高二数学解析几何知识点

第三章

一、直线的倾斜角与斜率

1、倾斜角的概念：〔1〕倾斜角：当直线[与X轴相交时，取X轴作

为基准,x轴正向与直线2向上方向之间所成的角叫做直线£的倾斜

角。

〔2〕倾斜角的范围：当[与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角

为0°因此0°<<180°o

2、直线的斜率

〔1〕斜率公式：K=tan〔力90°〕

〔2〕斜率坐标公式：K=AZ2L[X]WX2]

/f

〔3〕斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不

一定有斜率。当=0°时，k=0;当0°V<90°时，k>

0,且越大，k越大；当=90°时，k不存在；当90°<

<180°时，k<0,且越大，k越大。

二、两直线平行与垂直的判定

1、两直线平行的判定：

〔1〕两条不重合的直线的倾斜角都是90。，即斜率不存在，那么

这两直线平行；

〔2〕两条不重合的直线，假设都有斜率，那么k1=k2储//J

2、两直线垂直的判定：

〔1〕一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在，那么这两直

线垂直；

〔2〕如果两条直线乙、乙的斜率都存在，且都不为0,那么乙_L，2

kj.1<2=—1

直线/经过点尸（%）,%），且斜率为k,那么方程V-%人（X-拓）为直线的点

斜式方程.

直线/与y轴交点（0力）的纵坐标〃叫做直线/在y轴上的截距

〔intercept〕.直线产丘+b叫做直线的斜截式方程.

直线上两点《。"2）,鸟区,当）且（x尸尸内）,那么通过这两点的直线方

程为q_==（为力在，尸必），由于这个直线方程由两点确定，所以

%一必与一不

我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式

直线/与龙轴的交点为A（a,o）,与>轴的交点为8（0,份，其中“0吠0,

那么直线/的方程土+1=1叫做直线的截距式方程.

注意：直线与X轴交点〔4,0〕的横坐标。叫做直线在X轴上的截距；

直线与y轴交点〔0,。〕的纵坐标人叫做直线在），轴上的截距.

关于的二元一次方程Ar+8y+C=0〔A,B不同时为0〕叫做直线的

一般式方程，简称一般式[generalform].

注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线

直

线直线方使用范

条件

名程围

称

点

y-y=%(xf)

斜6（西，y|）次々存在

式

斜

截k,by=kx+b女存在

式

两(x”y)

y-yx-x,x^x

点]=}2

y2f%一%yr

式x2,y2)

截平面上两点1（知九线（々,〉2）,那么

“0

a.b=\/（々一+（当一%了•

距。工0

式特殊地：P（x,y）与原点的距离为

CP="d+y2.

：点?（%,%）与直线l\Ax+By+C=Q,那么点p到直线/的距离为：

^_\Axn+By0+C\

5/A2+B2

两条平行线直线4Ax++G=。94：

Ax+By+C2=09那么人与/、的距离为公隼3

1.两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组

假设方程组有唯一解，那么两直线相交；假设方程

B2y+C2=0

组有无数组解，那么两直线重合；假设方程组无解，那么两直线平行

2.直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转

化为代数问题来解决.

3.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的

量；②进展有关的代数运算；③把代数运算结果"翻译"成几何关系.

点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行

线的距离转化为点到直线的距离公式

一、直线与方程

〔1〕直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别

地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。度。因此,

倾斜角的取值范围是0°Wav180°

〔2〕直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线

的斜率。直线的斜率常用k表示。即ktana。斜率反映直线与轴

的倾斜程度。

当ae/,90。）时，k>Q；当ae（时,180。）时，k<0；当a=90。时，

A不存在。

②过两点的直线的斜率公式：Z=&二丛（x产9）

x2-Xj

注意下面四点：（1）当王=七时，公式右边无意义，直线的斜率不存在,

倾斜角为90°;

⑵女与2、4的顺序无关；⑶以后求斜率可不通过倾斜角而由直线

上两点的坐标直接求得；

⑷求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

〔3〕直线方程

①点斜式：y-y=-x-Xj）直线斜率左，且过点&/）

注意：当直线的斜率为0°时，k=0,直线的方程是尸功。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能

用点斜式表示.但因/上每一点的横坐标都等于为，所以它的方程是

x=xyo

②斜截式：y=kx+b,直线斜率为K,直线在y轴上的截距为b

③两点式：）一）1=Xf〔工尸”尸％〕直线两点（%,）3（々，乂）

%-XX2-X,

④截矩式：

2a+[b=1

其中直线I与X轴交于点（4,0），与y轴交于点（0向,即/与x轴、）轴的截

距分别为6。

⑤一般式：Ax+By+C=0〔48不全为0〕

注意：①各式的适用范围②特殊的方程如：

平行于x轴的直线：y=匕〔b为常数〕；平行于尸轴的直线：X

〔a为常数〕；

〔5〕直线系方程：即具有某一共同性质的直线

〔一〕平行直线系

平行于直线4x+B0y+c0=o[4,为是不全为0的常数〕的直线系：

4x+B°y+C=0〔。为常数〕

〔二〕过定点的直线系

CiJ斜率为々的直线系：y-y0=k（x-x0）f直线过定点（公,%）;

〔五〕过两条直线4：AX+8J+G=。，/2：4%+不丁+。2=0的交点的

直线系方程为

卬+附+Cj+A^x+B.y+C2）=0〔4为参数〕，其中直线4不在直线系中。

〔6〕两直线平行与垂直

当/]：y=A]X+4，4：y=七%+打时，

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

〔7〕两条直线的交点

/],.Axx+B}y+C}=04：A：x+与,+C2=0相交

交点坐标即方程组依x+Bj+G=O的一组解。

［A2X+B2y+C2=0

方程组无解O/"〃2；方程组有无数解o4与4重合

〔8〕两点间距离公式：设4中必），友孙力）是平面直角坐标系中的两个

点，

那么IA51=J（一一-x）2

〔9〕点到直线距离公式：一点p（x°,y。）到直线4：Ax+8y+C=（）的距离

j_\Ax„+By0+C\

ylA*2+B2

CIO］两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进展求解。

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定

点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

〔1〕标准方程（X-4+6-4=/,圆心（。力），半径为r;

〔2〕一般方程/+y2+Dx+Ey+F=0

当。2+£2一4/>0时，方程表示圆，此时圆心为半径为

r=->lD2+E2-4F

2

当。2+£2一4/=0时，表示一个点；当。2+炉一4/<0时，方程不

表示任何图形。

C3］求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,

假设利用圆的标准方程，

需求出a,b,r;假设利用一般方程，需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来

确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，根本上由以下两

种方法判断：

〔1〕设直线/：Ax+By+C=O,圆C:（x-a）2+（y-〃）2=/,圆心。（q㈤到

1的距离为〃」劭+g,那么有/与C相离；"=r0/与。相切；

-JA2+B2

“<「=/与C相交

〔2〕设直线/:Ax+B），+C=O,圆C:（x-a）、。-4=/，先将方程联立

消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为△,那么有

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式*。+抄。=-2去解直线与圆

相切的问题，其中(公,%)装示切点座标，r表示单径。

(3)过圆上一点的切线方程：

①圆X2+y2=f,圆上一点为(xo,y0),那么过此点的切线方程为

%)+»o=〃)(课本命题).

②圆公勿-勿圆上一点为笈°,y0),那么过此点的切线方程

2

为(xo-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=i(藻本命题的施产).

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与〔差〕，与圆心距〔由之

间的大小比拟来确定。

2

设圆G：(x-q『+()，-4丁=',C2:(x-a2)+(丁一名尸=*

两圆的位置关系常通过两圆半径的与〔差〕，与圆心距〔切之间的大

小比拟来确定。

当d>R+r时两圆外离，此时有公切线四条；

当〃=氏+厂时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线

当分:<d<R+r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公

切线；

当"=/?-厂时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当4<,-尸时，两圆内含；当2=。时，为同心圆。

选修内容：

椭圆

把平面内与两个定点6,工的距离之与等于常数〔大于忻周〕的点的

轨迹叫做椭圆[ellipse〕.其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点

间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设为M时，椭圆即为点集

P={M\\MFt\+\MF2\=2a].

椭圆的简单几何性质

,,2/

①范围：由椭圆的标准方程可得，方=1-左应进一步得：

-a<x<a,同理可得：-b£y&b,即椭圆位于直线x=±a与y=±匕所围

成的矩形框图里；

②对称性：由以一代x,以-)，代y与一代x,且以-y代y这三

个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴

与y轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对

称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，

由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做

短轴；

④离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e=£叫做椭圆的离心率

a

「八】当时，，当寸，cib,b—a

L0<e<1J,2fe->1c—>6-»0；4fe->00

l椭圆图形越扁l椭圆越接近于圆

椭圆的第二定义

当点M与一个定点的距离与它到一条定直线的距离的比是常数

e=£(0<e<l)时，这个点的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点，定直线

a

叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.

222

对于椭圆「+2=1,相应于焦点外G0)的准线方程是根据对

ab-c

222

称性，相应于焦点尸(-GO)的准线方程是》=-<.对于椭圆与+a=1

cab

的准线方程是)，=±《.

C

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离

的比，这就是离心率的几何意义.

由椭圆的第二定义.••弊=e可得：右焦半径公式为

a

2

|MF^\=ed=e\x\=a-ex；左焦半径公式为

c

2

IMF左\=ed=e\x-()\=a+ex

椭圆中焦点三角形的性质及应用

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

22

性质一：椭圆方程为，方=Ka>b>0）,两焦点分别为不已设焦点三

n

角形P£F2中4尸工=仇那么5卯万=/tan-o

22

性质二：椭圆方程为+方=1（。>6>0）,左右两焦点分别为耳6，设焦

点三角形P£F2,假设/月「工最大，那么点P为椭圆短轴的端点。

证明：设明乙,”）,由焦半径公式可知：|尸耳|="+G,，I尸E|=a-%

（归用+|尸段）2-2|尸61P用一4c2

在△耳PB中,cos6=

2|P6|P周—P段

22

性质三：椭圆方程为云+方=1（。>〃>0）,两焦点分别为G,K,设焦点三

2

角形PF】F2中/月尸苞=0,那么cos^>l-2e.

证明：设那么在"；尸尼中，由余弦定理得：

N21-2°2一「2/-2c?_]=]_2e2.命题得证。

2（"412a2

双曲线

把平面内与两个定点6,工的距离的差的绝对值等于常数〔小于

忻用〕的点的轨迹叫做双曲线〔hyperbola〕.其中这两个定点叫做

双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距.即当动点设为M

时，双曲线即为点集/?=｛则||町|-|"周|=2。｝.

双曲线的简单几何性质

22

①范围：由双曲线的标准方程得，方=土后。，进一步得：

x<-«,或X".这说明双曲线在不等式xw-a,或X”所表示的区

域；

②对称性：由以-X代X,以-)，代y与-X代X,且以-y代y这三

个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以

x轴与)制为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与

圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于

双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在

的对称轴叫做虚轴；

④渐近线：直线y=±3,叫做双曲线鼻-与=1的渐近线；

aab~

⑤离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=£叫做双曲线的离心

a

率〔e>l〕.

双曲线第二定义:当动点M(x,y)到一定点F(c,O)的距离与它到一定

2

直线/：》=幺的距离之比是常数e=£〉l时，这个动点M(x,y)的轨迹是

ca

_2

双曲线。其中定点F(c,O)是双曲线的一个焦点，定直线叫双

C

曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率。双曲线上任一点到焦点

的线段称为焦半径。

椭圆

定义1到两定点F],F2的距离之与为定值

2a(2a>|FF2|)的点的轨迹

2.与定点与直线的距离之比为定值e的点的轨迹.

[0<e<l]

y।y

图形X

B

N1JA2

谓AP

I

KiAF2/A2上X

iU°Bi0

产2>X

A；J

Kl•Ni

标

方2222

准二+与=1二+二=1

a1b11b2

方

(a>b>0)(a>h>0)

程

程

=QCOS。

参X^x=acos0

y=bsin0[y=bsin0

(参数防离心角）(参数以离心角)

数

方

程

范围―axa,—axa,—byb

—byb

中心原点。CO,0]原点0co,0〕

顶点(a,0),(—a,0),(a,0),(—a,0),(0,b),

(0,b),(0-b)(0,一b)

对称X轴，y轴；X轴，y轴；

轴长轴长2a,短轴长2b长轴长2a,短轴长2b

焦点Fi(c,0),F2(-C,0)%(c,0),F2(-C,0)

焦距2c[其中c="以2_/]2c〔其中

离心e=—(0<e<1)e=—(0<e<1)

aa

率

准线a1a2

X=±——x=±——

cc

r=a±exr=a±ex

焦半

径

通径2b22b2

aa

名

椭圆双曲线

称

y

图rV0,/7

象r

平面内到两定点F\,F1