高中数学必修二 10.1随机事件与概率（精练）

10.1随机事件与概率（精练）

【题组一事件类型的判断】

1（2021•全国•高一课时练习）下列事件是必然事件的是（）

A.从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签

B.函数尸logex（a>0且a#l）为增函数

C.平行于同一条直线的两条直线平行

D.随机选取一个实数x,得2yo

【答案】C

【解析】A是随机事件，5张标签都可能被取到.

B是随机事件，当a>l时，函数尸log.x为增函数，当0〈a〈l时，函数尸log,,“为减函数.

C是必然事件，实质是平行公理.

I）为不可能事件，根据指数函数了=2*的图像可得，对任意实数x,都有2'>0.

选故：C

2.（2021•陕西咸阳•高一期末）下列事件是随机事件的是（）

①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上；

②异性电荷相互吸引；

③在标准大气压下，水在1（XTC时结冰；

④任意掷一粒均匀的骰子，朝上的点数是偶数.

A.B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【解析】①④中的事件为随机事件，②中的事件为必然事件，③中的事件为不可能事件.

故选：D.

3（2021•全国•高二课时练习）袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（）

A.取到的球的个数B.取到红球的个数

C.至少取到1个红球D.至少取到1个红球的概率

【答案】B

【解析】/的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，〃中概率值是一个定值而非随机变量，只有

6满足要求故选：B

4.（2021•全国•高一课时练习）（多选）下列事件是随机事件的是（）

A.函数f(x)=x2—2x+a的图象关于直线x=l对称

B.某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电

话号码

C.直线尸履+6是定义在A上的增函数

I).某人购买福利彩票一注，中奖500万元

【答案】BCD

【解析】A.根据二次函数y=ay2+bx+c的对称轴为彳=-二，可得f(x)=V—2x+a图像关于

x=l对称，是必然事件；

B.因为忘记最后一个数字，随意拨了一个数字，故是随机事件；

C.因为女的不确定，所以也有可能是减函数；

D.彩票由很多张，买了一张中奖，当然是随机事件；

所以A为必然事件；B,C,D为随机事件.

故选：BCD

5.(2021•全国•高一专题练习)(多选题)在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中是

随机事件的是()

A.3件都是正品B.至少有1件次品

C.3件都是次品D.至少有1件正品

【答案】AB

【解析】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，

则“3件都是次品”不是随机事件，是不可能事件，

又25件产品中只有2件次品，从中任取3件产品，则“至少有1件正品”为必然事件，

而A,B是随机事件.故选：AB

6.(2021•全国•高一课时练习)指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：

(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；

(2)三角形的内角和为180;

(3)没有空气和水，人类可以生存下去；

(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；

(5)从分别标有1、2、3、4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；

(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现.

【答案】(1)随机事件；(2)必然事件；(3)不可能事件；(4)随机事件；(5)随机事件；(6)不可能事件.

【解析】(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件；

(2)所有三角形的内角和均为180,所以是必然事件；

(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件；

(4)同时抛掷两枚硬币-次，不一定都是正面向上，所以是随机事件：

(5)任意抽取，可能得到1、2、3、4号标签中的任一张，所以是随机事件；

(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件.

【题组二确定样本空间】

1.(2021•浙江•台州市路桥区东方理想学校)集合［={2,3},8={1,2,4),从46中各任意取一个

数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为()

A.8B.9C.12D.11

【答案】D

【解析】根据题意，所有样本点为：21,22,24,31,32,34,12,13,23,42,43,共11个，

故选：D

2.(2021•河北承德第一中学开学考试)同时掷两枚大小相同的骰子，用(x,0表示结果，记事件/为“所

得点数之和小于5”，则事件/包含的样本点数是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】I)

【解析】因为事件4={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)},共包含6个样本点

3.(2021•黑龙江•哈尔滨工业大学附属中学校高一期末)做试验“从一个装有标号为1,2,3,4的小球

的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x,y),x为第一次取到的小球上的数字，y

为第二次取到的小球上的数字”.

(1)求这个试验样本点的个数；

(2)写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.

【答案】(1)12；(2){(2,1),(2,3),(2,4)).

【解析】(1)当产1时，尸2,3,4；当下2时，尸1,3,4；同理当产3,4时，也各有3个不同的有序数

对，所以共有12个不同的有序数对.故这个试验结果样本点的个数为12.

(2)记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件4则在{(2,1),(2,3),(2,4)).

4.(2021•全国•高一课时练习)写出下列各随机试验的样本空间：

(1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；

(2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其46。血型；

(3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；

(4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；

(5)射击靶3次，观察中靶的次数.

［答案］(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析(4)详见解析(5)详见解析

【解析】(1)一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为。={男，女};

(2)一名同学的血型有四种可能结果：4型、8型、18型、0型.故该试验的样本空间可表示为“={4仇人8,0}：

(3)每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为

{(男、男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)};

(4)每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本

空间可表示为N={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}；

(5)射击3次，中靶的次数可能是0,1,2,3,故该试验的样本空间可以表示为N={0,1,2,3}.

5.(2021•全国•高一课时练习)袋子中有4个大小和质地相同的球，标号为1,2,3,4,从中随机摸出一

个球，记录球的编号，先后摸两次.

(1)若第一次摸出的球不放回，写出试验的样本空间；

(2)若第一次摸出的球放回，写出试验的样本空间.

【答案】(1)详见解析(2)详见解析

【解析】用0表示第一次摸出球的编号，用〃表示第二次摸出球的编号，则样本点可用(”?)，〃?,〃€{123,4}

表示.

(1)若第一次摸出的球不放回，则相此时的样本空间可表示为

Q={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1,),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共有12个样本点.

(2)若第一次摸出的球放回，则如〃可以相同.此时试验的样本空间可表示为。={(m,〃)|〃?,〃e{l,2,3,4}},

共有16个样本点.

6.(2021•全国•高一课时练习)如图，一个电路中有4,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能

失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.

i—Ei~'

（i）写出试验的样本空间；

（2）用集合表示下列事件：，佐“恰好两个元件正常”；沪“电路是通路”；片“电路是断路”

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】分别用5,W和马表示元件46和。的可能状态，则这个电路的工作状态可用（内,吃,鼻）表示，进

一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态。

（1）则样本空间。=｛（0,0,0）,（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）,（1,1,0）,（1,0,1）,（0,1,1）,（1,1」）｝

如图，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果

无件A元付B元件C可能结果

（2）“恰好两个元件正常”等价于（占,受,不）€。，且为,々用中恰有两个为1,所以M=｛（1,1,0）,（1,0,1）,（0,1,1）｝.

“电路是通路”等价于（占,W，玉）©O，为=1,且与“3中至少有一个是1，所以N=｛（1,1,0）,（1,0,1）,（1,14）｝.

同理，“电路是断路”等价于（用,吃,毛）旺口，为=0,或为=1,々=W=°.所以

7V=｛（0,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）,（0,1,1）,（1,0,0）｝.

【题组三事件关系的判断】

1.（2021•四川眉山）某小组有3名男生和2名女生，从中选取2名学生参加演讲比赛，下列事件中互斥而

不对立的事件为（）

A.至少有1名男生和至少有1名女生B.恰有1名男生和恰有2名女生

C.至少有1名男生和全是男生D.至少有1名男生和全是女生

【答案】B

【解析】对于A,“至少有1名男生”和“至少有1名女生”的事件有共同的事件“一个男生、一个女生”，

即选项A中两个事件不互斥，A不正确；

对于B,“恰有1名男生”和“恰有2名女生”的事件不同时发生，即它们是互斥的，

而“恰有1名男生”的对立事件是“恰有2名男生或者恰有2名女生”，即选项B中两个事件不对立，B正

确：

对于C,“至少有1名男生”的事件包含“全是男生”的事件，即选项C中两个事件不互斥，C不正确：

对于D,“至少有1名男生"和''全是女生”的事件不同时发生，即它们互斥，而它们又必有一个发生，即

它们是对立的，D不正确.

故选：B

2.（2021•黑龙江•哈尔滨工业大学附属中学校高一期末）从1,2,3,7这7个数中任取两个数，其

中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

上述事件中，是对立事件的是（）

A.①B.②④C.③D.①③

【答案】C

【解析】：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，

而从中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：

“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，

故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.

故选：C

3.（2021•全国•高一课时练习）从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个

事件是互斥事件的为（）

A.“都是红球”与“至少1个红球”

B.“恰有2个红球”与“至少1个白球”

C.“至少1个白球”与“至多1个红球”

D.”2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”

【答案】D

【解析】对于A选项：“至少1个红球”的事件中含有“都是红球”这一事件，即两个事件可以同时发生，

A中的两个事件不互斥；

对于B选项：“恰有2个红球”和“至少1个白球”的事件中都含有“两红球，一白球”的事件，B中的两

个事件不互斥；

对于C选项：“至少1个白球”与“至多1个红球”的事件中都含有“三白球”与“一红球，两白球”的

两个事件，C中的两个事件不互斥；

对于D选项，3个球中“2个红球，1个白球”的事件与“2个白球，1个红球”的事件不可能同时发生，是

互斥事件，

所以两个事件是互斥事件的为D.

故选：D

4.（2021•河北唐山•高一期末）（多选）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个,

一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）

A.2个小球不全为红球

B.2个小球恰有1个红球

C.2个小球至少有1个红球

D.2个小球都为绿球

【答案】BD

【解析】从口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，这两个球可能为

2个红色球、2个绿色球、2个蓝色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色、1个蓝色1个绿色共6种情

况，

则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有

B,2个小球恰有1个红球；C,2个小球都为绿球，

而2个小球不全为红球与事件2个小球都为红色是对立事件；

2个小球至少有1个红球包括2个红色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色.

故选：BD.

5.（2021•江苏•金陵中学高一期末）（多选）若甲、乙、丙三个人站成一排，则下列是互斥事件的有（）

A.“甲站排头”与“乙站排头”

B.“甲站排头”与“乙不站排尾”

C.“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾”

D.“甲站排头”与“乙站排尾”

【答案】AC

【解析】按照站排头可分为三种情况：甲在排头、乙在排头、内在排头，所以A正确，B错误；

“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾”等价于“甲站排中”与“乙站排中”是互斥的，所以C正

确；“甲站排头”包括“乙站排尾”，所以D错误.故选：AC.

6.（2021•全国•高一课时练习）用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂

--种颜色.设事件4=“三个圆的颜色全不相同"，事件8=“三个圆的颜色不全相同"，事件C="其中两

个圆的颜色相同"，事件。=”三个圆的颜色全相同”.

（1）写出试验的样本空间.

（2）用集合的形式表示事件A,BCD.

（3）事件8与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？并说明理由.

【答案】（D见解析；（2）见解析；（3）事件B包含事件C,事件A和8的交事件与事件。互斥.见解析

【解析】（1）由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样

本空间

Q=｛（红,红,红），（黄,黄,黄），（蓝,蓝,蓝），（红,红,黄），（红,红,蓝），（蓝,蓝,红），（蓝,蓝,黄），（黄,黄，

红），（黄，黄,蓝），（红,黄,蓝）｝.

⑵A=｛（红，黄,蓝）｝

B=｛（红,红,黄），（红,红,蓝），（蓝,蓝,红），（蓝,蓝,黄），（黄,黄,红），（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）｝

C=｛（红，红，黄），（红,红，蓝），（蓝,蓝，红），（蓝,蓝，黄），（黄,黄，红），（竟黄,蓝）｝.

。=｛（红,红,红），（黄,黄,黄），（蓝,蓝,蓝）｝.

（3）由（2）可知事件5包含事件C,事件A和B的交事件与事件D互斥.

7.（2021•全国•高一课时练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球.设事件4="1个红球

和2个白球”，事件8=“2个红球和1个白球"，事件C=“至少有1个红球”，事件"既有红球又

有白球”，则：

（1）事件D与事件AB是什么关系？

（2）事件C与事件A的交事件与事件A是什么关系？

【答案】（1）O=ADB.（2）事件C与事件A的交事件与事件A相等.

【解析】（1）对于事件。，可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球，故

（2）对于事件C,可能的结果为1个红球和2个白球,2个红球和1个白球或3个红球，故CcA=A,所以事件

C与事件A的交事件与事件A相等.

8.(2021•全国•高一课时练习)柜子里有3双不同的鞋，分别用4，4，乙也，表示6只鞋,如果从中随机

地取出2只，那么

(1)写出试验的样本空间；

(2)求下列事件的概率，并说明它们的关系；

①人=“取出的鞋不成双”

②B="取出的鞋都是左脚的”；

③C=”取出的鞋都是一只脚的”；

@D="取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.

4122

【答案】(1)见解析；(2)①P(A)=g；②尸(B)=g；③尸(C)=y；®P(D)=-.BcCcADcA,B与D

互斥，C与D互斥，Cu£>=A.

【解析】(D该试验的样本空间可表示为

Q={(a],a2),(a1,fel),(a1,/>2),(al,c1),(al,c2),(a2,&l),(a2,/72),(a2,cl),(a2,c2),(/>l,Z>2),(Z>1,cl),(Z>l,c2),(Z?2,c1),(fe2,c2),(c1,c2)}

⑵由⑴得〃(。)=15.

①•••,={(4,句,(4也),(。，。2)}，，〃(可=3.

124

..〃(A)=15-3=12,「.P(A)=百=《.

③♦.•。={(4，4),(01,(?|),(4,，1),(02也),(02,。2),仅2，，2)}

，"(C)=6,..P(C)$=|.

④•.♦£>={(4也),(4，<?2),(%,々),(%,。)(4，。2卜修2，。)},，〃(。)=6,,P(0=卷=]

A,B,C,D之间有如下关系：

BcCcA,DcA,B与D互斥，C与D互斥，Cu3=A.

【题组四事件的运算】

1.(2021•全国•高一课时练习)打靶3次，事件4表示“击中i发"，其中i=0、1、2、3.那么A=AU4U4

表示()

A.全部击中B.至少击中1发

C.至少击中2发D.以上均不正确

【答案】B

【解析】A=AUA2U4所表示的含义是人、为、A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发

或3发.故选：B.

2.(2021•全国•高一课时练习)一个射手进行一次射击，事件4:命中环数大于8;事件氏命中环数大于5,

则()

A.{与6是互斥事件B.4与6是对立事件

C.AQBD.ADB

【答案】C

【解析】事件A-.命中环数大于8即命中9或10环;事件B-.命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环，

故/忆以故选：C

3.(2021•全国•高一课时练习)从1,2,3,…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是

偶数或能被5整除的数”的概率是()

A.—B.-C.-D.—

105510

【答案】B

【解析】设事件摸出的数为偶数”，事件6“摸出的数能被5整除”，

1113

所以P(AUB)=尸(4)+尸(8)-2(4口8)=5+y一历=二.

故选:B.

4.(2021•全国•高一课时练习)已知产(4)=0.4,尸(而=0.2.(1)如果医4则尸(力口而=________，

P(AB)=；(2)如果48互斥，则/(/U5)=,P(JB)=.

【答案】0.40.20.60

【解析】(1)因为比4所以尸au0="({)=O.4,P(幽=尸(面=0.2.

(2)如果43互斥，则尸(/0面=尸(/)+尸(而=0.4+0.2=0.6,P(A&=0.

故答案为:0.4；0.2；0.6；0.

5.(2021•全国•高一课时练习)在试验£“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件4表

示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件4表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数

为/事件〃表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件。表示随机事件“第二次掷出的点数比第一

次的大3”，

(1)试用样本点表示事件ACIB与AUB;

(2)试判断事件/与员/与C,8与，是否为互斥事件；

(3)试用事件4表示随机事件A.

【答案】(1)详见解析(2)事件/与事件8,事件力与事件，不是互斥事件，事件6与事件，是互斥事件.(3)

AnAUAUAjUAtUAUA

【解析】由题意可知试验后的样本空间为

Q={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)).

(1)因为事件/f表示随机事件“第一次掷出的点数为1"，所以满足条件的样本点有

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),即A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}.

因为事件8表示随机事件”2次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),

即8={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.

所以4口8={(1,5)},AU8={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.

(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3"，所以C={(1,4),(2,5),(3,6)}.

因为AD8={(1,5)}x0,Ap|C={(1,4)}*0,BnC=0,所以事件A与事件B,事件A与事件C不是互斥事件,

事件8与事件。是互斥事件.

(3)因为事件&表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j”，

所以A={(1,1)},4={(1,2)},4={(1,3)},4={(1,4)},A,={0,5)},4={(1,6)},

所以A=AU4U4UaUAUA.

6（2021•全国•高一课时练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：G="点数为？”，其中

i=1,2,3,4,5,6；。尸“点数不大于2"，2="点数大于2”，2="点数大于4”；代“点数为奇数”，片

“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.

（DG与G互斥；（2）C2,G为对立事件；（3）4=2；（4）4=2；⑸AU2=Q,42=。；

（6）D3=c5uc6；（7）£=C,UC3UC5:（8）反尸为对立事件；⑼4UA=2；（10）3（"12=A

【答案】（1）正确；（2）错误：（3）正确；（4）正确；（5）正确：（6）正确：（7）正确：（8）正确；（9）正确：（10）

正确.

【解析】该试验的样本空间可表示为C={1,2,3,4,5,6},

由题意知G=〃}，2={1，2},2={3,4,5,6},%={5,6},£={1,3,5},尸={2,4,6}.

⑴G=律，G={2},满足G=。，所以G与G互斥,故正确；

（2）G={2},={3}，满足GCIC3=0但不满足C?UC3=Q所以为互斥事件，但不是对立事件,故错误；

根据对应的集合易得，（3）正确：（4）正确；（5）正确；

（6）GUQ={5,6}，所以％=UC6,故正确；⑺qUGUG={1,2,3}，故E=C,UQUQ正确；

（8）因为Ec尸=0,=C，所以为对立事件，故正确；

（9）正确；（10）正确.

7（2021•全国•高一专题练习）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球（标号为1和

2）,2个绿色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R产“第一次摸到红球”，&

="第二次摸到红球”，庐“两次都摸到红球”，G="两次都摸到绿球”，加“两个球颜色相同”，上“两

个球颜色不同”.

（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；

⑵事件K与凡，#与G,材与N之间各有什么关系？

（3）事件7?与事件C的并事件与事件M有什么关系？事件与与事件&的交事件与事件A有什么关系？

【答案】（1）详见解析（2）事件"包含事件凡事件"与事件。互斥；事件”与事件十互为对立事件（3）事件

M是事件《与事件。的并事件；事件不是事件与与事件&的交事件.

【解析】（1）所有的试验结果如图所示,

0©（DOOQ

©OOOO©

OQQ0Q0

Q©Q©QO

用数组a，々）表示可能的结果，为是第一次摸到的球的标号，马是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空

间

。=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）｝

事件R尸”第一次摸到红球”，即1=1或2,于是

K=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）｝；

事件R广“第二次摸到红球“，即和=1或2,于是

&=｛（2,1）,（3,1）,（4,1）,（1,2）,（3,2）,（4,2）｝.

同理，有

/?=｛（1,2）,（2,1））,

G=｛（3,4）,（4,3）｝,

M=｛（1,2）,（2,1）,（3,4）,（4,3）｝,

N=｛（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）｝.

（2）因为RUR,所以事件与包含事件R；

因为RAG=0,所以事件〃与事件G互斥；

因为MUN=C,McN=0,所以事件M与事件.”互为对立事件.

（3）因为RUG=M,所以事件也是事件R与事件G的并事件；

因为An&=我，所以事件4是事件舄与事件R2的交事件.

【题组五古典概型】

1.（2021•广东•佛山市南海区九江中学高二月考）为了普及环保知识，共建美丽宜居城市，某市组织了环

保知识竞赛，随机抽取了甲、乙两个单位中各5名职工的成绩（单位：分）如下表：

8788919193

位

乙单

8589919293

位

（1）根据表中的数据，分别求出甲、乙两个单位这5名职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位的职工对

环保知识的掌握更好；

（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值至少是5的概率.

_一,24

【答案】（l）x,=90,々=90,S,'=y,邑2=8,甲单位的职工对环保知识的掌握更好

【解析】（1）设甲的平均数为工，乙的平均数为三，甲的方差为S:，乙的方差为S?2,

一87+88+91+91+93“-85+89+91+92+93，、八

=-------------------------=90,=-------------------------=90,

5,2=1X［（87-90）2+（88-90）2+（91-90）2+（91-90『+（93-90）2］=y,

2

S2=1x［（85-90）2+（89-90『+（91-90）2+（92-90）2+（93-90）1=8,

因为2弓4＜8,所以甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工对环保知识的掌握更好.

（2）从乙单位5名职工中抽取2名，

他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）为（85,89）,（85,91）,（85,92）,（85,93）,（89,91）,（89,92）,

（89,93）,（91,92）,（91,93）,（92,93）,共10个,

记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值至少是5”为事件A,则其包含的基本事件为（85,91）,（85,92）,（85,93）

共3个.所以抽取的2名职工的成绩差的绝对值至少是5的概率网A）=6.

2.（2021•广东•顺德一中）在人群流量较大的步行街，有一中年人吆喝“送钱咯，送钱咯”，只见他手拿

一黑色布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板写着摸球方

法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3

个球，摸球者付给摊主1元钱.

（1）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？

（2）假定一天中有500人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱?

【答案】（1）玲9（2）6000元

【解析】（1）把3只黄色乒乓球标记为4员C,3只白色的乒乓球标记为1、2、3,

从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC.AB\.AB2.AB3、AG、AC2、AC3、

A12、A13、A23、8Q、8c2、8c3、B12、813、823、C12、C13、C23J23,共20个，

设事件后｛摸出的3个球为2个黄球1个白球｝,事件/包含的基本事件有9个，

9

则尸（尸）=五

⑵设事件6H摸出的3个球为同一颜色｝二｛摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球｝,

71

则尸（G）=—=一,

v72010

假定一天中有500人次摸奖，

由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有50次，不发生450次.

则一天可赚450X1-50X5=200,每月可赚6000元.

3.（2021•广东•湛江二十一中）某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成

绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.

频率

组距

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

O160165170175180185成绩

组号分组频数频率

第1组[160,165)50.050

第2组[165,170)①0.350

第3组[170,175)30②

第4组[175,180)200.200

第5组[180,185)100.100

合计1001.00

(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图;

(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二

轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;

(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受力考官进行面试，求：第4组至少有一

名学生被考官/面试的概

【答案】⑴①35,②0.300,作图见解析

(2)第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试

【解析】⑴①由题可知，第2组的频数为0.35X100=35人，②第3组的频率为砺=0.300,频率分布直

方图如图所示，

颉率

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

O185成绩

(2)因为第3,4,5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组

抽取的人数分别为：第3组：或x6=3人，第4组：1^x6=2人，第5组：/义6=1人，

6()6060

所以第3,4,5组分别抽取3人,2人,1人进入第二轮面试

⑶设第3组的3位同学为小，A2,J3,第4组的2位同学为冽，B1,第5组的1位同学为。，则从这六

位同学中抽取两位同学有(加，42),U1,邠)，U1,讥)，(川，况)，Ul,a),(42,相)，(42,阴)，

（龙，龙），（J2,61）,（邢，M）,（相，应），（［3,H）,（用，皮），（例，a）,（应，Q）,共15种，

其中第4组的2位同学61,应中至少有一位同学入选的有：（和，阳），U1,应），（42,阴），（42,加），

（43,用），（邠，加），（用，应），（班,a）,（应，61）,共有9种，

93

所以第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为.

4.（2021•浙江•台州市路桥区东方理想学校）从编号为4B、C.〃的4名男生和编号为以〃的2名女生

中任选3人参加演讲比赛.

（1）把选中3人的所有可能情况一一列举出来；

（2）求所选3人中恰有一名女生的概率；

（3）求所选3人中至少有一名女生的概率

【答案】（1）答案见解析（2）,（3）;

【解析】（1）设4名男生分别为4B,C,D,两名女生分别为勿，n,则从6名学生中任3人的所有情况有：

ABC.ABD<ABm,ABn,ACD,ACm,ACn,ADm,ADn,Aim,BCD,BCm,BCn,BDm,BDn,

Bmn,CDm,CDn,Cmn,Dmn,共20种，

（2）由（1）可知共有20种情况，其中所选3人中恰有一名女生的有12种，所以所求概率为?12=£3,

（3）由⑴可知共有20种情况，所选3人中至少有一名女生的有16种，所以所求概率为年=

5.（2021•四川成都）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，

每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻

人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.

05060708090100分钟

⑴求。；

(2)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数嚏(单位：分钟)；(同一组数据用该组

数据区间的中点值表示)

(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组［50,60),

［60,70)和［80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于

［80,90)的概率.

7

【答案】(Da=0.02；(2)74；⑶历.

【解析】(1)根据频率分布直方图得：(0.005+0.01+2a+0.045)xl0=l

.-.a=0.02

(2)根据频率分布直方图得：

x=(55x0.01+65x0.02+75x0.045+85x0.02+95x0.005)x10=74,

⑶由于［50,60),［60,70)和［80,90)的频率之比为：1：2：2,

故抽取的5人中［50,60),［60,70)和［80,90)分别为：1人,2人,2人,

记［50,60)的1人为。，［60,70)的2人为b,c,［80,90)的2人为A,B

故随机抽取2人共有(。淮)，(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),g,A),

S,B),(c,A),(AB)10种，

其中至少有1人每天阅读时间位于［80,90)的包含7种，

7

故概率2=记.

6.(2021•江西•临川一中)某种婴儿用品主要材质是橡胶，在加工过程中，可能会残留一些未挥发完全

的溶剂，以及橡胶本身含有的化合物等，长期潜伏积累，对免疫力尚未健全的婴幼儿会危害甚大，为了测

量此类新产品的挥发性物质含量，从生产的产品中随机抽取100个，得到如下频率分布直方图，若以频率

作为概率，规定该婴儿用品的挥发性物质含量＜18%。为合格产品.

(1)若这100个产品的挥发性物质含量的平均值大于16,则需进行技术改进，试问该新产品是否需要技术改

进？

(2)为了解产品不合格的原因，用分层抽样的方法从口8,20)与［20,22)中抽取6个进行分析，然后从这6个

中抽取2个进一步实验，求2个均在18,20)内的概率.

【答案】(1)该产品需要进行技术改进；(2)：2.

【解析】=11x0.01+13x0.14+15x0.28+17x0.32+19x0.20+21x0.04+23x0.01=16.44>16，故该产

品需要进行技术改进；

⑵［18,20)组的产品的个数为100x2x0.10=20,［20,22)组的产品的个数100x2x0.02=4,所以从口8,20)组

中抽取6x1^=5个,从［20,22)组中抽取6x2=1个,

记［18,20)组中抽取的5个分别为〃,女。&0,［20,22)组中抽取的一个为九

则从6个中抽取2个的所有情况如下：

(a,A),(a,c)M，e),(aJ),(Z?,c),(A,d)，S，e)，SJ),(Gd),(c,e),(c,/),(d,e),(dJ),(e")共15种情况，

其中在［18,20)中恰有2个的有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(6,d),(6,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10种情况，所

102

以所求的概率P=百=§.

7.(2021•云南•昆明一中)良好的体育锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益.某校为了解学生的课

外体育锻炼时间情况，在全体学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示

的频率分布直方图.将平均每天课外体育锻炼时间在［40,60)上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育

锻炼时间在［0,40)上的学生评价为锻炼不达标.

(1)估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的中位数与平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表)；

(2)在上述锻炼达标的学生中按分层抽样的方法抽取8名，再从这8名同学中随机抽取2名，求这两名同学

中至少有一名每天体育锻炼时间在［50,60)的概率.

13

【答案】(1)28.125,28.7；⑵：

2o

【解析】⑴设中位数为机，则024+5-20)x0.032=0.5,“=28.125

x=5xO.O8+15xO.16+25x0.32+35x0.24+45x0.15+55x0.05=28.7;

(2)根据题意可得，抽取的8名同学中，

时间在［40,50)的有6名，记为4,a2,a3,a4,a5,a6,

时间在［50,60)的有2名,记为4,b2,

从8名同学中随机取2人的基本事件为q%，4%，4%，a}a5,a&，岫,岫,a2a3,a2aA,a2as,%%，

,a2b2,a3a4,%%，a3a§»，a3b,a4a5,%%，”44，a4b,a6bl,a6bl，々"2

28个，

记事件A为两名同学中至少有•名每天体育锻炼时间在150,60),

则A包含的基本事件个数有13个，

13

所以P(A)=^.

2X

8.(2021•山东省潍坊第四中学高一开学考试)数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问

卷(每人必选且只能选一种支付方式)，在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两

幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

人数

75

60

45

30

15

支

银

微

付

行

信

宝

卡

(1)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？

(2)若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所

在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；

（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请

用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.

【答案】（1）条形统计图见解析，90:（2）不同，理由见解析：（3）1

【解析】（1）由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，

所占比例为1-15%-30%=55%,所以共调查了照=200人，

所以用银行卡支付的人有200x0.15=30人，用微信支付的人有200x0.3=60人，

用现金支付所占比例为券=0.25,所以0.25x360。=90。，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角

的度数为90°,

补全统计图如图所示：

（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同,理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而

加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝.

（3）将微信记为4支付宝记为B、银行卡记为C,画树状图如下:

开始

•••共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种,

:,两人恰好选择同一种支付方式的概率为13=-1-

9.（2021•云南•玉溪市江川区第二中学）某城市100户居民的月平均用电量（单位：千瓦时）以［160,180）,

[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中x的值；

(2)求月平均用电量的众数和中位数；

(3)在月平均用电量为［240,260),［260,280),［280,300］的三组用户中用分层抽样的方法抽取6户居民，并

从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率.

【答案】⑴0.0075；(2)众数是230,中位数是224；⑶得.

【解析】⑴由(0.0020+0.0095+0.0110+0.0125+x+0.0050+0.0025)x20=l

得x=0.0075,所以直方图中x的值是0.0075.

(2)月平均用电量的众数是220；240=2