对于一般斜三角形还不能求解。通过本

章上一节的学习，学生可以借助正弦定理、余弦定理解决一些三角形

问题，具有了一定的知识基础。

2.学生学习新知识的情感态度：

①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值

②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数

学问题的能力

③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类

比、概括的能力

3.学生的学习方法、习惯以及风格：相对于实际问题，学生更擅

长解决纯数学问题。在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能

将实际问题转化成数学的问题，构造模型的能力有待提高。

效果分析

课堂教学效果是教师进行课堂教学的落脚点，一切教学手段的

运用和教学方法的选择最终的目的是课堂教学效果的最大化。教师对

每一个教学环节的设计和方式、方法的选择都要先问自己一声：这样

做的效果会怎样？要紧紧围绕有效和高效这一核心要求来组织和开

展教学活动。当然这里所说的效果是一个综合性的教学效果，内容

既包括基础知识的掌握情况，又包括基本技能的训练效果，同时也包

括学生学习能力的培养和道德情感的教育等。

学生是课堂的主体，通过学生表情的变化、思维的速度，回答问

题、练习、测试、动手操作的准确性等信息反馈，可获知教学信息

的传输是否畅通，亦可看出新知识新技能的掌握情况。教学任务是否

完成不能只看少数尖子学生，大多数中下学生同样也是知识的接受体，

从他们身上更能体现教学任务是否完成，以及教师的教学水平、教

学质量的高低。

总之，本节课在教师的引导帮助下，全体学生的潜力得到很大限

度的挖掘，智力好的学生吃得饱，中等水平的学生吸收得好，差的学

生消化得了，学生人人学有所得。课堂教学中充分体现师生平等、教

学民主的思想，师生信息交流畅通，情感交流融洽，合作和谐，配合

默契，教与学的气氛达到最优化，课堂教学效果达到最大化。教师教

得轻松，学生学得愉快。

教材分析

《正、余弦定理的应用举例》是人民教育出版社A版必修五第一

章第二节内容，是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算

之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设

计的，具有承上启下、理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，

用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问

题、分析问题并最终解决问题。

《正、余弦定理的实际应用》导学案

一、知识回顾

1、本章量化边角的定理有哪些?

2.解三角形的常见类型有哪些？

二、新课探究

（一）测量距离

探究——个不可到达点的距离测量

例1.在三角形ABC中，AC=55m,ZBAC=5L,NACB=750

求：A、B两点间的距离（只要求化简，不计算）

探究二两个不可到达点的距离测量

例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量

两点间的距离的方法。

（二）测量高度探究一：利用仰角

例3.已知泰山位于天河基地西北方向约46公里,玉兔二号沿着织女

坑方向行驶5公里处，仰角（视线在水平线上方的角）为S'求泰山的

高度.

探究二：利用俯角

例4.在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角^=54°

40',在塔底C处测得A处的俯角（视线在水平线下下方

的角叫俯角）B=50°1'。已知铁塔BC部分的高为27.3m,

求出山高CD（只需列式）.

（三）测量角度

例5：某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私

船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度逃窜.巡逻艇立即

以14海里/小时的速度沿着直线方向追击，

问巡逻应该沿什么方向去追？需要多少时间才追上该走私

船？

三、当堂检测

如图，为了计算渭河岸边两景点B和C的距离，由于地形

的限制，需要在岸边选取A和D两个观测点，现测得

AD1CD，AD=100m,AB=140m,而随=SO"ZECD=135a

求两景点B与C的距离（假设A、B、C、D在同一平面内）

四、课堂小结

解三角形应用题的一般步骤:

(1)分析

(2)建模

(3)求解

(4)检验

课后反思

一.反思设计意图

本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后

的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，

因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。并根据本节课的教

学内容以及学生的认知水平，确定了本节课的教学目标。本节课的教

学对象是青岛西海岸新区第一高级中学的学生.学生已经学习了正弦

定理和余弦定理，能够解决一些三角形问题，具有了一定的基础。但

学生在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转

化成数学问题的问题，构造模型的能力有待提高。我认为本堂课学生

难点在于：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角

形，得到实际问题的解并且能根据题意建立数学模型，画出示意图。

二.反思设计思路

第一阶段：情境引入

本节课我以嫦娥四号着陆作为课题的引入，让学生体会生活中的

数学无处不在，数学对生活的影响无处不在.数学方法是解决实际问

题的一大途径。实际问题推动数学发展，数学发展推动科学技术发展。

让学生体会解三角形在生活中的广泛应用，激发学生对于本堂课的浓

厚兴趣。

第二阶段：实际问题，建立数学模型

引入课题后，向学生介绍例1（一点可到达距离测量问题）引导

学生将实际问题抽象概括出示意图，并建立数学模型，再经过数学模

型的解来解答实际问题。“数学源于生活，生活依靠数学，而数学建

模问题贴近生活，充满趣味性；使学生更深切地感受到数学与实际的

联系，感受到数学问题的广泛，使学生对于学习数学的重要性理解得

更为深刻”。在讨论问题时把重点放在解决此问题的可行性上，学生

在初中学习了解直角三角形，相似三角形等方法都可测量举例但应用

我们高中正余弦定理在于可行性很强。

第三阶段：深化第二例

例2是在例题一基础上建立的另一类测量距离的问题。在例题一

得到顺利解决的前提下引入例题2这时学生跃跃欲试。在例题二教学

中依然不给学生做出图形，培养学生敢于画图，爱作图的能力。教学

中鼓励学生积极开展讨论和辩论，主动探索解决之法。教学过程中努

力去创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他们的自学能力，增

强他们的数学素养和创新能力，强调的是获取新知识的能力，是解决

问题的过程。

第四阶段：经历了距离的探究后，引导学生解决生活中的高度和

角度问题。让学生保持“好奇心”，开通自己的“问题源”，培养养

学生用数学知识去观察、分析、提出和解决问题的能力，展示学生多

方面的数学思维能力，并体会数学在生产生活中的强大作用。培养其

创新意识，让学生体会发现问题、探究问题、解决问题的快乐。重在

学生培养“翻译”能力学会分析关系、领悟实质。弄清问题所述的事

件和研究对象；抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；根据题意，

弄清题中各有关量的数