2025年高考数学一轮复习-9.5-离散型随机变量及其分布列、数字特征【课件】

第五节离散型随机变量及其分布列、数字特征目录CONTENTS123知识体系构建课时跟踪检测考点分类突破PART1知识体系构建课前自修

1.袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球

且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量

X

，则

X

的可能取值为（

）A.1，2，3，…，6B.1，2，3，…，7C.0，1，2，…，5D.1，2，…，5解析：

因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次

就取到了白球；最多取球次数是7次，即把所有的黑球取完之后才

取到白球.所以取球次数可以是1，2，3，…，7.

ξ0123

P

0.1

m

n

0.1A.－0.2B.0.2C.0.1D.

－0.1

3.设随机变量

X

的概率分布如表所示，且

E

（

X

）＝2.5，则

a

－

b

＝

（

）

X

1234

P

a

b

D.1

1.若

Y

＝

aX

＋

b

，其中

a

，

b

是常数，

X

是随机变量，则（1）

E

（

k

）＝

k

，

D

（

k

）＝0，其中

k

为常数；（2）

E

（

aX

＋

b

）＝

aE

（

X

）＋

b

，

D

（

aX

＋

b

）＝

a

2

D

（

X

）；（3）

E

（

X

1＋

X

2）＝

E

（

X

1）＋

E

（

X

2）；（4）

D

（

X

）＝

E

（

X

2）－（

E

（

X

））2；（5）若

X

1，

X

2相互独立，则

E

（

X

1·

X

2）＝

E

（

X

1）·

E

（

X

2）.2.若随机变量

X

服从两点分布，则

E

（

X

）＝

p

，

D

（

X

）＝

p

（1－p

）.

1.已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且

E

（η）＝34，若ξ的分布列

如下表，则

m

＝（

）ξ1234

P

m

n

2.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球

命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分

X

的均值为

⁠.解析：由结论2易得

E

（

X

）＝0.8.0.8PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练

分布列的性质

2.（2024·云南一中检测）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示，

则下列各式正确的是（

）ξ－10123

P

D.

P

（ξ＜0.5）＝0

3.已知随机变量

X

的分布列为

X

－101

P

a

b

c

其中

a

，

b

，

c

成等差数列，则

P

（｜

X

｜＝1）＝

，公差

d

的

取值范围是

⁠.

练后悟通离散型随机变量分布列性质的应用（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内

各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.离散型随机变量的均值与方差考向1

均值与方差的性质【例1】

（多选）设离散型随机变量

X

的分布列为

X

01234

P

q

0.40.10.20.2A.

q

＝0.1B.

E

（

X

）＝2，

D

（

X

）＝1.4C.

E

（

X

）＝2，

D

（

X

）＝1.8D.

E

（

Y

）＝5，

D

（

Y

）＝7.2若离散型随机变量

Y

满足

Y

＝2

X

＋1，则下列结果正确的有（

）解析：

因为

q

＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以

q

＝0.1，故A正

确；由已知可得

E

（

X

）＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝

2，

D

（

X

）＝（0－2）2×0.1＋（1－2）2×0.4＋（2－2）2×0.1＋（3

－2）2×0.2＋（4－2）2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为

Y

＝2

X

＋

1，所以

E

（

Y

）＝2

E

（

X

）＋1＝5，

D

（

Y

）＝4

D

（

X

）＝7.2，故

D正确.解题技法与均值、方差的性质有关问题的解题思路

若给出的随机变量

Y

与

X

的关系为

Y

＝

aX

＋

b

，

a

，

b

为常数，一

般思路是先求出

E

（

X

），

D

（

X

），再利用公式

E

（

aX

＋

b

）＝

aE

（

X

）＋

b

，

D

（

aX

＋

b

）＝

a

2

D

（

X

）求

E

（

Y

），

D

（

Y

）；也可

以利用

X

的分布列得到

Y

的分布列，关键是由

X

的取值计算

Y

的取

值，对应的概率相等，再由定义法求得

E

（

Y

）或

D

（

Y

）.考向2

离散型随机变量的均值与方差【例2】在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（编号为1至5号）登台

演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众必须彼此独

立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1

号，不选2号，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，可以在1至5号

中随机选3名歌手.（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

（2）设

X

表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求

X

的分布

列和期望.

X

0123

P

所以

X

的分布列为解题技法求离散型随机变量

X

的均值与方差的步骤（1）理解

X

的意义，写出

X

可能的全部值；（2）求

X

取每个值的概率；（3）写出

X

的分布列；（4）由均值、方差的定义求

E

（

X

），

D

（

X

）.

1.已知ξ的分布列如表所示：ξ012

P

？！？

A.0B.1C.2D.3

（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布

列与均值

E

（ξ），方差

D

（ξ）.

ξ04080120160

P

所以ξ的分布列为均值与方差在决策中的应用【例3】

（2021·新高考Ⅰ卷18题）某学校组织“一带一路”知识竞

赛，有

A

，

B

两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类

并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回

答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与

否，该同学比赛结束.

A

类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得

0分；

B

类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答

A

类问题的概率为0.8，能正确回答

B

类问题的概

率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答

A

类问题，记

X

为小明的累计得分，求

X

的分

布列；解：由题意得，

X

的所有可能取值为0，20，100，

P

（

X

＝0）＝1－0.8＝0.2，

P

（

X

＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32，

P

（

X

＝100）＝0.8×0.6＝0.48，所以

X

的分布列为

X

020100

P

0.20.320.48（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说

明理由.解：当小明先回答

A

类问题时，由（1）可得

E

（

X

）＝0×0.2＋

20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答

B

类问题时，记

Y

为小明的累计得分，则

Y

的所有可能取值为0，80，100，

P

（

Y

＝0）＝1－0.6＝0.4，

P

（

Y

＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12，

P

（

Y

＝100）＝0.6×0.8＝0.48，

Y

080100

P

0.40.120.48

E

（

Y

）＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为57.6＞54.4，即

E

（

Y

）＞

E

（

X

），所以为使累计得分的

期望最大，小明应选择先回答

B

类问题.所以

Y

的分布列为解题技法利用样本的数字特征解决有关决策问题的关键（1）建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各

种概率模型的差异性，不能混淆；（2）分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参

数；（3）求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字

特征；（4）做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优

方案，做出决策.

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并

说明理由.解：若按“项目一”投资，设获利为

X

1万元，则

X

1的所有可能取

值为300，－150，分布列为

X

1300－150

P

X

2500－3000

P

2.近年来，全国旅游业蓬勃发展.某景区有一个自愿消费的项目：在参

观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，

在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带

走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来

统一销毁.该项目运营一段时间后，统计出平均只有30％游客会选择

带走照片.为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关

系做了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统

计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能

性平均增加0.05.假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照

片的综合成本为5元，假设每位游客是否购买照片相互独立.（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比

调整前多还是少？解：当收费为20元时，每张照片被带走的概率为0.3，不

被带走的概率为0.7，设此时每张照片的利润为

Y

1元，则

Y

1的

分布列为

Y

115－5

P

0.30.7

E

（

Y

1）＝15×0.3－5×0.7＝1，则每天的平均利润为5000元.当收费为10元时，每张照片被带走的概率为0.3＋0.05×10＝

0.8，不被带走的概率为0.2，设每张照片的利润为

Y

2元，则

Y

2

的分布列为

Y

25－5

P

0.80.2

E

（

Y

2）＝5×0.8－5×0.2＝3，则每天的平均利润为5000×3＝15000（元）.调整价格后，该项目每天的平均利润比调整前多10000元.（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？解：设在20元/张基础上降价

x

元，则0≤

x

＜15，照片被带走

的可能性为0.3＋0.05

x

，不被带走的可能性为0.7－0.05

x

.设每张照片的利润为

Y

元，则

Y

的分布列为

Y

15－

x

－5

P

0.3＋0.05

x

0.7－0.05

x

E

（

Y

）＝（15－

x

）（0.3＋0.05

x

）－5（0.7－0.05

x

）＝

0.05[69－（

x

－7）2]，当

x

＝7时，

E

（

Y

）有最大值3.45，故当定价为13元时，日平均利润取最大值，为5000×3.45＝17

250（元）.PART3课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习1.设随机变量ξ的分布列如下表，则

P

（｜ξ－3｜＝1）＝（

）ξ1234

P

a

12345678910111213141516171819202122232425262728

2.（2024·宁波模拟）随机变量

X

的分布列为

X

01

m

P

n

若

E

（

X

）＝1.1，则

D

（

X

）＝（

）A.0.49B.0.69C.1D.2

4.（2024·合肥模拟）小林从

A

地出发去往

B

地，1小时内到达的概率

为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现

规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分

钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为

X

元，则

E

（

X

）＝（

）A.176B.182C.184D.186解析：

依题意可得

X

的所有可能取值为200，180，160.

P

（

X

＝

200）＝0.4，

P

（

X

＝180）＝0.3，

P

（

X

＝160）＝0.3，

X

的分布

列如下，

X

200180160

P

0.40.30.3则

E

（

X

）＝200×0.4＋（180＋160）×0.3＝182，故选B.5.（多选）已知随机变量

X

，

Y

的分布列如下

，则（

）

X

12

P

0.60.4

Y

1－2

P

0.50.5A.

D

（

Y

）＝9

D

（

X

）B.

E

（1－

X

）＝0.5C.

D

（1－

Y

）＝2.25D.

E

（

X

＋

Y

）＝0.9解析：

E

（

X

）＝1×0.6＋2×0.4＝1.4，

E

（

Y

）＝1×0.5－

2×0.5＝－0.5，

D

（

X

）＝（1－1.4）2×0.6＋（2－1.4）2×0.4＝

0.24，

D

（

Y

）＝（1＋0.5）2×0.5＋（－2＋0.5）2×0.5＝2.25，所

以

D

（

Y

）≠9

D

（

X

），

E

（1－

X

）＝－

E

（

X

）＋1＝－0.4，

D

（1－

Y

）＝（－1）2

D

（

Y

）＝2.25，

E

（

X

＋

Y

）＝

E

（

X

）＋

E

（

Y

）＝0.9，故选C、D.

X

012

P

p

－

p

21－

p

p

2A.

P

（

X

＝2）的值最大B.

P

（

X

＝0）＜

P

（

X

＝1）C.

E

（

X

）随

p

的增大而减小D.

E

（

X

）随

p

的增大而增大

7.若离散型随机变量

X

服从两点分布，且

P

（

X

＝1）＝

p

，4－5

P

（

X

＝0）＝

p

，则

p

＝

⁠.

8.（2022·全国甲卷19题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设

三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目

比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获

胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.（1）求甲学校获得冠军的概率；解：设甲学校获得冠军的事件为

A

，则甲学校必须获胜

2场或者3场.

P

（

A

）＝0.5×0.4×0.8＋（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－

0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.6.故甲学校获得冠军的概率为0.6.（2）用

X

表示乙学校的总得分，求

X

的分布列与期望.解：X

的取值可以为0，10，20，30.

P

（

X

＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16，

P

（

X

＝10）＝（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋

0.5×0.4×（1－0.8）＝0.44，

P

（

X

＝20）＝（1－0.5）×（1－0.4）×0.8＋0.5×（1－0.4）×（1

－0.8）＋（1－0.5）×0.4×（1－0.8）＝0.34，

P

（

X

＝30）＝（1－0.5）×（1－0.4）×（1－0.8）＝0.06.

X

0102030

P

0.160.440.340.06所以

E

（

X

）＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.所以

X

的分布列为

9.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中

随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则

E

（ξ）＝

（

）

ξ1234

P

10.已知随机变量

X

的分布列为

X

－2－10123

P

（4，9]

5

ξ0123

P

12.（2022·北京高考18题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学

参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获

得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、

丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，

9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；解：设甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖为事件

A

.

因为比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优

秀奖，甲以往的10次比赛成绩中达到9.50m以上（含9.50

m）的有9.80m，9.70m，9.55m，9.54m，共4次，所以甲

在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率

P

（

A

）＝0.4.（2）设

X

是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人

数，估计

X

的数学期望

E

（

X

）；解：X

的所有可能取值为0，1，2，3.由（1）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率

P

（

A

）

＝0.4.设乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件

B

，

C

，则

P

（

B

）＝0.5，

P

（

C

）＝0.5.

P

（

X

＝0）＝（1－0.4）×（1－0.5）×（1－0.5）＝0.15，

P

（

X

＝1）＝0.4×（1－0.5）×（1－0.5）＋（1－0.4）×0.5×（1

－0.5）＋（1－0.4）×（1－0.5）×0.5＝0.4，P

（

X

＝2）＝0.4×0.5×（1－0.5）＋0.4×（1－0.5）×0.5＋（1－

0.4）×0.5×0.5＝0.35，

P

（

X

＝3）＝0.4×0.5×0.5＝0.1，所以

E

（

X

）＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4.（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计

值最大？（结论不要求证明）解：在校运动会铅球比赛中，按以往比赛成绩的平均数、方

差来看，甲获得冠军的概率估计值最大；按以往比赛的最好

成绩来看，丙获得冠军的概率估计值最大.

13.（多选）已知随机变量

X

的取值为不大于

n

（

n

∈N*）的非负整

数，它的概率分布列为

X

0123…

n

P

p

0

p

1

p

2

p

3…

pn

其中

pi

（

i

＝0，1，2，3，…，

n

）满足

pi

∈[0，1]，且

p

0＋

p

1＋

p

2＋…＋

pn

＝1.定义由