高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 21(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(21)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.已知O为坐标原点，OA=(2cosx,V3).OB=(sinx+V3cosx,-1).f(x)=OAOB+2.

(1)求函数f(x)在［0,狙上的单调增区间；

(2)当xe(0,》时，若方程f(x)+m=0有根，求m的取值范围.

2.如图，尸是单位圆(圆心在坐标原点)上一点，/xOP=不作PM1x轴于M,PN1y轴于N,Z.AOB

的两边交正方形OMPN的边PM,PN于A,B两点，且=a设NAOM=a(0〈aW：),

/(a)=OAOB

(1)求/(a)的解析式；

(2)求/(a)的取值范围.

3.经过△04B的重心G的直线与0A,08分别交于点P,Q,设m=m0A，0Q=nOB，m,n&R*.

⑴证明:%；为定值;

(2)求m+n的最小值.

4.已知三点B(8,0),C(0,8),4(x,y),且|刀|=4.(其中0为坐标原点)

(1)若|而+就|=46，求能与万?的夹角；

(口)若瓦(_124,求点A的坐标.

5.已知万=(V5sinx,—cosx),b=(cosx,cos%)</(x)=a-b>

(I)求/'(x)的单调递增区间；

(口)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为mb,c,若f⑻=%且b=遍，求M+cZ的

取值范围.

6.已知正方形A8CD,E,尸分别是CO,A£>的中点，BE,CP交于点P.用向量法证明：

⑴BE1CF；

(2)4P=AB.

7.在中，通常||=c，18cl=a,|刀|=b，易知^5?=+8C*.

(I)用向量方法证明：b2=a2+c2-2accosB；

(II)若|同|=4限cosB=—，AC边上的中线|前|=3遮，求sinA.

6

8.设平面内向量65=(1,7),而=(5,1).

⑴若加=(3,4),求与•丽的值;

(2)若两=(2,1),P是直线。加上的一个动点，当行•丽取最小值时，求丽的坐标.

9.已知向量之=(sinx,cosx-I),b=设/

(1)求函数/(x)的最小正周期和对称中心；

(2)已知a为锐角，PG(0,71),/~(a+g=蔡，sin(a+g)=—蔡，求sin(2a+0)的值.

10.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A,B,C三点满足OC=工04+?。8.

33

(2)已知4(l,cosx),B(1+cosx,cosx),xG[0,^],/(x)=04-OC-(2m+|)|ylB|,若/'(x)的

最小值为g(m),求g(m)的最大值.

11.已知点4(-3,5),8(1,10),C(2,l)求：⑴以•丽的值;

(2”4CB的大小；

(3)点A到直线BC的距离.

12.已知复平面内%BC£>,A点对应的复数为2+i,向量瓦?对应的复数为l+2i,向量能对应的复

数为3-i,。为坐标原点.

(1)求点C,。对应的复数；

(2)求办BCZ)的面积.

13.在团4BC中，AC=BC=3,AB=2,祝=3前,AC=2AN.

(1)用荏和前表示祠;

(2)求丽.AB.

14.已知Z=(sinK—cosx,-2),b=(1,sinxcosx)>/(%)=a-b>其中X6长,弓］.

(1)求函数f(x)的值域；

(2)若存在比€称,才使得/(々))=0,求2夜sin(x。+学)的值.

15.已知向量沅=(―j,y),n=(2cosa,2sina),0<a<n

(1)若记〃元，求「——闻32-------的值；

sin2a+sinacosa-cos2a-l

(2)若|沅+宿=|可，求sin(a+,的值.

16.已知回4BC中，过重心G的直线交边AB于P,交边AC于Q,设团APQ的面积为Sr团4BC的

面积为$2，AP=pPB'AQ=qQC-

⑴求(51+4+必

(2)求证：*=1.

(3)求兴的取值范围.

17.已知百，孩是平面内两个不共线的非零向量，丽=2瓦(+右,呢=-区+4葭，前=-2瓦•+京,

且4,E,C三点共线.(1)求实数4的值；

(2)若瓦•=(2,1),孩=(2,-2),。(3,5),A,B,C,。四点按顺时针顺序构成平行四边形,求点A

的坐标.

18.在①函数f(x)=9in(23x+w)@>0,取<》的图象向右平移5个单位长度得到g(x)的图象,

g(x)图象关于原点对称;②向量而=(V3sina>x,cos2a)x),n=Qcos(ox,,(o>0,/(x)=m-n；

③函数f(x)=cossxsin(3%+')-；(a>>0)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并

解答.已知,函数/(%)的图象相邻两条对称轴之间的距离为最

(1)若0<。<今且sin0=/求/(。)的值；

(2)求函数/(x)在［0,2兀］上的单调递减区间.

19.已知向量五，E满足同=4,同=2,a,方的夹角为仇

⑴若。=季求心位+石)的值；

(2)若cos0=；,求他+尤加|(尤eR)的最小值.

20.在44BC中，已知点。为边8c上一点，点E为边AC中点，A。与BE交于点P,且前=4屋.设

而=xAB+yAC(x,yG/?).

(1)求y-x的值;

(2)若AB=6,AC=3,。为44BC的外心，则而.四是否为定值？若是，求出这个值；若不是,

请说明理由.

21.在AABC中，a,6,c分别为内角A,B,C的对边，且C=泉a+b=4c(其中4>1).

(I)若;1=B，证明：AaBC为直角三角形；

(2)若前,前=：",且c=3,求;I的值.

22.在A40B中，已知04=y/2,OB=>/3,04=a.OB=b>a-fa=-1>设点尸为边AB上一点，

点。为线段80延长线上的一点.

⑴求话•荏的值；

(2)^P0PQ=0P-0A，求|次|的取值范围.

23.已知。为坐标原点，对于函数/(x)=asinx+bcosx,称向量丽=(a,b)为函数的伴随向量，

同时称函数/(%)为向量两的伴随函数.

(1)设函数/(无)=2cos《+x),求/(x)的伴随向量丽

(2)记向量而=(1,遮)的伴随函数为g(x),当g(x)=g,且%€(-或1)时，求sinx的值；

(3)由(1)中函数f(x)的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再把所得的图象向右平移g

个单位长度得到函数/i(x)的图象.已知4(一2,3),B(2,6),问在y=/i(x)的图象上是否存在一点P,

使得可，刀？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由•

24.设函数f(x)=3•b,其中向量日=(2cosx,1),b=(cosx,bsin2尤+zn).

(1)求函数/(X)的最小正周期；

(2)当xe|o,1时，一4</(%)<4恒成立，求实数02的取值范围.

25.假设在静水中船的速度大小为20米/分，水流的速度大小为10米/分，如果船从岸边出发沿垂

直于水流的航线到达对岸.

(1)求船航行的方向；

(2)经过3小时，该船的实际航程是多少千米？

26.已知五=(3,—2),h=(2,1)>O为坐标原点.

(1)若m五+石与五-23的夹角为钝角，求实数m的取值范围；

(2)设市=8，OB=b<求△CMB的面积.

27.已知向量方=(l,sin0),b=(2,1).

(1)求当。=*时，求向量2Z+石的坐标；

(2)若五〃另，且。6(0,》求tan(e+$的值;

(3)若©=24,且1L7?，求翻勺坐标.

28.已知|4=1,|b|=V3-a+K=(V3,l)>试求：(1)|百一方|

(2)苍+了与苍一方的夹角.

29.如图所示，在团4BC中,已知点。在边BC上，且皿C=9。。，cos的”等，AB=6.

(1)若5讥。=白，求线段3c的长；

(n)若点E是3c的中点，AE=y[Y7,求线段4c的长.

30.如图，在Z1OAB中，已知尸为线段4B上的一点，OP=x-0A+y-0B.

(1)若乔=方，求x,y的值;

(2)若乔=3万而|=4,|而|=2，且就与赤的夹角为60。时，求而•荏的值.

【答案与解析】

1.答案：解：(l)f(x)=04•OB+2=2cosxsinx+2V3cos2x—V34-2=sin2x+取cos2x4-2=

2sin(2x+g)+2,

函数单调增区间：一]+2人>42工+；W*+2A-7r(A:GZ)；

—+卜"W工Wij+人4及€Z),

设-4(—；：；+小不；,+A,7r](A-eZ),B=[0,n],

则ACB=[O*]U吟,兀].

所以函数/(x)在[0,扪上的单调增区间为。*],[工,可；

(2)当xG(0《)时，若方程f(x)+m=0有根，

所以=一小在％e(0《)上有解，

由％e(0,5),得2x+ge《,g),

所以一餐<sin(2x+^)<1,则2一b</(x)<4.

所以ni£[—4,V3—2).

解析：本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

(1)先利用数量积以及三角函数的知识对解析式进行整理，再利用整体代换思想，求出函数的递增区

间与[0,利取交集即可;

(2)先求出/(x)的范围；再结合/(x)=-m即可求解.

2.答案：解：(1)••・40P=%\0P\=1,\0M\=\0N\=y.

在Rt^AOM中，cosZ71OM=鬻，...|0*=IOM|=号,

11COS2OMcosa

42

在RfBON中，cosNB。"^,2

cos7(^--a)r

••.f⑷=和9=I西•I函CB=[Xcx：sj)XC喏皆Xc°sa二(『)

(2)令g(a)=cosa•cos©-a)=cosa-y(cosa+sina)=y(cos2a+sinacosa)

=yx1(cos2a+sin2a+1)=jsin(2a+

•••OWaW：,•••2a+：e《,号,sin(2a+^)e[y,l]«g(a)€除竽].

L1

.-./(a)e[V2-l,-].

解析：(1)易知|0M|=|0N|=当，在RM/OM和/^△30时中，可分别用。表示线段|。力|和|。3|的长，

然后根据平面向量数量积的定义，f(a)=OA-OB=\OA\-\OB\cosz.AOB^将其整理成只与a有关

的函数式.

(2)令g(a)=cosa-cos/-a),结合余弦两角差公式、二倍角公式和辅助角公式，将其化简为g(a)=

：sin(2a+9+9,然后根据正弦函数的图象与性质以及OSa等，可求得g(a)的取值范围，进而

得/'(a)的取值范围.

本题考查平面向量与三角函数的综合运用，包含平面向量数量积、三角恒等变换的基础公式和正弦

函数的图象与性质，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

3.答案：(1)证明设。X=1，OB=b-

由题意知面=|x)6?+万均=式五十石),

PQ=0Q-OP=nb-mar

PG=0G-OP=(5-血)五十§b,

由尸，G,。三点共线得，

存在实数；I,使得的=2对，

即nb—ma=AQ—4-|Ah,

从而「「(》叫

1n=3

消去播"3=3

(2)解由(1)知，5+1=3,

于是m+n=[(3+3)(m+n)

=1(2+5+*式2+2)=3

当且仅当m=九=|时，m+n取得最小值，最小值为g.

解析：本题考查向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，基本不等式

求最值，属于中档题

⑴根据方与血共线，根据共线向量基本定理知，存在实数人使得病=4苍，进而得到〃?，〃的关

系式，由G为三角形的重心则。G=[(。4+。8),结合0Q=n0B>我们根据P,G,

。三点共线，易得到机，〃关系式，整理后即可得到3+：的值.

(2)利用壹+；=3,再利用基本不等式求最值.

4.答案：解：(I)由题得,0A=(x,y)>0C=(0,8).OB=(8,0)，

|0^4|=4>•••x2+y2=16①，

又•••|丽+市|=4夕，•••(8+x)2+y2=112(2),

联立①②可得：x=2,y=+2\/3,

3(就西=^=土字

因为〈刀，灵)G[0,7T],

故刃与灰的夹角为30。或150

(II)由题知，x2+y2=16,又前_1_可，则不=0，即：%2+y2-8x-8y=0,

联立｛%2+y2=16,x=1—V7,-(%=14-V7

8y=。解得

x2+y2—8%—y=1+V7(y=1—小'

・・・4(1-V7,l+。或(1+V7,1-V7).

解析：本题考查了向量模的计算、向量的夹角、向量垂直与数量积的关系、同角三角函数基本关系

式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

(1)由题意，可得％2+y2=]6①，(8+x)2+y2=112②，联立①②求出x,yf从而利用向量夹

角公式即可得出；

(2)前1近，可得瓦心钻=0，则/+y2-8x-8y=0,联立/+y?=16解得坐标即可.

5.答案：解:(1)因为五=(bsin%,—cos%),b=(cosx,cos%)»

所以f(x)=a-b=(V3sinx,-cos%)•(cosx,cosx)=V3sinxcosx—cos2x

=Ysin2x—|(cos2x4-1)=sin(2x—

令---F2/CTT<2x—<—F2kji,kWZ得------Fkii4％〈—Fku,kEZ,

26263

所以/(x)单调递增区间为[—*+/ot](kGZ);

(2)因为/(B)=抑sin(2B-^)-i=(

所以sin(2B一弓)=1,

所以2B+2/CTT,kGZ即B=-+k7i,keZ,

623

因为BG(O,TT),

所以B=?

由余弦定理得Z>2=a2+c2-2accosB即心+c2—3=ac,

由基本不等式得a?+c2>2ac,当且仅当a=c时取等号，

所以a?+c2>2(a2+c2-3)即心+c2<6>

又因为a?+c?=3+ac>3,

所以&2+02的取值范围为(3,6].

解析：本题考查平面向量坐标运算、数量积，三角函数性质以及余弦定理得应用，属于中档题.

(1)根据/(%)=a.就入数值得到=sin(2x一习后，然后令一/+2/OT《2x-看4]+2k兀,kG

Z即可求解单调递增区间；

(2)先利用/(B)=：求解角B,然后利用余弦定理得到炉=a2+c2-2accosB即a2+c?-3=ac,最

后利用基本不等式a?+c2>2ac求解取值范围即可.

6.答案：证明：(1)如图建立直角坐标系X。)，，其中4为原点，

则4(0,0),8(2,0),C(2,2),E(l,2),F(0,l).

JE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(-1,2),

CF=OF-OC=(0,1)-(2,2)=(-2,-1).

vBE-CF=-1x(-2)+2x(-1)=0.

:.BE1CF.

(2)设P(%,y),则而=(%,y-l),CF=(-2,-1)，

-FP//CF,

・•・—x=-2(y—1),即％=2y—2.

同理由并〃而，

得y=-2x+4,代入％=2y-2.解得x=

■,-y=?即p联>

.•./=(丁+(•=4=就

.•.网=画，

解析：本题考查利用平面向量证明线段垂直与线段相等，解题的关键是建立直角坐标系将几何问题

转化为代数问题进行计算证明，即利用平面向量的坐标运算及数量积运算证明线段垂直；利用平面

向量的坐标运算及计算平面向量模相等证明线段相等.属中档试题.

(1)解题的关键是将线段垂直转化为平面向量数量积为0,即而.CF=0,得到BE1CF.

(2)解题的关键是将线段相等转化为平面向量的模相等，即|而|=|四得到4P=4B.

7.答案：ft?：(I)=AB+BC.

AC2=(AB+BC)2=AB2+BC2+2AB-BC>

即炉=+2accos(n-5)=a24-c2-2accosB.

(口)...前=皿，...|BD|2=«±±«L±™£,

24

即小+4a—21=0,:、a=3或a=-7(舍)，

又•・•b2=a2+c2-2accosB,.・.b=2V21»

：•sin/=fsinB=—.

解析：本题主要考查了向量的加法、减法、数乘运算，向量的模，正弦定理及余弦定理的应用，考

查了推理能力与计算能力，属于中档题.

(1)由前=而+就，两边平方整理即可得出结论；

(2)由|前1=3花，可求出“，从而利用余弦定理可求出人,进而根据正弦定理可求出sinA.

8.答案：解：⑴•响量6？=(1,7),宿=(5,1),加=(3,4)，

：.PA=OA-OP=(-2,3),而=OB-OP=(2,-3).

二两厢=-2x2+3X(-3)=-13.

(2)设罚=(x,y).

vP在直线OM上，

又两=(2,1)，

：.x-2y=0,即加=(2y,y),

又两=应一加=(1—2%7—y)，P5O^-OP(5-2i/.1-y).

：.PA-'PB=5y2-2Oy+12=5(y-2)2-8.

二当y=2时，可•而取得最小值一8,此时罚的坐标为(4,2).

解析：本题考查了向量的数量积和平面向量的坐标运算以及函数的最值，是中档题.

(1)先得出刀，而坐标，由向量数量积的坐标运算可得结果.

(2)先设赤=(%,y),因为尸在直线0M上，利用向量共线可得x=2y,从而得出方•丽=5必—

20y+12=5(y—2)2—8,根据二次函数的性质即可得出同.丽的最小值，进而得出加的坐标；

9.答案：解：(1)/(%)=y/3sinx—cosx+1

V31

=2(—sinx--cosx)+1

nn

=2(sinxcos——cosxsin-^)4-1

=2sm(x--)4-1,

6

其最小正周期为2m

对称中心为(k兀+91),kez；

o

(2)/(a+7)=2sina+1=

65

・•・stna=4

又a为锐角，

・••cosa-3

・“G(0,7T),

.-.a+/?e(O,y),

vsin(a+°)=-卷<0,

二a+0e(7T,y),

cos(a+/?)=一《，

:.sin(2a+/?)=sin[a+(a+/?)]

=sinacos^a+夕)+cosasin^a+0)

45312

=-x(-----)+-x(-----)

5l田5l13J

56

=一密

解析：(1)利用数量积把f。)化为三角函数，可直接得到周期和中心；

(2)把2a+/?看成a+(a+£)是解题的关键，结合角的范围分别求出a和a+0的正余弦值，代入公式

即可得解.

此题考查了向量数量积，三角函数的性质，三角函数的求值变换等，难度适中.

10.答案：解：⑴由题意知4B,c三点满足衣=4而+[而,

可得而一市=|(话—丽)，所以前=|荏=式就+函)，Bpi^c=|ce

即祝2方，则I正I=2|四|,所以爆=2.

(2)由题意，函数f(%)=04.OC—(2m+1)\AB\=14-jcosx+cos2%—(2m+§cosx

=(cosx-m)24-1-m2因为％G[0^],所以cosxE[0,1],

当mV0时,/(%)取得最小值g(m)=1,

当0WmW1时，当cosx=ni时，f(%)取得最小值g(m)=1-m2,

当m>1时，当cos%=1时，f(%)取得最小值g(m)=2-2m,

rl,m<0

综上所述，g(m)=j1-0<m<1,

(2-2m,m>1

可得函数g(?n)的最大值为1,即g(m)的最大值为1.

解析：本题考查平面向量的线性运算以及函数最值的求法，属于中档题.

(1)利用向量线性运算可得前=20进而求出结果；

(2)利用向量数量积结合/(%)=(cos%-?n)2+1-僧2因为工£[(),§,所以cos%€[0,1],然后

分别讨论即可求出结果.

11.答案：⑴因为4—3,5),B(l,10),C(2,l),

所以石<=(-5,4),CB=(-1,9),

所以不CB=-5x(-1)4-4x9=41;

0

(2)因为」

,25+16x，1+81

所以孑

(3)点A到直线BC的距离为|不|xsin乙4cB=V41x—=—

解析：本题考查了向量的坐标表示与运算问题，求两向量的夹角大小的应用问题，由数量积求点到

直线的距离等知识，属于中档题.

(1)根据向量的坐标表示和向量的数量积计算求解即可；

(2)利用夹角公式求出两向量的夹角；

(3)利用数量积求点到直线的距离求解即可.

12.答案：解：⑴由题意，在复平面直角坐标系中，4(2,1),瓦5=(1,2),

BC=(5,-1),

•■AC=BC-BA=(2,-3),

又能=d5+配=(4,-2)，

•••点C对应的复数为4一2九

又前=瓦5+瓦(4,1),OB=OA-BA=(1,-1).

.-.OD=OB+BD=(5,0)，

点。对应的复数为5.

(2)；瓦?.BC=\'BA\\BC\cosB，

cR4BC3-21

・・COS—同懈|-y[5Xy[10-

，smB=金,

"S四边形ABCD=IBA11BC\sinB

=V5xV10x^==7.

・•.平行四边形ABCD的面积为7.

解析：本题考查复数的几何意义，平面向量数量积的运算，考查计算能力，属于基础题.

(1)表示向量前对应的复数，用品=初+前求点C对应的复数；而=赤+而求出。对应的复

数；

(2)由平面向量的数量积求出cosB,再求sinB,利用|瓦？||瓦:|s讥B求平行四边形A8C。的面积.

13.答案：解：(1)因为瓦^=3两，

所以前=荏+1前=荏+1(而-荏)=7荏+1尼.

(2)过点C作CD1AB于。,

则AD=1,AC-AB=\AB\-IJC|COS/4=2.

因为前=2AN，

所以而=而一宿=%而—乙荏+二而)=-IAB+^AC,

2133736

从而丽•而=(-|AB+^AC)•AB=-||AB|2+1AB-AC=-|x22+|x2=-1.

解析：本题考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算及数量积，属于中档题.

(1)依题意，由宿=荏+]就即可解题；

(2)过点C作CD_LAB于。，求出前.荏，表示出而，即可由丽•荏=而+:而)•而求出.

36

14.答案：(1)/(%)=(sin%—cosx)-2sinxcosx

设sin%—cosx=3则1—2sinxcosx=t2

所以/(%)=/+t—1

又sinx-cosx=V2sin(x一》%一彳£[。,外

所以&sin(x-9€[0,金],g|lte[0,V2]

y=t2+t—1在[o,a]上单调递增，

t=0时，y=-1；1=夜时，y=V2+1

/(x)的值域为[―1,&+1]

(2)令f2+t-l=0,tG[0,V2]

得「=呼，即应sin®,*)=三更

故2夜sin（&+乎）=2V2sin（x0一?+兀）=-2V2sin（x0一力=1一遍.

解析：本题结合向量的数量积，换元法求最值等知识考查了三角函数求值域问题以及化简求值问题,

属中档题.

(1)利用向量的数量积求出/(X)的表达式，利用换元法求出值域.

(2)由/'(%())=0得到或sin(沏-》=-1+V5,利用角的配凑求出2&sin(x。+为即可.

24

15.答案:解：(1)・・•布〃五,

1

~22cosa

V32sina

T

cosaV3

------=——

sina3

sin2a

sin2a+sinacosa—cos2a—1

2sinacosa

sin2a+sinacosa—(1—2sin2a)—1

2sinacosa

sin2a+sinacosa+2sin2a—2(sin2a+cos2a)

2cosa

sina

=3+V3

(2)v\m+n\=|n|,

即」(2cosa-1)2+(2sina+乎)=V4sin2a4-4cos2a,

・•・4cos2a—2cosa+工+4sin2a+2V3sina4--=4cos2a+4sin2a,

44

2bsina—2cosa+1=0,

V3.11

八一sina=-cosa——

224

=^si„a+Aco8a=si„r(a-^7T11遗_3v/5-1

sm(a+-+-T

\622L\6/42r8

解析：本题考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及

其应用、向量的模、向量垂直的判断与证明、向量的数量积，属于中档题.

(1)根据记〃五，得出吧=一些，将需求的式子先降角成一倍状态,

sina3

再上下同时除以siMa,即可求出结果;

(2)由|m4-n|=|n|,得出2V5sina—2cosa+1=0,即^sina=|cosa—5

利用&in(a+sina+，即可求出结果.

16.答案：解：(1)延长AG交8c于O,则。为8C中点，

.・.GZJ+GC=2GD，

•・,G是重心，,GA=-2而)，

.\GA^GB^GC=-2GD+2GD=0；

(2)设旗=3品

--IP-—a

•・•AP=pPB，［各'

..・花=勺亦.•.疝=言乙

•••P,G,Q三点共线，

则存在a,使得花=入而，即/Q-zip=a(4G-/p),

即空二=也即2一三=三+1,即上+三=1

pqpqpq

(3)由⑵Q=€b，而=言”，

S[府WnNBACI益H后IPq

S21网.网.sinNBACAB-AC1+P1+9

11p

.•;+Z=L9=有，可知P>L

则当：时，金取得最小值，，当：=i时，金取得最大值

PZ，29P322

•争1,则包的取值范围为KA)・

解析：本题考查平面向量的线性运算，考查基本定理和共线定理的应用，考查面积公式的应用，属

于较难题.

(1)延长4G交BC于。，则。为8c中点，可得由?+而，=2Gb，GA=-2GD'即可求出;

⑵设/可得力"'/，疝=/</，可得启一人=%(/一六)，即可建立

关系求得;

J|.4P|-|.4Q|-siuZB.4CAPAQ

(3)可得、,J.；」'，，再根:+；=1结合P的范围求

轲・网sinABACABAC

出.

17.答案：解：⑴荏=荏+而

=（2%+孩）+（一久+2或

=瓦+(1+4)宅.

-A,E,C三点共线，

存在实数鼠使得荏=/£就，

即可+(1+4)五=软―2瓦<+或)，

得(l+2k)瓦=(k-l-a)孩.

•・・瓦，瓦是平面内两个不共线的非零向量，

・•.6+yI。,解得卜=心,A=-|.

(2)"A,B,C,。四点按顺时针顺序构成平行四边形，

•••AD-BC<

设4(*,y),则而=(3—X,5—y),

­.•BC=FE+FC=-3e7-|eJ=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2),

隹;U，解瞰二°

故点A的坐标为(10,7).

解析：本题考查了向量共线、向量的坐标运算、平面向量的基本定理，本题属于中档题.

(1)可以利用三点共线，得到向量的线性关系，解出4的值，即可得到结果；

(2)由已知条件得到面的坐标，再由标=近，得到A点的坐标，即可得到结果.

18.答案：解：方案一：选条件①

由题意可知，7=答=兀，

2a)

AO)=1

：,/(%)=1sin(2x+<p),

•••g(x)=1sin(2x+w

zo

又函数9(%)图象关于原点对称，

：・(p=kn+三，kEZ,

l<pl<p

n

•1•/（X）=，sin（2x+J

方案二：选条件②

vm=(V3sincox,cos2cox),n=|costox,J

V311/V31

・•・/(x)=m-n=--sina)xcosa>x-{---cos2a)x---sin2d)x+-cos2tox

242\22

=1sin(2a)x+胃

又T=争=7T,

2a)

，3=1

]

•••fM=]sin(2x+

方案三：选条件③

/7T\]/n7l\1

/(%)=cos6>xsinIa)x+-)--=coscox(sintoxcos—+costoxsin-

\6，4166，4

V3.,iiV3.,1

=—sintoxcosx+-cos2£a)x——=—sinzocox+-coszoeox

22444

=j(ysin2(ox+jcos2o)x=jsin(2o)x+/),

又T==7T,・•・co=1,・••/(%)=；sin(2%+J

(1)0<0<-,sin9=-,cos9——,sin20=—,cos20=-

VJ23399

1V314V64-7

f⑻=5(亍sin26+5cos2。)=———

22236

(2)由—F2/CTTW2XH—W—Ti+2kn,k6Z,

262

得=+/CTT<%<|TT+k7l,keZ,

63

令k-0,得g<%<

63

令k=1,得：7T<X<|兀，

••・函数”久）在［0,2兀］上的单调递减区间为K，|T,七兀q兀］.

解析：本题主要考查了函数y=4s讥（3x+3）+k的图象与性质，涉及向量的数量积、函数图象的平

移、两角和与差的三角函数、二倍角公式、辅助角公式，属于较难题.

选①先平移求得g（x），再根据g（x）的周期及关于原点对称求得3,0得到函数解析式，（1）由0的范围

及正弦值求得。，进一步求得/（。）的值；（2）利用函数/（x）=Jsin（2x+g）求得单调递减区间，再求

交集即可；

选②利用向量的数量积及二倍角公式、辅助角公式化简函数的解析式，结合函数的周期求得3得到

函数的解析式，余下同选①；

选③利用两角和与差的三角函数、二倍角公式、辅助角公式化简函数解析式，结合函数的周期求得

3得到函数的解析式，余下同选①.

19.答案：解：（1）因为向量房B满足|砧=4,西|=2,a,3的夹角为宗

所以五+=a2+a-b=16+4x2x（-i）=12

⑵向量五，B满足|百|=4,|引=2，a,石的夹角为。，又cos。=%

则|为+x方|=Ja2+2xa-b+x2b2-V4x24-4x+16

=2卜+/1+.彳15

所以，当x=-：时，

|a4-%b|的最小值为

解析：本题主要考查平面向量的数量积的运算性质，属于基础题目.

(1)直接把已知条件代入其数量积即可；

(2)先求其平方；进而求得结论.

20.答案：解：(1)因为点E为边AC中点，AD与BE交于点、P,

且前=4而，

所以前=:近=\*,(近+褊)=|前+：褊，

又点。为边8c上一点，

所以存在实数f,使得前=t而，

因此丽=:近+|前=|t前+(明，

因为A,P,。三点共线，

所以ft+|=1,则t=|,

即就=|前，

所以前•■希=|(而一四)，

整理得：AD=^AB+IAC,

又而—xAB+y'AC>

(i

所以《x=-；，

ly=3

因此y-x=i；

(2)分别取AB,AC的中点M,N,连接OM,ON,

B

则0Ml4B,ONLAC,

所以南.荏=g|荏巳AO-AC=^\AC\i,

又4B=6,AC=3,

所以而-AD=Ad-(^AB+1AC)=|^40-AB+1前•AC

=||AB|2+||^C|2=^X36+|X9=9.

解析：求解本题的关键在于利用平面向量基本定理，以及三点共线的充要条件，确定点。的具体位

置，即由前=4屈，结合题中条件，由A,P,。三点共线，求得能=|前，即可求解，属于中档

题.

(1)根据平面向量基本定理，由向量的运算法则，先得到丽=|正+|雨，设瓦t=t前，根据三点

共线的充要条件，得到t=|,再由向量运算法则，用荏和前表示出而，结合题中条件，即可得出

结果；

⑵根据向量数量积的几何意义，得到布•荏=?同『，同=?而匕即可根据⑴的结果,

求出布•前的值.

21.答案:(1)证明：，：入=遮,

・•・Q+b=V3c,

•••C=pBPsinC=—,

32

・•・由正弦定理得sin/+sinB=y/3sinC=|,

・••sinA+sinB=sinB+sin(——B)=sinB4--cosB4--sinB=

k37222

・•・|sinB4-ycosB=|,即sin(B+')=?，

・・,8+,=；或8+/=.，即或B=],

oo63oZ

若B=±得到4=三此时△ABC为直角三角形;

ON

若B=1时，△4BC亦为直角三角形；

(2)解：：AC.BC=gab=gM,...附=\",

又a+b=34,

由余弦定理知a?+b2—c2=2ab-cosC,即a?+b2—ab=c2=9,

■.(a+b)2—3ab=9,BR9A2—yA2=9,A>1,

解得：A=2.

解析：此题考查了正弦、余弦定理，三角恒等变换等知识，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，

属基础题.

(1)将;I代入已知等式得到a+b=Wc,利用正弦定理化简，由C的度数得出4+B的度数，用8表

示出A,代入化简，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出8的度数，即可确定三角形为直角

三角形；

(2)利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式，表示出心，再利用余弦定理列出关系式，再由已

知的等式，代入计算即可求出4的值.

22.答案：解:(l)OB-XB=K(i-a)

―2——

=b—a-b=4-

(2)设=xa+(1—x)b(0<%<1)

OQ=t/?(t<0),

所以的=-%a+(t+%—1)方，

因为而•闻=而万^

所以(%为+(1—x)K)­(%a-(t+x-1)K)

=(xa+(1—x)b)•五,

所以/a2+[(1—x)x—x(t4-x-1)]a-6—(1—x)(t+x-1)b

=xa2+(l-x)a-K，

所以2%2+(x2—x+%2+(t—])%)+3Q2+(£—2)x—(£-1))=3x—1,

所以7/+4tx—11%—3t+4=0,

又因为tv0,0<%<l,

所以巴等2<0,

所以(7x-4)(4x-3)<0,

43

所

以-<%<-

74

所以|OPI2=(xa+(1—x)b)2

=7x2—8%4-3

=7(%-i)2+|,

所以；<|而『<3

所以苧<1研〈平.

解析：本题考查了向量的数量积以及向量的模，属于中档题.

(1)根据向量的数量积直接进行运算：

(2)0P=xa+(l-x)b.根据已知把|而|转化为x的函数，根据二次函数求最值.

23.答案：解：(1)因为/(x)=2cosG+x)=cosx-遍sinx

所以/'(x)的伴随向量丽=(-73,1)；

(2)向量。纾=(1,75)的伴随函数为g(x)=sinx+V5cosx，

因为g(x)=sinx+75cosx=2sin(x+g),且g(x)=三

所以2sin(x+卞=2,

所以sin(x+g)=g，

因为xe(—5O

所以0<x+K5,

所以cos(x+g)=Jl-sin2(x+=Jl一=|»

所以sinx=sin[(x+-)—-]=-sin(x+-)--cos(x+-)=-x-——x-=4-3^；

I、3，3」2'3，2'3，252510

(3)将函数/(x)的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=2cosc"+$

再把所得的图象向右平移半个单位长度得到/i(x)的图象，得到妙)=2cos[/-争+白=

C1

ZC0S-%,

2

假设在y=M尤)的图象上存在一点P,使得司,3，

设P的坐标为(x,2cos|x),

因为4(-2,3),B(2,6),

所以同=(-2—%,3—2cos=(2—x,6-2cos|x),

因为可,对，

所以可•而=0,

11

即(—2一%)(2—x)+(3-2cos-x)(6—2cos-x)=0

整理得:x2+4cos21—18cos|x+14=0

所以(2cos=弓_%2①

由于一242cos<2,

所以g《(2cos、一犷《詈，

又与一/《印

44

所以当且仅当％=0时①式成立，

所以在y=/i(x)的图象上存在点P(0,2),使得可,对.

解析：本题主要考查新定义，正弦和余弦函数的图象特征，向量数量积运算，向量垂直的性质，两

角和差的三角函数公式，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题.

(1)化简函数f(x)的解析式，可得f(x)的伴随向量而；

(2)先由条件而=(